Парцијални извод

С Википедије, слободне енциклопедије

У математици, парцијални извод функције са неколико променљивих је њен извод по једној од тих променљивих, док се друге држе константним (за разлику од тоталног извода, у коме је свим променљивама дозвољено да варирају). Парцијални изводи се користе у векторском калкулусу и диференцијалној геометрији.

Ако постоје коначне граничне вредности количника прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима независно променљивих такве да теже нули, тада се те граничне вредности називају парцијалним изводима функције у тачки .

Парцијални дериват функције по променљивој се различито означава са

Понекад, ако је парцијални извод у погледу се означава са Пошто су парцијални деривати генерално функције истих променљивих као и оригиналне функције, та функционална зависност се понекад експлицитно уврштава у нотацију, као у

Симбол који се користи за означавање парцијалних деривата је . Једна од првих позбнатих употреба тог симбола у математици је присутна у раду Маркиза де Кордосета и 1770, где га је он користио за парцијалне изводе. Модерна нотација парцијалних извода потиче од Адријен-Мари Лежандра (1786), мада ју је он касније напустио; Карл Густав Јакоб Јакоби је поново увео симбол 1841. године.[1]

Дефиниција[уреди | уреди извор]

Као и обични деривати, парцијални дериват је дефинисан као лимит. Нека је U отворени подскуп од и функција. Парцијални дериват од f у тачки у односу на i-ту променљиву xi је дефинисан као

Чак и ако сви парцијални деривати ∂f/∂xi(a) постоје у датој тачки a, функција не мора тамо бити континуирана. Међутим, ако сви парцијални деривати постоје у околини a и тамо су континуирани, тада је f потпуно диференцијабилна у том суседству и тотални извод је континуиран. У овом случају се каже да је f функција C11. Ово се може користити за генерализацију за векторске функције, , пажљиво користећи компонентни аргумент.

Парцијални дериват се може посматрати као још једна дефинисана функција на U и опет се може парцијално диференцирати. Ако су сви мешовити парцијални изводи другог реда континуирани у тачки (или на скупу), f се у тој тачки (или на том скупу) назива C2 функција; у овом случају се парцијални деривати могу заменити Клајраутовом теоремом:

Нотација[уреди | уреди извор]

Детаљније:

За следеће примере, нека је функција у и .

Парцијални деривати првог реда:

Парцијални деривати другог реда:

Мешовити деривати другог реда:

Парцијални и виши деривати вишег реда:

Када се ради о функцијама више променљивих, неке од ових променљивих могу бити повезане једна с другом, те ће можда бити потребно да се експлицитно наведе које се променљиве држе константним како би се избегла нејасноћа. У пољима као што је статистичка механика, парцијални дериват од у односу на , држећи и константним, често се изражава као

Консеквентно, ради јасноће и једноставности записа, парцијални дериват функције и вредност функције у одређеној тачки су повезани тако што укључују аргументе функције када се користи симбол парцијалног деривата (Лајбницов запис). Дакле, израз попут

се користи за функцију, док се

може користити за вредност функције у тачки . Међутим, ова конвенција се не користи када се жели да се процени парцијални дериват у тачки попут . У таквом случају, вредновање функције мора бити изражено на незграпан начин као

или

како би се користио Лајбницов запис. Стога, у овим случајевима, може да буде пожељније да се користи Ојлеров диференцијални запис оператора са као симбол парцијалног извода у односу на i-ту променљиву. На пример, могло би се написати за горе описани пример, док израз представља функцију парцијалног извода у односу на прву променљиву.[2]

За парцијалне деривате вишег реда, парцијални дериват (функција) од у односу на ј-ту променљиву означена је са . Стога је, , тако да су променљиве наведене по редоследу узимања деривата, и отуда обрнутим редоследом од тога како се обично бележи композиција оператора. Наравно, Клајраутова теорема имплицира да је докле год су задовољени релативно благи услови регуларности на f.

Градијент[уреди | уреди извор]

Важан пример функције више променљивих је случај функције скаларне вредности f(x1, …, xn) на домену у Еуклидском простору (нпр. на или ). У овом случају f има парцијални дериват ∂f/∂xj у односу на сваку променљиву xj. У тачки a, ови парцијални деривати дефинишу вектор

Овај вектор се назива градијент од f у a. Ако је f диференцијабилно у свакој тачки у неком домену, онда је градијент векторски-вредносна функција ∇f која води тачку a у вектор ∇f(a). Сходно томе, градијент производи векторско поље.

