Парсевалова теорема

У математици, Парсевалова теорема ^[1] обично се односи на резултат да је Фуријеова трансформација унитарна ; односно, да је сума (или интеграл) квадрата функције једнака збиру (или интегралу) квадрата његове трансформације. Она потиче из теореме из 1799. године о серијама Марка-Антоана Парсевала, која је касније примењена на Фуријеов ред . Позната је и као Рајлехова енергетска теорема, или Рајлехов идентитет, након Џона Вилијама Страта, лорда Рајлеха. ^[2]

Иако се термин „Парсевалова теорема“ често користи за описивање унитарности било које Фуријеове трансформације, посебно у физици, најчешћи облик овог својства се правилније назива Планшерелова теорема . ^[3]

Доказ Парсевалове теореме

Претпоставимо да су $A(x)$ и $B(x)$ две квадратне интеграбилне (у погледу Лебегове мере), функције сложене вредности на $\mathbb {R}$ периоде $2\pi$ са Фуријеовим редом

A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}

и

B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}

респективно. Онда

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}\,\mathrm {d} x,$

(Eq.1)

где $i$ је имагинарна јединица, а хоризонталне цртице означавају сложену конјугацију .

Више уопштено, дата као абелова локална компактна група G са дуалношћу по Понтрагјину G^, Парсевалова теорема каже да Понтрагјин-Фуријеова трансформација јесте унитарни оператер између Хилбертових простора L² (G) и L² (G^) (с интеграција је против одговарајуће умањене Харове мере на две групе.) Када је G јединични круг Т, G^ су цели бројеви и то је случај који је горе разматран. Када је G права линија $\mathbb {R}$ , G^ је такође $\mathbb {R}$ а унитарна трансформација је Фуријеова трансформација на стварној линији. Када је G циклична група Z_n, поново је самодуална, а Понтрагјин-Фоуријева трансформација је оно што се у примењеним контекстима назива дискретном Фуријевом трансформацијом .

Парсевалова теорема се такође може изразити на следећи начин: Претпоставимо да је $f(x)$ квадратна интеграбилна функција $[-\pi ,\pi ]$ (тј. $f(x)$ и $f^{2}(x)$ су интегрисани на том интервалу), са Фуријеовим редом

f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).

Тада ^[4] ^[5] ^[6]

{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).

Нотација коришћена у физици

У физици и инжењерству, Парсевалова теорема се често пише као:

\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f

где $X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}$ представља континуирану Фуријеову трансформацију (у нормализованом, унитарном облику) од $x(t)$ , а $\omega =2\pi f$ је фреквенција у радијанима у секунди.

Тумачење овог облика теореме је да се укупна енергија сигнала може израчунати сабирањем снаге по узорку током времена или спектралне снаге по фреквенцији.

За дискретне временске сигнале, теорема постаје:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi

где $X_{2\pi }$ јесте дискретна Фуријеова трансформација (ДТФТ) од $x$ и $\phi$ представља угаону фреквенцију (у радијанима по узорку) од $x$ .

Алтернативно, за дискретну Фуријеову трансформацију (ДФТ), однос постаје:

\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}

где $X[k]$ јесте ДФТ од $x[n]$ , обе дужине $N$ .

Види још

Парсевалова теорема уско је повезана са осталим математичким резултатима који укључују унитарне трансформације:

Парсевалов идентитет
Планшерелова теорема
Теорема Вајнер – Хинчин
Беселова неједнакост

Напомене

^ Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants" presented before the Académie des Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.), vol. 1, pages 638–648 (1806).
^ Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature," Philosophical Magazine, vol. 27, pages 460–469. Available on-line here.
^ Plancherel, Michel (1910) "Contribution à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298–335.
^ Arthur E. Danese (1965). Advanced Calculus. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. стр. 439.
^ Wilfred Kaplan (1991). Advanced Calculus (4th изд.). Reading, MA: Addison Wesley. стр. 519. ISBN 0-201-57888-3.
^ Georgi P. Tolstov (1962). Fourier Series. Превод: Silverman, Richard. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. стр. 119.

Референце

Парсевал, МацТутор архива историје математике .
Георге Б. Арфкен и Ханс Ј. Вебер, Математичке методе за физичаре (Харцоурт: Сан Диего, 2001).
Хуберт Кеннеди, Осам математичких биографија (Перемптори Публицатионс: Сан Францисцо, 2002).
Алан В. Оппенхеим и Роналд В. Сцхафер, 2. издање дискретне обраде сигнала (Прентице Халл: Уппер Саддле Ривер, Њ, 1999) стр. 60.
Виллиам МцЦ. Сиеберт, Цирцуитс, Сигналс, анд Системс (МИТ Пресс: Цамбридге, МА, 1986), стр. 410–411.
Давид В. Каммлер, Први курс у Фоуриеровој анализи (Прентице-Халл, Инц., Река Горње седло, Њ, 2000) стр. 74.

Спољашње везе

Парсевалова теорема на МетВорлд

[1] Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants" presented before the Académie des Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.), vol. 1, pages 638–648 (1806).

[2] Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature," Philosophical Magazine, vol. 27, pages 460–469. Available on-line here.

[3] Plancherel, Michel (1910) "Contribution à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298–335.

[4] Arthur E. Danese (1965). Advanced Calculus. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. стр. 439.

[5] Wilfred Kaplan (1991). Advanced Calculus (4th изд.). Reading, MA: Addison Wesley. стр. 519. ISBN 0-201-57888-3.

[6] Georgi P. Tolstov (1962). Fourier Series. Превод: Silverman, Richard. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. стр. 119.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]