Пел број

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

У математици, пел бројеви су бесконачни редови целих бројева, познати од давнина, који обухватају имениоце најближих рационалних апроксимација до квадратног корена броја 2. Ред апроксимације почиње 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, и 41/29, тако да низ Пел бројева почиње 1, 2, 5, 12, и 29. Бројеви истог реда апроксимације су половина пратећих Пел бројева или Пел-Лукас бројева; ови бројеви чине други бесконачни ред који почиње са 2, 6, 14, 34, и 82. И Пел број и пратећи Пел број се могу израчунати помоћу понављања везе сличне оној за Фибоначијеве бројеве, и оба Пел број и пратећи Пел број могу бити израчунати помоћу понављања односа слично као за Фибоначијеве бројеве, и оба низа бројева расту експоненцијално, пропорционално снази сребрног односа 1 + √2. Као што се користе за апроксимацију квадратног корена двојке, Пел бројеви могу бити коришћени да се нађе квадратни троугаони број, да се конструише целобројна апроксимација десног једнакокраког троугла, и да се реши одређен комбинаторни бројни проблем.[1]

Као са Пеловом једначином, име Пел бројева потиче од погрешног преписивања једначине Леонарда Ојлера и добијених података од ње Џона Пела. Пел-Луас бројеви су такође названи по Едуарду Лукасу, који је разматрао редове дефинисане помоћу понављања овог типа; Пел и пратећи Пел бројеви су Лукас редови.

Пел бројеви[уреди]

Пел бројеви су дефинисани помоћу понављања односа

Речима, ред Пел бројева почиње 0 и 1, а онда сваки Пел број је збир двоструког претходног Пел броја и Пел броја пре њега. Првих неколико чланова реда су

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, ... (sequence A000129 in OEIS).

Пел бројеви се такође могу изразити затвореном формом формуле

За велике вредности n-а, члан  доминира овим изразом, тако да су Пел бројеви пропорционални снази сребрног пресека , аналогно стопи раста Фибоначијевих бројева као снаге златног пресека.

Могућа је трећа дефиниција, из матричне формуле

Многи идентитети могу бити изведени или доказани из ових дефиниција; на пример, идентитет аналоган Касиновом идентитету за Фибоначијеве бројеве,

је непосредна последица матричне формуле (пронађен имајући у виду детерминанте матрица на левој и десној страни матричне формуле).[2]

Апроксимација квадратног корена двојке[уреди]

Рационална апроксимација до правог октагона, са координатама изведеним из Пел броја.

Пел бројеви настају историјски и пре свега приликом рационалне апроксимације квадратног корена двојке. Ако два велика цела броја х и у формирају решење Пел једначине

онда њихов однос даје приближну апроксимацију . Ред апроксимације ове форме је 

где је делилац сваког разломка Пел број и бројилац сума Пел броја и његовог претходника у реду. Тада, решење има форму  . Апроксимација

овог типа је била позната индијском математичару у трећем или четвртом веку П. Н. Е. [3] Грк у петом веку П. Н. Е. је такође знао овај ред апроксимације.[4] Платон се односи на бројиоце као рационалне дијаметре.[5] У 2. веку Н. Е. Теон оф Смирна је користио термин бочног и дијаметријског броја да опише делиоце и бројиоце овог реда. [6]

Ове апроксимације могу бити изведене из настављеног разломка проширења :

Скраћивањем ове експанзије до било ког броја чланова производи једну од апроксимација базирану на Пел броју овог реда; на пример,

Како Кнут (1994) описује, чињеница да Пел бројеви апроксимирају  дозвољава им да буду коришћени за тачне рационалне апроксимације до регуларног октагона са чворовима координата  и . Сва темена су подједнако удаљена од порекла, а чине готово јединствене углове око порекла. Алтернативно, тачке , , и  формирају приближан октагон у ком су темена скоро подједнако удаљена од порекла и формирају јединствене углове.

Прости бројеви и квадрати[уреди]

Пел прост број је Пел број који је прост. Првих нколико Пел простих бројева

2, 5, 29, 5741, ... (sequence A086383 in OEIS).

За ове н је

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, ... (sequence A096650 in OEIS)

Као са Фибоначијевим бројевима, Пел број  може бити прост само ако је његов н прост, зато што а дели б ако и само ако  дали .

Ако и само ако се прост број р поклапа са 1 или 7 (мод 8), онда р дели Pp-1, у супротном, p дели Pp+1. (Једини изузетак је p = 2, ако и само ако је p = 2, онда p дели Pp)

Једини Пел бројеви коју су квадрати, кубови или неки виши степен целог броја су 0, 1, и 169 = 132.[7]

Међутим, упркос томе што имају неколико квадрата и других степена, Пел бројеви имају блиску повезаност са квадратним троугаоним бројевима[8] Специјално, ови бројеви произилазе из следећег идентитета Пел бројева:

Лева страна овог идентитета описује квадратни број, док десна страна описује троугаони број, тако да је резултат квадратни троугаони број.

Сантана и Диаз-Бареро (2006) су доказали други идентитет повезујући Пел бројеве са квадратима и показујући да је збир Пел бројева до  увек квадрат:

На пример, збир Пел бројева до , , је квадрат. Бројеви  који формирају квадратни корен ових збирова, 

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, ... (sequence A002315 in OEIS),

су познати као Њумен-Шенкс-Вилиамс (ЊШВ) бројеви.

Питагорине тројке[уреди]

Целобројни десни троугао са готово истим страницама, изведен из Пел бројева.

