Нормалан број

У математици, нормалан број је реалан број чији је бесконачан низ цифара у било којој позитивној целобројној бројевној основи b^[1] дистрибуиран униформно у смислу да свака од b цифара има исту асимптотску густину 1/b. То такође значи да се свих могућих b² парова цифара јавља са једнаком вероватноћом густине b⁻², свих b³ тројки цифара се јавља са једнаком вероватноћом густине b⁻³, и тако даље.

Интуитивно, ово значи да се ниједна цифра, или (коначна) комбинација цифара, не појављује чешће него било која друга, и ово важи било да је број записан у основи 10, бинарној основи или било којој другој. Нормалан број се може посматрати као бесконачан низ бацања новчића (бинарно) или бесконачан низ бацања коцкице (основа 6). Иако ће постојати низови дужине 10, 100 па и више узастопних писама (бинарно) или четворки (основа 6), или чак 10, 100 или више понављања низова као што су глава-писмо (у два узастопна бацања новчића), или 6-1 (у два узастопна бацања коцке), постојаће и подједнак број свих других низова једнаке дужине. Ниједна цифра или низ није „фаворизован“.

Иако је могуће дати општи доказ да су готово сви реални бројеви нормални (у смислу да скуп изузетака има меру Лебега нула), овај доказ није конструктиван, и за врло мали број конкретних бројева је показано да су нормални. На пример, Чајтинова константа је нормална (и неизрачунљива). Широко је распрострањено уверење да су (израчунљиви) бројеви √2, $π$ , and e нормални, али доказ још увек није нађен.

