Ојлеров идентитет

Ојлеров идентитет је у математици назив за формулу:

$e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos {\varphi }+\mathrm {i} \sin {\varphi }$$e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos {\varphi }+\mathrm {i} \sin {\varphi }$

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број $\mathrm {e} \,$$\mathrm {e} \,$ је Ојлеров број (база природног логаритма), $\mathrm {i} \,$$\mathrm {i} \,$ имагинара јединица комплексних бројева, а $\varphi \in {\mathbb {R}}$$\varphi \in {\mathbb {R}}$ угао.

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера „Introductio“ објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била $\varphi \in {\mathbb {R}}$$\varphi \in {\mathbb {R}}$, једначина важи и за $\varphi \in {\mathbb {C}}$$\varphi \in {\mathbb {C}}$.

За угао $\varphi =\pi \,$$\varphi =\pi \,$ добија се идентитет

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1\,$$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1\,$

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,$$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,$

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве $\mathrm {i}$$\mathrm {i}$, $\pi \,$$\pi \,$, $\mathrm {e} \,$$\mathrm {e} \,$, 1, и 0 (нула), основне математичке радње + и степеновање, најважнију релацију =, и ништа више.

Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента $z=x+\mathrm {i} y\,$$z=x+\mathrm {i} y\,$ прво дефинисала експоненцијална функција:

$\mathrm {e} ^{x+\mathrm {i} y}:=\mathrm {e} ^{x}(\cos y+\mathrm {i} \sin y)\,$$\mathrm {e} ^{x+\mathrm {i} y}:=\mathrm {e} ^{x}(\cos y+\mathrm {i} \sin y)\,$

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Прва метода

Посматрамо функцију:

$f(x)={\frac {\cos(x)+\mathrm {i} \cdot \sin(x)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}$$f(x)={\frac {\cos(x)+\mathrm {i} \cdot \sin(x)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}$

Именилац никада није нула, јер важи:

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}=\mathrm {e} ^{0}=1$$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}=\mathrm {e} ^{0}=1$

Ојлеров идентитет тврди да је $f(x)=1\,$$f(x)=1\,$ за све вредности $x\,$$x\,$.

Прво доказујемо да је функција $f(x)\,$$f(x)\,$ константна, односно да је њен извод $f'(x)=0\,$$f'(x)=0\,$ за све $x\,$$x\,$:

Знамо да је извод од $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,$$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,$:

$\left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\right]'=\mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$$\left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\right]'=\mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$

Следи:

$f'(x)\,$$f'(x)\,$	$={\frac {(-\sin x+\mathrm {i} \cdot \cos x)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-(\cos x+\mathrm {i} \cdot \sin x)\cdot \mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}$$={\frac {(-\sin x+\mathrm {i} \cdot \cos x)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-(\cos x+\mathrm {i} \cdot \sin x)\cdot \mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}$
	$={\frac {-\sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} ^{2}\cdot \sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}$$={\frac {-\sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} ^{2}\cdot \sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}$
	$=0\,$$=0\,$

$f'(x)=0\,$$f'(x)=0\,$ значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то $0\,$$0\,$:

$f(0)={\frac {\cos(0)+\mathrm {i} \cdot \sin(0)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 0}}}={\frac {1+0}{\mathrm {e} ^{0}}}={\frac {1}{1}}=1$$f(0)={\frac {\cos(0)+\mathrm {i} \cdot \sin(0)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 0}}}={\frac {1+0}{\mathrm {e} ^{0}}}={\frac {1}{1}}=1$

Добили смо дакле жељени резултат.

Друга метода

Друга метода се користи редовима за $\cos \,$$\cos \,$, $\sin \,$$\sin \,$ и $\mathrm {e} ^{x}\,$$\mathrm {e} ^{x}\,$. Знамо да ове три функције можемо написати као:

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{k=0}^{2N+1}{\frac {x^{k}}{k!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{k=0}^{2N+1}{\frac {x^{k}}{k!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$

$\cos(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$$\cos(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$

$\sin(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$$\sin(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty$

Из тога следи да $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,$$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,$ можемо поделити:

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\sum _{l=0}^{2N+1}{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{l}}{l!}}=\sum _{m=0}^{N}(-1)^{m}{\frac {\varphi ^{2m}}{(2m)!}}+\mathrm {i} \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}{\frac {\varphi ^{2m+1}}{(2m+1)!}}$$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\sum _{l=0}^{2N+1}{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{l}}{l!}}=\sum _{m=0}^{N}(-1)^{m}{\frac {\varphi ^{2m}}{(2m)!}}+\mathrm {i} \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}{\frac {\varphi ^{2m+1}}{(2m+1)!}}$

За $N\rightarrow \infty \,$$N\rightarrow \infty \,$ добијамо $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )$$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )$, што је наш тражени резултат.

Спољашње везе

• Weisstein, Eric W. "Euler Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html