Ојлеров идентитет је у математици назив за формулу:
e
i
φ
=
cos
φ
+
i
sin
φ
{\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos {\varphi }+\mathrm {i} \sin {\varphi }}
која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева . Број
e
{\displaystyle \mathrm {e} \,}
Ојлеров број (база природног логаритма),
i
{\displaystyle \mathrm {i} \,}
φ
∈
R
{\displaystyle \varphi \in {\mathbb {R}}}
Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера „Introductio“ објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.
Иако је првобитна претпоставка била
φ
∈
R
{\displaystyle \varphi \in {\mathbb {R}}}
φ
∈
C
{\displaystyle \varphi \in {\mathbb {C}}}
За угао
φ
=
π
{\displaystyle \varphi =\pi \,}
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1\,}
или мало другачији облик Ојлеровог идентитета
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,}
се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
π
{\displaystyle \pi \,}
e
{\displaystyle \mathrm {e} \,}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+\mathrm {i} y\,}
дефинисала експоненцијална функција:
e
x
+
i
y
:=
e
x
(
cos
y
+
i
sin
y
)
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x+\mathrm {i} y}:=\mathrm {e} ^{x}(\cos y+\mathrm {i} \sin y)\,}
а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.
Прва метода [ уреди ] Посматрамо функцију:
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
+
i
⋅
sin
(
x
)
e
i
x
{\displaystyle f(x)={\frac {\cos(x)+\mathrm {i} \cdot \sin(x)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}}
Именилац никада није нула, јер важи:
e
i
x
⋅
e
−
i
x
=
e
0
=
1
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}=\mathrm {e} ^{0}=1}
Ојлеров идентитет тврди да је
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1\,}
x
{\displaystyle x\,}
Прво доказујемо да је функција
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0\,}
x
{\displaystyle x\,}
Знамо да је извод од
e
i
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,}
[
e
i
x
]
′
=
i
⋅
e
i
x
{\displaystyle \left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\right]'=\mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}
Следи:
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)\,}
=
(
−
sin
x
+
i
⋅
cos
x
)
⋅
e
i
x
−
(
cos
x
+
i
⋅
sin
x
)
⋅
i
⋅
e
i
x
(
e
i
x
)
2
{\displaystyle ={\frac {(-\sin x+\mathrm {i} \cdot \cos x)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-(\cos x+\mathrm {i} \cdot \sin x)\cdot \mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}}
=
−
sin
x
⋅
e
i
x
+
i
⋅
cos
x
⋅
e
i
x
−
i
⋅
cos
x
⋅
e
i
x
−
i
2
⋅
sin
x
⋅
e
i
x
(
e
i
x
)
2
{\displaystyle ={\frac {-\sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} ^{2}\cdot \sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}}
=
0
{\displaystyle =0\,}
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0\,}
0
{\displaystyle 0\,}
f
(
0
)
=
cos
(
0
)
+
i
⋅
sin
(
0
)
e
i
0
=
1
+
0
e
0
=
1
1
=
1
{\displaystyle f(0)={\frac {\cos(0)+\mathrm {i} \cdot \sin(0)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 0}}}={\frac {1+0}{\mathrm {e} ^{0}}}={\frac {1}{1}}=1}
Добили смо дакле жељени резултат.
Друга метода [ уреди ] Друга метода се користи редовима за
cos
{\displaystyle \cos \,}
sin
{\displaystyle \sin \,}
e
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}\,}
e
x
=
∑
k
=
0
2
N
+
1
x
k
k
!
,
N
→
∞
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{k=0}^{2N+1}{\frac {x^{k}}{k!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty }
cos
(
x
)
=
∑
k
=
0
N
(
−
1
)
k
x
2
k
(
2
k
)
!
,
N
→
∞
{\displaystyle \cos(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty }
sin
(
x
)
=
∑
k
=
0
N
(
−
1
)
k
x
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
,
N
→
∞
{\displaystyle \sin(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty }
Из тога следи да
e
i
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,}
e
i
φ
=
∑
l
=
0
2
N
+
1
(
i
φ
)
l
l
!
=
∑
m
=
0
N
(
−
1
)
m
φ
2
m
(
2
m
)
!
+
i
∑
n
=
0
N
(
−
1
)
n
φ
2
m
+
1
(
2
m
+
1
)
!
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\sum _{l=0}^{2N+1}{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{l}}{l!}}=\sum _{m=0}^{N}(-1)^{m}{\frac {\varphi ^{2m}}{(2m)!}}+\mathrm {i} \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}{\frac {\varphi ^{2m+1}}{(2m+1)!}}}
За
N
→
∞
{\displaystyle N\rightarrow \infty \,}
e
i
φ
=
cos
(
φ
)
+
i
sin
(
φ
)
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )}
Спољашње везе [ уреди ] 
![{\displaystyle \left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\right]'=\mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/788608cffea729cef9947616d629e94ae6f22d5e)