Напомене

^ Једине основе које се овде разматрају су природни бројеви већи од 1

Референце

Adamczewski, Boris; Bugeaud, Yann (2010), „8. Transcendence and diophantine approximation”, Ур.: Berthé, Valérie; Rigo, Michael, Combinatorics, automata, and number theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 135, Cambridge: Cambridge University Press, стр. 410—451, ISBN 978-0-521-51597-9, Zbl 1271.11073
Agafonov, V. N. (1968), „Normal sequences and finite automata”, Soviet Mathematics - Doklady, 9: 324—325, Zbl 0242.94040 .
Bailey, D. H.; Crandall, R. E. (2001), „On the random character of fundamental constant expansions” (PDF), Experimental Mathematics, 10: 175—190, doi:10.1080/10586458.2001.10504441, Архивирано из оригинала (PDF) 2008-11-23. г. .
Bailey, D. H.; Crandall, R. E. (2002), „Random generators and normal numbers” (PDF), Experimental Mathematics, 11 (4): 527—546, doi:10.1080/10586458.2002.10504704 .
Bailey, D. H.; Misiurewicz, M. (2006), „A strong hot spot theorem”, Proceedings of the American Mathematical Society, 134 (9): 2495—2501, doi:10.1090/S0002-9939-06-08551-0 .
Becher, V.; Figueira, S. (2002), „An example of a computable absolutely normal number” (PDF), Theoretical Computer Science, 270: 947—958, doi:10.1016/S0304-3975(01)00170-0 .
Besicovitch, A. S. (1935), „The asymptotic distribution of the numerals in the decimal representation of the squares of the natural numbers”, Mathematische Zeitschrift, 39: 146—156, doi:10.1007/BF01201350 .
Borel, E. (1909), „Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 27: 247—271, doi:10.1007/BF03019651 .
Bourke, C.; Hitchcock, J. M.; Vinodchandran, N. V. (2005), „Entropy rates and finite-state dimension”, Theoretical Computer Science, 349 (3): 392—406, doi:10.1016/j.tcs.2005.09.040 .
Bugeaud, Yann (2012), Distribution modulo one and Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics, 193, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11169-0, Zbl 1260.11001
Calude, C. (1994), „Borel normality and algorithmic randomness”, Ур.: Rozenberg, G.; Salomaa, Arto, Developments in Language Theory: At the Crossroads of Mathematics, Computer Science and Biology, World Scientific, Singapore, стр. 113—119 .
Calude, C.S.; Zamfirescu, T. (1999), „Most numbers obey no probability laws”, Publicationes Mathematicae Debrecen, 54 (Supplement): 619—623 .
Cassels, J. W. S. (1959), „On a problem of Steinhaus about normal numbers”, Colloquium Mathematicum, 7: 95—101 .
Champernowne, D. G. (1933), „The construction of decimals normal in the scale of ten”, Journal of the London Mathematical Society, 8 (4): 254—260, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254 .
Copeland, A. H.; Erdős, P. (1946), „Note on normal numbers”, Bulletin of the American Mathematical Society, 52 (10): 857—860, doi:10.1090/S0002-9904-1946-08657-7 .
Dajani, Karma; Kraaikamp, Cor (2002), Ergodic theory of numbers, Carus Mathematical Monographs, 29, Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-034-3, Zbl 1033.11040 .
Davenport, H.; Erdős, P. (1952), „Note on normal decimals”, Canadian Journal of Mathematics, 4: 58—63, doi:10.4153/CJM-1952-005-3 .
Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003), Recurrence sequences, Mathematical Surveys and Monographs, 104, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3387-2, Zbl 1033.11006 .
Khoshnevisan, Davar (2006), „Normal numbers are normal” (PDF), Clay Mathematics Institute Annual Report 2006: 15, continued pp. 27—31 .
Long, C. T. (1957), „Note on normal numbers”, Pacific Journal of Mathematics, 7 (2): 1163—1165, Zbl 0080.03604, doi:10.2140/pjm.1957.7.1163 .
Martin, Greg (2001), „Absolutely abnormal numbers”, American Mathematical Monthly, 108: 746—754, Zbl 1036.11035, arXiv:math/0006089 , doi:10.2307/2695618
Murty, Maruti Ram (2007), Problems in analytic number theory (2 изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72349-5 .
Nakai, Y.; Shiokawa, I. (1992), „Discrepancy estimates for a class of normal numbers”, Acta Arithmetica, 62 (3): 271—284 .
Schmidt, W. (1960), „On normal numbers”, Pacific Journal of Mathematics, 10: 661—672, doi:10.2140/pjm.1960.10.661 .
Schnorr, C. P.; Stimm, H. (1972), „Endliche Automaten und Zufallsfolgen”, Acta Informatica, 1 (4): 345—359, doi:10.1007/BF00289514 .
Sierpiński, W. (1917), „Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre”, Bulletin de la Société Mathématique de France, 45: 125—132 .
Wall, D. D. (1949), Normal Numbers, Ph.D. thesis, Berkeley, California: University of California .
Ziv, J.; Lempel, A. (1978), „Compression of individual sequences via variable-rate coding”, IEEE Transactions on Information Theory, 24 (5): 530—536, doi:10.1109/TIT.1978.1055934 .

Даља литература

Harman, Glyn (2002), „One hundred years of normal numbers”, Ур.: Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W., Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory, Natick, MA: A K Peters, стр. 57—74, ISBN 978-1-56881-162-8, Zbl 1062.11052
Quéfflec, Martine (2006), „Old and new results on normality”, Ур.: Denteneer, Dee; den Hollander, F.; Verbitskiy, E., Dynamics & Stochastics: Festschrift in honor of M. S. Keane, IMS Lecture Notes – Monograph Series, 48, Beachwood, Ohio: Institute of Mathematical Statistics, стр. 225—236, ISBN 978-0-940600-64-5, Zbl 1130.11041, arXiv:math.DS/0608249 , doi:10.1214/074921706000000248

Спољашње везе

Ми смо у цифрама броја Пи и живимо вечно, Клифорд А. Пиковер
Weisstein, Eric W. „Normal number”. MathWorld.

[1] Једине основе које се овде разматрају су природни бројеви већи од 1

[1]