Уобичајена злоупотреба записа је дефинисање дел оператора (∇) на следећи начин у тродимензионалном Еуклидском простору са јединичним векторима :

Или, уопштеније, за n-димензионални Еуклидски простор са координатама и јединичним векторима :

Дирекциони дериват[уреди | уреди извор]

Контурни графикон од , који приказује градијентни вектор у црној боји, и јединични вектор скалиран усмереном дериватом у правцу у наранџастој боји. Вектор градијента је дужи, јер градијент орјентисан у смеру највеће стопе повећања функције.

Дирекциони дериват скаларне функције

дуж вектора

је функција дефинисана помоћу лимита[3]

Ова дефиниција важи у широком спектру контекста, на пример где је норма вектора (а самим тим и јединични вектор) недефинисана.[4]

Пример[уреди | уреди извор]

Претпоставимо да је f функција више од једне променљиве. На пример,

.
Графикон z = x2 + xy + y2. За парцијални извод у (1, 1) то даје константу y, што кореспондира тангенти је паралелна са xz-равни.
Део горњег графикона који приказује функцију у xz-равнини на y = 1. Треба имати на уму да су две осе овде приказане са различитим скалама. Нагиб тангентне линије је 3.

Графикон ове функције дефинише површину у Еуклидовом простору. За сваку тачку на овој површини постоји бесконачан број тангентних линија. Парцијална диференцијација је чин одабира једне од ових линија и проналажења њеног нагиба. Обично су најзанимљивије линије оне које су паралелне са -равни, и оне које су паралелне са из -равни (које резултирају из држања или константним, респективно).

Да би се пронашао нагиб линије која је тангентна на функцију у и паралелна са -равни, се третира као константа. Графикон и ова раван су приказани десно. У наставку се види како функција изгледа у равни . Проналажењем деривата једначине уз претпоставку да је константа, открива се да је нагиб у тачки :

.

Дакле, у , заменом, нагиб је 3. Због тога,

у тачки . То јест, парцијални дериват у односу на у је 3, као што је приказано на графикону.

Функција f се може поново тумачити као породица функција једне променљиве индексиране другим променљивама:

Другим речима, свака вредност y дефинише функцију, означену са fy , која је функција једне променљиве x.[а] То јест,

У овом одељку ознака индекса fy означава функцију зависну од фиксне вредности y, а не делимичан дериват.

Када се изабере вредност y, рецимо a, онда f(x,y) одређује функцију fa која прати криву x2 + ax + a2 на -равни:

.

У овом изразу, a је константа, а не променљива, те је fa функција само једне реалне променљиве, која је x. Сходно томе, примењује се дефиниција деривата за функцију једне променљиве:

.

Горе наведени поступак се може извести за било који избор a. Склапање деривата заједно у функцију даје функцију која описује варијацију f у смеру x:

Ово је парцијални извод f у односу на x. Овде је заокружено d који се назива симбол парцијалног извода; да би се разликовао од слова d, се понекад изговара као „парцијал“.

Парцијални изводи вишег реда[уреди | уреди извор]

Парцијални деривати другог и вишег реда су дефинисани аналогно дериватима вишег реда униваријантних функција. За функцију „сопствени” други парцијални дериват у односу на то x је једноставно парцијални дериват парцијалног деривата (обе у односу на x):[5]:316–318

Укрштена парцијална деривација у односу на x и y добија се узимањем парцијалног извода од f у односу на x, а затим се узима парцијални извод резултата у односу на y, да би се добило

Шварцова теорема наводи да ако су други деривати континуирани, на израз за унакрсну парцијалну деривацију нема утицаја по којој варијабли се парцијална деривација прво врши. Другим речима,

или еквивалентно

Сопствени и унакрсни парцијални деривати појављују се у Хесовој матрици која се користи у условима другог реда у проблемима оптимизације.

Напомене[уреди | уреди извор]

  1. ^ Ово се такође може изразити као придруживање између конструкција продукта простора и функционог простора.

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Miller, Jeff (14. 6. 2009). „Earliest Uses of Symbols of Calculus”. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Приступљено 20. 2. 2009. 
  2. ^ Spivak, M. (1965). Calculus on Manifolds. New York: W. A. Benjamin, Inc. стр. 44. ISBN 9780805390216. 
  3. ^ R. Wrede; M.R. Spiegel (2010). Advanced Calculus (3rd изд.). Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7. 
  4. ^ The applicability extends to functions over spaces without a metric and to differentiable manifolds, such as in general relativity.
  5. ^ Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984.

Спољашње везе[уреди | уреди извор]