Ојлеров идентитет

Ојлеров идентитет^{[n 1]} је у математици назив за формулу:

e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos {\varphi }+\mathrm {i} \sin {\varphi }

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број $\mathrm {e} \,$ је Ојлеров број (база природног логаритма), $\mathrm {i} \,$ имагинара јединица комплексних бројева, а $\varphi \in \mathbb {R}$ угао.^[3]^[4]^[5]

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера „Introductio“ објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била $\varphi \in \mathbb {R}$ , једначина важи и за $\varphi \in \mathbb {C}$ .

За угао $\varphi =\pi \,$ добија се идентитет

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1\,

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета^[6]^[7]

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве $\mathrm {i}$ , $\pi \,$ , $\mathrm {e} \,$ , 1, и 0 (нула), основне математичке радње, сабирање, множење и степеновање, и најважнију релацију =, и ништа више.^[8]^[9]^[10]

Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента $z=x+\mathrm {i} y\,$ прво дефинисала експоненцијална функција:

\mathrm {e} ^{x+\mathrm {i} y}:=\mathrm {e} ^{x}(\cos y+\mathrm {i} \sin y)\,

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Прва метода

Посматрамо функцију:

f(x)={\frac {\cos(x)+\mathrm {i} \cdot \sin(x)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}

Именилац никада није нула, јер важи:

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}=\mathrm {e} ^{0}=1

Ојлеров идентитет тврди да је $f(x)=1\,$ за све вредности $x\,$ .

Прво доказујемо да је функција $f(x)\,$ константна, односно да је њен извод $f'(x)=0\,$ за све $x\,$ :

Знамо да је извод од $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,$ :

\left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\right]'=\mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}

Следи:

$f'(x)\,$	$={\frac {(-\sin x+\mathrm {i} \cdot \cos x)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-(\cos x+\mathrm {i} \cdot \sin x)\cdot \mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}$
	$={\frac {-\sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} ^{2}\cdot \sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}$
	$=0\,$

$f'(x)=0\,$ значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то $0\,$ :

f(0)={\frac {\cos(0)+\mathrm {i} \cdot \sin(0)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 0}}}={\frac {1+0}{\mathrm {e} ^{0}}}={\frac {1}{1}}=1

Добили смо дакле жељени резултат.

Друга метода

Друга метода се користи редовима за $\cos \,$ , $\sin \,$ и $\mathrm {e} ^{x}\,$ . Знамо да ове три функције можемо написати као:

\mathrm {e} ^{x}=\sum _{k=0}^{2N+1}{\frac {x^{k}}{k!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty

\cos(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty

\sin(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty

Из тога следи да $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,$ можемо поделити:

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\sum _{l=0}^{2N+1}{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{l}}{l!}}=\sum _{m=0}^{N}(-1)^{m}{\frac {\varphi ^{2m}}{(2m)!}}+\mathrm {i} \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}{\frac {\varphi ^{2m+1}}{(2m+1)!}}

За $N\rightarrow \infty \,$ добијамо $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )$ , што је наш тражени резултат.

Математичка лепота

Ојлеров идентитет се често наводи као пример дубоке математичке лепоте.^[11] Три основне аритметичке операције се дешавају тачно једном: сабирање, множење и степеновање. Идентитет такође повезује пет основних математичких константи:^[12]

Број 0, адитивни идентитет.
Број 1, мултипликативни идентитет.^[13]^[14]^[15]
Број $π$ ( $π$ = 3.1415...), основна константа круга.
Број $e$ ( $e$ = 2.718...), познат и као Ојлеров број, који се широко јавља у математичкој анализи.
Број $i$ , имагинарна јединица комплексних бројева.

Даље, једначина је дата у облику скупа израза једнаког нули, што је уобичајена пракса у неколико области математике.

Професор математике на Универзитету Стенфорд Кит Девлин је рекао: „попут Шекспировог сонета који хвата саму суштину љубави, или слике која открива лепоту људског облика који је много више од површности, Ојлерова једначина сеже у саму дубине постојања“.^[16] Пол Нахин, професор емеритус на Универзитету у Њу Хемпширу, који је написао књигу посвећену Ојлеровој формули и њеној примени у Фуријеовој анализи, описује Ојлеров идентитет као устројство „изузетне лепоте“.^[17]

Писац математике Констанс Рид изнела је мишљење да је Ојлеров идентитет „најпознатија формула у целој математици“.^[18] Бенџамин Пирс, амерички филозоф, математичар и професор на Универзитету Харвард из 19. века, након што је доказао Ојлеров идентитет током предавања, изјавио је да је идентитет „апсолутно парадоксалан; не можемо да га разумемо, и не знамо шта значи, али ми смо то доказали и стога знамо да то мора бити истина“.^[19]

Анкета читалаца коју је спровео часопис The Mathematical Intelligencer 1990. године назвала је Ојлеров идентитет „најлепшом теоремом у математици“.^[20] У другој анкети читалаца коју је спровео часопис Physics World 2004. године, Ојлеров идентитет је повезан са Максвеловим једначинама (електромагнетизма) као „највећа једначина икада“.^[21]

Најмање три књиге популарне математике су објављене о Ојлеровом идентитету:

Невероватна формула др Ојлера: Лечи многе математичке болести, Пол Нахин (2011)^[22]
Најелегантнија једначина: Ојлерова формула и лепота математике, Дејвид Стип (2017)^[23]
Ојлерова пионирска једначина: Најлепша теорема у математици, Робин Вилсон (2018).^[24]

Напомене

^ Термин „Ојлерова идентичност” (или „Ојлеров идентитет”) такође се другде користи за означавање других концепата, укључујући сродну општу формулу $e ix = cos x + i sin x$ ,^[1] и формулу Ојлеровог продукта.^[2]

