Ојлеров идентитет

Ојлеров идентитет је у математици назив за формулу:

$e^{{{\mathrm {i}}\varphi }}=\cos {\varphi }+{\mathrm {i}}\sin {\varphi }$

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број ${\mathrm {e}}\,$ је Ојлеров број (база природног логаритма), ${\mathrm {i}}\,$ имагинара јединица комплексних бројева, а $\varphi \in {\mathbb R}$ угао.

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера „Introductio“ објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била $\varphi \in {\mathbb R}$, једначина важи и за $\varphi \in {\mathbb C}$.

За угао $\varphi =\pi \,$ добија се идентитет

${\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}\pi }}=-1\,$

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета

${\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}\pi }}+1=0\,$

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве ${\mathrm {i}}$, $\pi \,$, ${\mathrm {e}}\,$, 1, и 0 (нула), основне математичке радње + и степеновање, најважнију релацију =, и ништа више.

Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента $z=x+{\mathrm {i}}y\,$ прво дефинисала експоненцијална функција:

${\mathrm {e}}^{{x+{\mathrm {i}}y}}:={\mathrm {e}}^{x}(\cos y+{\mathrm {i}}\sin y)\,$

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Прва метода

Посматрамо функцију:

$f(x)={\frac {\cos(x)+{\mathrm {i}}\cdot \sin(x)}{{\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}x}}}}$

Именилац никада није нула, јер важи:

${\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}x}}\cdot {\mathrm {e}}^{{-{\mathrm {i}}x}}={\mathrm {e}}^{{0}}=1$

Ојлеров идентитет тврди да је $f(x)=1\,$ за све вредности $x\,$.

Прво доказујемо да је функција $f(x)\,$ константна, односно да је њен извод $f'(x)=0\,$ за све $x\,$:

Знамо да је извод од ${\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}x}}\,$:

$\left[{\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}x}}\right]'={\mathrm {i}}\cdot {\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}x}}$

Следи:

$f'(x)\,$	$={\frac {(-\sin x+{\mathrm i}\cdot \cos x)\cdot {\mathrm e}^{{{\mathrm i}x}}-(\cos x+{\mathrm i}\cdot \sin x)\cdot {\mathrm i}\cdot {\mathrm e}^{{{\mathrm i}x}}}{({\mathrm e}^{{{\mathrm i}x}})^{2}}}$
	$={\frac {-\sin x\cdot {\mathrm e}^{{{\mathrm i}x}}+{\mathrm i}\cdot \cos x\cdot {\mathrm e}^{{{\mathrm i}x}}-{\mathrm i}\cdot \cos x\cdot {\mathrm e}^{{{\mathrm i}x}}-{\mathrm i}^{2}\cdot \sin x\cdot {\mathrm e}^{{{\mathrm i}x}}}{({\mathrm e}^{{{\mathrm i}x}})^{2}}}$
	$=0\,$

$f'(x)=0\,$ значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то $0\,$:

$f(0)={\frac {\cos(0)+{\mathrm {i}}\cdot \sin(0)}{{\mathrm e}^{{{\mathrm i}0}}}}={\frac {1+0}{{\mathrm e}^{{0}}}}={\frac {1}{1}}=1$

Добили смо дакле жељени резултат.

Друга метода

Друга метода се користи редовима за $\cos \,$, $\sin \,$ и ${\mathrm e}^{{x}}\,$. Знамо да ове три функције можемо написати као:

${\mathrm e}^{{x}}=\sum _{{k=0}}^{{2N+1}}{\frac {x^{k}}{k!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$

$\cos(x)=\sum _{{k=0}}^{{N}}(-1)^{{k}}{\frac {x^{{2k}}}{(2k)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$

$\sin(x)=\sum _{{k=0}}^{{N}}(-1)^{{k}}{\frac {x^{{2k+1}}}{(2k+1)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$

Из тога следи да ${\mathrm e}^{{{\mathrm i}x}}\,$ можемо поделити:

${\mathrm e}^{{{\mathrm i}\varphi }}=\sum _{{l=0}}^{{2N+1}}{\frac {({\mathrm i}\varphi )^{l}}{l!}}=\sum _{{m=0}}^{{N}}(-1)^{m}{\frac {\varphi ^{{2m}}}{(2m)!}}+{\mathrm i}\sum _{{n=0}}^{{N}}(-1)^{n}{\frac {\varphi ^{{2m+1}}}{(2m+1)!}}$

За $N\rightarrow \infty \,$ добијамо ${\mathrm e}^{{{\mathrm i}\varphi }}=\cos(\varphi )+{\mathrm i}\sin(\varphi )$, што је наш тражени резултат.

Спољашње везе

• Weisstein, Eric W. "Euler Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html