Ојлеров идентитет

Из Википедије, слободне енциклопедије

Ојлеров идентитет је у математици назив за формулу:

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број је Ојлеров број (база природног логаритма), Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mathrm{i} \,} имагинара јединица комплексних бројева, а Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \varphi\in\Bbb R} угао.

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера „Introductio“ објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \varphi\in\Bbb R} , једначина важи и за .

За угао добија се идентитет

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета

Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi } + 1 = 0\,}

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mathrm{i}} , , , 1, и 0 (нула), основне математичке радње + и степеновање, најважнију релацију =, и ништа више.


Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента прво дефинисала експоненцијална функција:

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Прва метода[уреди]

Посматрамо функцију:

Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{ \cos(x) + \mathrm{i} \cdot \sin(x) } { \mathrm{e}^{ \mathrm{i} x } }}

Именилац никада није нула, јер важи:

Ојлеров идентитет тврди да је за све вредности .

Прво доказујемо да је функција константна, односно да је њен извод Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f'(x) = 0 \,} за све Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle x \,} :

Знамо да је извод од Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mathrm{e}^{ \mathrm{i} x } \,} :

Следи:

Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle =\frac{-\sin x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}+\mathrm i\cdot\cos x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm i\cdot\cos x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm i^2\cdot\sin x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}}
Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle =0\,}

Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f'(x) = 0 \,} значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то Рашчлањивање није успело (Conversion error. Server ("https://sr.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 0\,} :

Добили смо дакле жељени резултат.

Друга метода[уреди]

Друга метода се користи редовима за , и Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mathrm e^{x} \,} . Знамо да ове три функције можемо написати као:

Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mathrm e^{x} = \sum_{k=0}^{2N+1} \frac{ x^k }{k!},\ \ \ \ N \rightarrow \infty }

Из тога следи да Рашчлањивање није успело (Conversion error. Server ("https://sr.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,} можемо поделити:

За Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle N \rightarrow \infty \,} добијамо Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mathrm e^{\mathrm i \varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm i \sin(\varphi)} , што је наш тражени резултат.


Спољашње везе[уреди]