Ојлеров идентитет

Ојлеров идентитет је у математици назив за формулу:

$e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos {\varphi }+\mathrm {i} \sin {\varphi }$

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број $\mathrm {e} \,$ је Ојлеров број (база природног логаритма), $\mathrm {i} \,$ имагинара јединица комплексних бројева, а $\varphi \in \mathbb {R}$ угао.

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера „Introductio“ објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била $\varphi \in \mathbb {R}$, једначина важи и за $\varphi \in \mathbb {C}$.

За угао $\varphi =\pi \,$ добија се идентитет

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1\,$

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,$

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве $\mathrm {i}$, $\pi \,$, $\mathrm {e} \,$, 1, и 0 (нула), основне математичке радње, сабирање, множење и степеновање, и најважнију релацију =, и ништа више.

Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента $z=x+\mathrm {i} y\,$ прво дефинисала експоненцијална функција:

$\mathrm {e} ^{x+\mathrm {i} y}:=\mathrm {e} ^{x}(\cos y+\mathrm {i} \sin y)\,$

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Прва метода

Посматрамо функцију:

$f(x)={\frac {\cos(x)+\mathrm {i} \cdot \sin(x)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}$

Именилац никада није нула, јер важи:

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}=\mathrm {e} ^{0}=1$

Ојлеров идентитет тврди да је $f(x)=1\,$ за све вредности $x\,$.

Прво доказујемо да је функција $f(x)\,$ константна, односно да је њен извод $f'(x)=0\,$ за све $x\,$:

Знамо да је извод од $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,$:

$\left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\right]'=\mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$

Следи:

$f'(x)\,$	$={\frac {(-\sin x+\mathrm {i} \cdot \cos x)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-(\cos x+\mathrm {i} \cdot \sin x)\cdot \mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}$
	$={\frac {-\sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} ^{2}\cdot \sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}$
	$=0\,$

$f'(x)=0\,$ значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то $0\,$:

$f(0)={\frac {\cos(0)+\mathrm {i} \cdot \sin(0)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 0}}}={\frac {1+0}{\mathrm {e} ^{0}}}={\frac {1}{1}}=1$

Добили смо дакле жељени резултат.

Друга метода

Друга метода се користи редовима за $\cos \,$, $\sin \,$ и $\mathrm {e} ^{x}\,$. Знамо да ове три функције можемо написати као:

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{k=0}^{2N+1}{\frac {x^{k}}{k!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$

$\cos(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$

$\sin(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$

Из тога следи да $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,$ можемо поделити:

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\sum _{l=0}^{2N+1}{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{l}}{l!}}=\sum _{m=0}^{N}(-1)^{m}{\frac {\varphi ^{2m}}{(2m)!}}+\mathrm {i} \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}{\frac {\varphi ^{2m+1}}{(2m+1)!}}$

За $N\rightarrow \infty \,$ добијамо $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )$, што је наш тражени резултат.

Литература

• Conway, John H., and Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer. ISBN 978-0-387-97993-9.
• Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World [registration required]
• Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-328-3.
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
• Kasner, E., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05854-2.
• Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2.
• Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books. ISBN 978-0-14-014574-8.
• Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of Americа
• Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-563-8.
• Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books 
• Wells, David (1990). „Are these the most beautiful?”. The Mathematical Intelligencer. 12 (3): 37—41. doi:10.1007/BF03024015. 
• Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press 
• Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), „The experience of mathematical beauty and its neural correlates”, Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, PMC 3923150 , PMID 24592230, doi:10.3389/fnhum.2014.00068 

Спољашње везе

• Complete derivation of Euler's identity
• Intuitive understanding of Euler's formula
• Weisstein, Eric W. "Euler Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.