Планков закон

Планков закон тачно описује зрачење црног тела. Овде је приказана породица кривих за различите температуре. Класична (црна) крива одступа од посматраног интензитета на високим фреквенцијама (кратким таласним дужинама).

У физици, Планков закон (такође и Планков закон зрачења) описује спектралну густину електромагнетног зрачења које емитује црно тело у термодинамичкој равнотежи на датој температури T, када не постоји нето проток материје или енергије између тела и његове околине.

Крајем 19. века, физичари нису могли да објасне зашто посматрани спектар зрачења црног тела, који је до тада био тачно измерен, значајно одступа на вишим фреквенцијама од онога што су предвиђале постојеће теорије. Године 1900, немачки физичар Макс Планк је хеуристички извео формулу за посматрани спектар, претпоставивши да хипотетички електрично наелектрисани осцилатор у шупљини која садржи зрачење црног тела може да промени своју енергију само у минималном инкременту, E, који је пропорционалан фреквенцији придруженог електромагнетног таласа. Иако је Планк првобитно сматрао хипотезу о подели енергије на инкременте математичким триком, уведеним само да би се добио тачан одговор, други физичари, укључујући Алберта Ајнштајна, надовезали су се на његов рад, те се Планков увид данас препознаје као фундаментално важан за квантну теорију.

Дефиниција

Свако физичко тело спонтано и континуирано емитује електромагнетно зрачење, а спектрална радијанса тела, B_ν, описује спектралну емисиону моћ по јединици површине, по јединици просторног угла и по јединици фреквенције за одређене фреквенције зрачења. Однос дат Планковим законом зрачења, приказан у наставку, показује да са повећањем температуре, укупна израчена енергија тела расте, а врх емитованог спектра се помера ка краћим таласним дужинама. Према Планковом закону расподеле, спектрална густина енергије (енергија по јединици запремине по јединици фреквенције) на датој температури дата је са:

$$u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}.$$

Алтернативно, закон се може изразити за спектралну радијансу тела за фреквенцију ν на апсолутној температури T која је дата као:

$$B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}$$

где је k_B Болцманова константа, h је Планкова константа, а c је брзина светлости у средини, било да је материјална или вакуум.

СИ јединице спектралне радијансе B_ν су W·sr^-1·m^-2·Hz^-1. Спектрална радијанса B_λ има јединице W·sr^-1·m^-3.

CGS јединице спектралне радијансе B_ν су ерг·s⁻¹·sr⁻¹·cm⁻²·Hz⁻¹.

Термини B и u су међусобно повезани фактором 4π/c, пошто је B независно од смера, а зрачење се креће брзином c.

Спектрална радијанса се такође може изразити по јединици таласне дужине λ уместо по јединици фреквенције. Поред тога, закон се може изразити и другим терминима, као што су број фотона емитованих на одређеној таласној дужини или густина енергије у запремини зрачења.

У лимесу ниских фреквенција (тј. дугих таласних дужина), Планков закон тежи Рејли-Џинсовом закону, док у лимесу високих фреквенција (тј. малих таласних дужина) тежи Виновој апроксимацији.

Макс Планк је развио закон 1900. године само са емпиријски одређеним константама, а касније је показао да је, изражен као расподела енергије, то јединствена стабилна расподела за зрачење у термодинамичкој равнотежи. Као расподела енергије, она је једна из породице расподела топлотне равнотеже које укључују Бозе-Ајнштајнову расподелу, Ферми-Диракову расподелу и Максвел-Болцманову расподелу.

Зрачење црног тела

Главни чланак: Зрачење црног тела

Сунце се апроксимира као радијатор црног тела. Његова ефективна температура је око 7003577700000000000♠5777 K.

Црно тело је идеализовани објекат који апсорбује и емитује све фреквенције зрачења. У близини термодинамичке равнотеже, емитовано зрачење је блиско описано Планковим законом и због своје зависности од температуре, Планково зрачење се назива топлотним зрачењем, тако да што је виша температура тела, то више зрачења емитује на свакој таласној дужини.