Референце

^ Dunham, 1999, p. xxiv.
^ Stepanov, S. A. (7. 2. 2011). „Euler identity”. Encyclopedia of Mathematics. Приступљено 7. 9. 2018.
^ Weisstein, Eric W. „e”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-10.
^ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (illustrated изд.). Sterling Publishing Company. стр. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166
^ O'Connor, J J; Robertson, E F. „The number e”. MacTutor History of Mathematics.
^ Milla, Lorenz (2020), The Transcendence of π and the Squaring of the Circle, arXiv:2003.14035 
^ Hines, Robert. „e is transcendental” (PDF). University of Colorado. Архивирано (PDF) из оригинала 2021-06-23. г.
^ Sawyer, W. W. (1961). Mathematician's Delight (на језику: енглески). Penguin. стр. 155.
^ Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (illustrated изд.). Oxford University Press. стр. (preface). ISBN 978-0-19-251405-9.
^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (illustrated изд.). Prometheus Books. стр. 68. ISBN 978-1-59102-200-8.
^ Gallagher, James (13. 2. 2014). „Mathematics: Why the brain sees maths as beauty”. BBC News Online. Приступљено 26. 12. 2017.
^ Paulos, 1992, p. 117.
^ Weisstein, Eric W. „Identity Element”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2019-12-01.
^ „Definition of IDENTITY ELEMENT”. www.merriam-webster.com. Приступљено 2019-12-01.
^ „Identity Element”. www.encyclopedia.com. Приступљено 2019-12-01.
^ Nahin, 2006, p. 1.
^ Nahin, 2006, p. xxxii.
^ Reid, chapter e.
^ Maor, p. 160, and Kasner & Newman, p. 103–104.
^ Wells 1990
^ Crease 2004
^ Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills (на језику: енглески). Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.
^ Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (на језику: енглески) (First изд.). Basic Books. ISBN 978-0465093779.
^ Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics (на језику: енглески). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.

Литература

Conway, John H., and Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer. Conway, John H.; Guy, Richard (16. 3. 1998). The Book of Numbers. Springer. стр. 254. ISBN 978-0-387-97993-9.
Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World [registration required]
Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America. Dunham, William (31. 7. 2020). Euler: The Master of Us All. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-88385-328-3.
Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
Kasner, E., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
Maor, Eli , $e$ : The Story of a number, Princeton University Press. . 1998. ISBN 978-0-691-05854-2. Недостаје или је празан параметар |title= (помоћ)
Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press. Nahin, Paul J. (2006). Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2.
Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books. Paulos, John Allen (1992). Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics. Penguin. ISBN 978-0-14-014574-8.
Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of Americа
Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America. Edward Sandifer, C. (30. 8. 2007). How Euler Did It. стр. 4. ISBN 978-0-88385-563-8.
Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books
Wells, David (1990). „Are these the most beautiful?”. The Mathematical Intelligencer. 12 (3): 37—41. S2CID 121503263. doi:10.1007/BF03024015.
Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press
Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), „The experience of mathematical beauty and its neural correlates”, Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, PMC 3923150 , PMID 24592230, doi:10.3389/fnhum.2014.00068 
Carl Boyer; Uta Merzbach (1991). A History of Mathematics (2nd изд.). Wiley. стр. 419. ISBN 978-0-471-54397-8.
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

Спољашње везе

[3] Термин „Ојлерова идентичност” (или „Ојлеров идентитет”) такође се другде користи за означавање других концепата, укључујући сродну општу формулу $e ix = cos x + i sin x$ ,^[1] и формулу Ојлеровог продукта.^[2]

[1] Dunham, 1999, p. xxiv.

[EOM-2] Stepanov, S. A. (7. 2. 2011). „Euler identity”. Encyclopedia of Mathematics. Приступљено 7. 9. 2018.

[:1-4] Weisstein, Eric W. „e”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-10.

[Pickover-5] Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (illustrated изд.). Sterling Publishing Company. стр. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166

[OConnor-6] O'Connor, J J; Robertson, E F. „The number e”. MacTutor History of Mathematics.

[7] Milla, Lorenz (2020), The Transcendence of π and the Squaring of the Circle, arXiv:2003.14035 

[8] Hines, Robert. „e is transcendental” (PDF). University of Colorado. Архивирано (PDF) из оригинала 2021-06-23. г.

[9] Sawyer, W. W. (1961). Mathematician's Delight (на језику: енглески). Penguin. стр. 155.

[10] Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (illustrated изд.). Oxford University Press. стр. (preface). ISBN 978-0-19-251405-9.

[11] Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (illustrated изд.). Prometheus Books. стр. 68. ISBN 978-1-59102-200-8.

[Gallagher2014-12] Gallagher, James (13. 2. 2014). „Mathematics: Why the brain sees maths as beauty”. BBC News Online. Приступљено 26. 12. 2017.

[13] Paulos, 1992, p. 117.

[14] Weisstein, Eric W. „Identity Element”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2019-12-01.

[15] „Definition of IDENTITY ELEMENT”. www.merriam-webster.com. Приступљено 2019-12-01.

[:0-16] „Identity Element”. www.encyclopedia.com. Приступљено 2019-12-01.

[17] Nahin, 2006, p. 1.

[18] Nahin, 2006, p. xxxii.

[19] Reid, chapter e.

[20] Maor, p. 160, and Kasner & Newman, p. 103–104.

[21] Wells 1990

[22] Crease 2004

[23] Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills (на језику: енглески). Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.

[24] Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (на језику: енглески) (First изд.). Basic Books. ISBN 978-0465093779.

[25] Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics (на језику: енглески). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.

[n 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[1]

[2]