Непрекидна фуријеова трансформација је линеарна математичка операција пресликавања функције у функцију, која нам омогућава да разделимо непрекидне, непериодичне функције (на пример сигнале) у непрекидан спектар. Ова трансформација се често назива скраћено Фуријеова трансформација.
Дефинисана је за неку функцију f(t) на следећи начин:
а трансформација у обрнутом смеру је инверзна Фуријеова трансформација (Фуријеова синтеза) и гласи
Примена ове трансформације је кључна у многим областима технике где се проучава простирање осцилација или зрачења које су функција промене амплитуде неке величине (веома често електричног сигнала) у зависности од времена. Тада Фуријеова трансформација представља амплитуде које су функција фреквенција, значи, свакој фреквенцији () додељује се амплитуда из реалног домена.
Фуријеова трансформација и диференцијалне једначине[уреди | уреди извор]
Путем Фуријеове трансформације ми прво претварамо линеарне диференцијалне једначине у „обичне“ линеарне једначине, у том простору их решавамо и на крају решења трансформишемо назад у простор одакле смо и кренули.
Посматрамо периодичне функције. Оне су у ствари елементи једног векторског простора. Унутрашњи производ две функције је тада овако дефинисан:
Као што су то у уобичајеном тродимензионалном простору и , и у овом простору са функцијама имамо неке базе. Док у имамо само три димензије и три базна вектора који у потпуности дефинишу простор, у простору са функцијама је то бесконачан број, тј. број димензија (и тиме базних вектора) је бесконачан.
Назовимо тај простор , а његове базе . Онда сваку функцију можемо да раставимо:
су коефицијенти који дефинишу дату функцију, што значи да трансформацију можемо да обрнемо и вратимо је у првобитни простор (илити облик).
Цео процес, трансформацију, треба замислити као капију два паралелна простора. Када прођемо кроз капију, налазимо се у простору где ствари из првобитног простора изгледају другачије (а некад имају и другачије особине), али ипак представљају једне те исте ствари. То управо овде радимо. Нашу функцију шаљемо кроз капију, у другом простору је обрађујемо јер нам је тако згодније, а онда је тако обрађену шаљемо кроз неку другу капију да нам се врати у облику у којем можемо даље да је користимо у „свакодневном животу“.
Вратимо се Фуријеовој трансформацији. Претходно смо је означили као што ће у поласку бити наша прва капија.
Погледајмо шта се дешава са изводом:
Станимо на овом колосеку и кренимо из једног другог смера:
Онда је инверзна функција:
На крају закључимо:
Хајде да погледамо како још Фуријеова трансформација реагује на збир две функције:
У рукама нам је сав алат неопходан да се посветимо диференцијалним једначинама.
Фуријеова трансформација као алат за решавање једначине топлотног провода[уреди | уреди извор]
Узмимо да имамо неки прстен обима L и да нас интересује распоред температуре током времена. Добијамо проблем:
- је распоред температуре у том прстену, је нека позитивна константа, а је функција која дефинише распоред температуре на самом почетку ().
трансформишемо помоћу Фуријеове трансформације:
Правимо парцијални извод функције мењајући места и изводећи унутар интеграла:
Трансформишимо и другу једначину (наш полазни услов):
Сада наша диференцијална једначина постаје:
То је сада постала уобичајена диференцијална једначина, коју можемо да решимо на стандардан начин:
Одатле можемо да дођемо до нашег решења за путем инверзне Фуријеове трансформације, а добијамо тако што трансформишемо :
Да би израз мало појаснили и разговетније написали, уводимо корен топлотног провода:
не би требало да нас збуњује. Није реч о изводу или нечему сличном, већ је просто једна друга променљива која такође означава положај. Када убацимо корен топлотног провода у нашу :
У прстену обима L важи тада:
Имамо два дужа штапа. Један има температуру , а други . За време су раздвојени и задржавају константно своју температуру, а у тренутку их спајамо. Интересује нас како ће се температура распоредити. Нулту тачку постављамо у тачку где се та два штапа спајају.
Из датог изводимо полазну функцију :
Из поставе проблема знамо да мора да важи:
Наш циљ је да израчунамо :
При интегрисању смо се послужили супституцијом односно .
У овом конкретном примеру је важило , али када желимо да уопштимо формулу, довољно је за полазну тачку узети аритметичку средину двеју температура и мало претумбати крајњу функцију: