Ојлерова карактеристика

С Википедије, слободне енциклопедије

Ојлерова карактеристика (у појединим гранама математике понекад реферисана и само као карактеристика или Ојлеров број — не треба мешати са Ојлеровом константом, на коју се, такође, често реферише као на Ојлеров број) је инваријантна вредност која зависи од тополошког облика и особина објекта који описује. Најчешће се обележава малим грчким словом χ (хи). Назив захваљује Леонарду Ојлеру, познатом швајцарском математичару и физичару.

Оригинално се употребљавала у геометрији за описивање полиедара, али је своју примену пронашла у топологији и касније у теорији графова.

Ојлерова карактеристика у геометрији и топологији[уреди | уреди извор]

Троугао има Ојлерову карактеристику 1.

Ојлерова карактеристика геометријске фигуре у геометрији означава суму , где је T број темена фигуре, I број ивица а P број пљосни дате фигуре. Управо овај идентитет[1] је први доказао Ојлер.

Јасно, сваки троугао има карактеристику 1 (3 темена, 3 ивице и једна пљосан). Одавде следи да и свака раванска фигура има Ојлерову карактеристику 1 (свака фигура у равни се може триангулисати[2], тј. разложити на више мањих троуглова — сада се спајањем два троугла по заједничкој ивици карактеристика не мења, јер се број темена повећава за 1, број ивица за 2, а број пљосни за 1). Како се и сваки полиедар може разложити на ланац повезаних полиедара, то је карактеристика целог полиедра управо 2 (настављањем полиедара један на други се карактеристика не мења, слично као малопре, али се при додавању „последњег” полиедра број ивица и темена не мења, а добија се додатна пљосан).[3] Уопштено, за правилан полиедар са n „рупа” важи да му је карактеристика 2(1-n) (нпр. торус је карактеристике 0). Испод је дата табела неких конвексних и неких неконвексних тродимензионалних геометријских фигура са својим карактеристикама.

Назив Слика Конвексност Број темена
(T)
Број ивица
(I)
Број пљосни
(P)
Карактеристика
Тетраедар Tetrahedron.png конвексан 4 6 6 2
Хексаедар
(коцка)
Hexahedron.png конвексан 8 12 6 2
Октаедар Octahedron.png конвексан 6 12 8 2
Додекаедар Dodecahedron.png конвексан 20 30 12 2
Икосаедар Icosahedron.png конвексан 12 30 20 2
Тетрахемихексаедар Tetrahemihexahedron.png конкаван 6 12 7 1
Октахемиоктаедар Octahemioctahedron.png конкаван 12 24 12 0
Мали звездасти додекаедар Small stellated dodecahedron.png конкаван 12 30 12 -6
Велики звездасти додекаедар Great stellated dodecahedron.png конкаван 20 30 12 2

Слично као у геометрији се дефинише Ојлерова карактеристика и у топологији. Испод се налази табела са неким тополошким облицима са својим карактеристикама.

Назив Слика Конвексност Карактеристика
Сфера Sphere wireframe 10deg 8r.svg конвексан 2
Торус Torus1.png конкаван 0
Дупли (дворупи)
торус
Double torus illustration.png конкаван -2
Трорупи торус Triple torus illustration.png конкаван -4

Ојлерова карактеристика у теорији графова[уреди | уреди извор]

Пример планарног графа. Као и сви остали планарни графови, и овај је Ојлерове карактеристике 2.

Ојлерова карактеристика планарног графа G у теорији графова је резултат , где је V(G) скуп чворова графа G, E(G) скуп грана графа G, а f(G’) број области на које планарно утапање G’ графа G раздељује раван ℝ × ℝ својим гранама и чворовима.

Може се показати да сви планарни графови имају Ојлерову карактеристику 2 (у теорији графова је ово тврђење познато као Ојлерова теорема[4]). У општем случају ће важити, за произвољан граф G, , где је ω(G) број компоненти повезаности графа G.

Испод је дата табела са неколико графова и њиховим карактеристикама.

Граф G Број чворова G
(|V(G)|)
Број грана G
(|E(G)|)
Број области G
(f(G'))
Број компоненти
повезаности G (ω(G))
Карактеристика G Напомена
Undirected 6 cycle.svg 6 6 2 1 2
Frucht graph.neato.svg 12 18 8 1 2 Иако се граф на први поглед не чини планарним, ипак јесте (могуће је „извући” поједине гране у „спољашњост” како се не би секле са осталима).
Friendship graphs.svg 21 27 10 3 4

Види још[уреди | уреди извор]

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ „Euler's Formula”. Encyclopaedia Britannica. 
  2. ^ „Computational Geometry” (PDF). 
  3. ^ „Euler's Characteristic in Algebraic Topolgy”. San José State University. Архивирано из оригинала на датум 25. 02. 2020. Приступљено 12. 02. 2020. 
  4. ^ „Euler's Formula”. 

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]