Ако десни троугао има целобројну страну дужина a, b, c (обавезно је задовољена Питагорина теорема a2+b2=c2), онда је (a,b,c) Питагорина трока. Како Мартин (1875) описује, Пел бројеви се могу користити за формирање Питагорине тројке у којој су a и b једна јединица, одговарајући десним троугловима који су скоро једнакокраки. Свака таква тројка има форму

Ред Питагориних тројки формираних на овај начин је

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ....

Пел-Лукас бројеви[уреди]

The companion Pell numbers or Pell-Lucas numbers are defined by the recurrence relation

Речима: прва два броја у овом низу су оба 2, и сваки следећи број је формиран додавањем дуплог претходног Пел-Лукас броја Пел-Лукас броју пре овог, или еквивалентно, додавањем следећег Пел броја претходном Пел броју: тада, 82 је пратилац 29, и 82 = 2 * 34 + 14 = 70 + 12. Првих неколико чланова овог реда су (sequence A002203 in OEIS): 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478...

Као Фибоначијев број према Лукас броју, за све природне бројеве н.

Пратећи Пел бројеи могу бити изражени помоћу затворене форме формулом

Ови бројеви су сви једнаки;сваки такав број је два пута бројилац у једној рационалног апроксимацији  горе поменутој.

Као Лукас ред, ако је Пел-Лукас број прост, неопходно је да н буде или прост или степен 2. Пел-Лукас прости бројеви су

3, 7, 17, 41, 239, 577, ... (sequence A086395 in OEIS).

За ово н је

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, ... (sequence A099088 in OEIS).

Једначине и везе[уреди]

Следећа табела даје неколико првих степена сребрног односа  и његов коњуговани 

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Коефицијенти су половина пратећих Пел бројева  и Пел бројева  који су (не-негативна) решења Квадратни троугаони број је број , који је и ттх троугаони број и ктх квадратни број.  Близу једнакокраки Питагорин троугао   где је 

Следећа табела показује да раздвајање непарног броја  на скоро једнаке половине даје квадратни троугаони број када је н чак и скоро једнакокраки Питагорин троугао када је н непаран број. Сва решења настају на овај начин.

t t+1 s a b c
0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1
2 3 2 1 2 1
3 7 5 3 4 5
4 17 12 8 9 6
5 41 29 20 21 29
6 99 70 49 50 35
7 239 169 119 120 169
8 577 408 288 289 204
9 1393 985 696 697 985
10 3363 2378 1681 1682 1189
11 8119 5741 4059 4060 5741
12 19601 13860 9800 9801 6930

Дефиниције[уреди]

Половина пратилаца Пел бројева  и Пел бројева  може бити изведена на бројне лако еквивалентне начине.

Подизање на снаге:

Из овога следи да постоје затворене форме:

и

Упарени рецидиви:

и матричне формулације:

Тако је

Апроксимације[уреди]

Разлика између  и  је  која брзо иде ка нули. Тако је  екстремно близу 

Из последњег запажања следи да се показатељ целог броја  брзо приближава  и  и  се брзо приближавају 

H2 − 2P2 = ±1[уреди]

Како је  ирационалан, не можемо имати  тј., Најбоље што можемо да добијемо је  или 

(Не-негативна) решења за  су управо парови  чак и решења за  су управо парови  непарним. Да видите ово, приметите да је

тако да ове разлике, почевши од  су наизменично  Онда приметимо да је свако позитивно решење у облику мањих целих бројева од Мање решење такође има позитивне целе бројеве са једним изузетком  које долази из

Квадратни троугаони бројеви[уреди]

Тражена једначина  је еквивалентна  која постаје   са супституцијом  Отуда је н-то решење  and

Приметимо да су  и  узајамно прости тако да се дешава управо када су они суседни цели бројеви, један квадрат  и други два квадрата   Пошто знамо сва решења једначине, имамо и

и

Овај алтернативни израз се види у следећој табели. 

t t+1 s а b c
0 1 0
1 1 1 1 2 1 3 4 5
2 3 2 8 9 6 21 20 29
3 7 5 49 50 35 119 120 169
4 17 12 288 289 204 697 696 985
5 41 29 1681 1682 1189 4059 4060 5741
6 99 70 9800 9801 6930 23661 23660 33461

Питагорине тројке[уреди]

Једначина  се јавља управом када је  које постаје  са супституције   Стога је н-то решење  and

Горња табела показује да, у једном или другом реду, је  док је 

Референце[уреди]

  1. ^ For instance, Sellers (2002) proves that the number of perfect matchings in the Cartesian product of a path graph and the graph K4-e can be calculated as the product of a Pell number with the corresponding Fibonacci number.
  2. ^ For the matrix formula and its consequences see Ercolano (1979) and Kilic and Tasci (2005).
  3. ^ As recorded in the Shulba Sutras; see e.g.
  4. ^ See Knorr (1976) for the fifth century date, which matches Proclus' claim that the side and diameter numbers were discovered by the Pythagoreans.
  5. ^ For instance, as several of the references from the previous note observe, in Plato's Republic there is a reference to the "rational diameter of 5", by which Plato means 7, the numerator of the approximation 7/5 of which 5 is the denominator.
  6. ^ Heath, Sir Thomas Little (1921). History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. Courier Dover Publications. стр. 112. ISBN 978-0-486-24073-2. 
  7. ^ Pethő (1992); Cohn (1996).
  8. ^ Sesskin 1962

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]