Ојлеров идентитет

Из Википедије, слободне енциклопедије

Ојлеров идентитет је у математици назив за формулу:

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број је Ојлеров број (база природног логаритма), имагинара јединица комплексних бројева, а угао.

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера „Introductio“ објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била , једначина важи и за .

За угао добија се идентитет

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве , , , 1, и 0 (нула), основне математичке радње + и степеновање, најважнију релацију =, и ништа више.


Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента прво дефинисала експоненцијална функција:

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Прва метода[уреди]

Посматрамо функцију:

Именилац никада није нула, јер важи:

Ојлеров идентитет тврди да је за све вредности .

Прво доказујемо да је функција константна, односно да је њен извод за све :

Знамо да је извод од :

Следи:

значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то :

Добили смо дакле жељени резултат.

Друга метода[уреди]

Друга метода се користи редовима за , и . Знамо да ове три функције можемо написати као:

Из тога следи да можемо поделити:

За добијамо , што је наш тражени резултат.


Спољашње везе[уреди]