Планково зрачење има максимални интензитет на таласној дужини која зависи од температуре тела. На пример, на собној температури (~7002300000000000000♠300 K), тело емитује топлотно зрачење које је углавном инфрацрвено и невидљиво. На вишим температурама количина инфрацрвеног зрачења се повећава и може се осетити као топлота, а емитује се и више видљивог зрачења, тако да тело светли видљиво црвено. На вишим температурама, тело је светло жуто или плаво-бело и емитује значајне количине зрачења кратких таласних дужина, укључујући ултраљубичасто и чак X-зраке. Површина Сунца (~7003600000000000000♠6000 K) емитује велике количине и инфрацрвеног и ултраљубичастог зрачења; његова емисија је највећа у видљивом спектру. Ово померање услед температуре назива се Винов закон померања.

Планково зрачење је највећа количина зрачења коју било које тело у топлотној равнотежи може емитовати са своје површине, без обзира на његов хемијски састав или површинску структуру. Пролаз зрачења кроз границу између медија може се окарактерисати емисивношћу границе (однос стварне радијансе према теоријској Планковој радијанси), обично означеном симболом ε. Она генерално зависи од хемијског састава и физичке структуре, температуре, таласне дужине, угла проласка и поларизације. Емисивност природне границе је увек између ε = 0 и 1.

Тело које се граничи са другим медијумом, а које истовремено има ε = 1 и апсорбује сво зрачење које на њега падне, назива се црно тело. Површина црног тела може се моделирати малим отвором у зиду велике коморе која се одржава на уједначеној температури са непрозирним зидовима који, на свакој таласној дужини, нису савршено рефлектујући. У равнотежи, зрачење унутар ове коморе је описано Планковим законом, као и зрачење које излази из малог отвора.

Као што је Максвел-Болцманова расподела јединствена расподела енергије максималне ентропије за гас материјалних честица у топлотној равнотежи, тако је Планкова расподела за гас фотона. За разлику од материјалног гаса где масе и број честица играју улогу, спектрална радијанса, притисак и густина енергије фотонског гаса у топлотној равнотежи су у потпуности одређени температуром.

Ако фотонски гас није планковски, други закон термодинамике гарантује да ће интеракције (између фотона и других честица или чак, на довољно високим температурама, између самих фотона) проузроковати промену расподеле енергије фотона и приближавање Планковој расподели. У таквом приступу термодинамичкој равнотежи, фотони се стварају или анихилирају у исправном броју и са исправним енергијама како би испунили шупљину Планковом расподелом док не достигну равнотежну температуру. То је као да је гас мешавина подгасова, по један за сваки опсег таласних дужина, и сваки подгас на крају достигне заједничку температуру.

Количина B_ν(ν, T) је спектрална радијанса као функција температуре и фреквенције. Она има јединице W·m⁻²·sr⁻¹·Hz⁻¹ у СИ систему. Инфинитезимална количина снаге B_ν(ν, T) cos θ dA dΩ dν се зрачи у правцу описаном углом θ од нормале на површину од инфинитезималног елемента површине dA у инфинитезимални просторни угао dΩ у инфинитезималном фреквенцијском опсегу ширине dν центрираном на фреквенцији ν. Укупна снага израчена у било који просторни угао је интеграл од B_ν(ν, T) по те три величине, и дата је Стефан-Болцмановим законом. Спектрална радијанса Планковог зрачења из црног тела има исту вредност за сваки правац и угао поларизације, па се каже да је црно тело Ламбертов радијатор.

Различити облици

Планков закон се може срести у неколико облика у зависности од конвенција и преференција различитих научних области. Различити облици закона за спектралну радијансу су сажети у табели испод. Облици са леве стране се најчешће срећу у експерименталним областима, док се они са десне стране најчешће срећу у теоријским областима.

Радијанса изражена преко различитих спектралних променљивих

са h		са ħ
променљива	расподела	променљива	расподела
фреквенција ν	$B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	угаона фреквенција ω	$B_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
таласна дужина λ	$B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/(\lambda k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	угаона таласна дужина y	$B_{y}(y,T)={\frac {\hbar c^{2}}{4\pi ^{3}y^{5}}}{\frac {1}{e^{\hbar c/(yk_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
таласни број ν̃	$B_{\tilde {\nu }}({\tilde {\nu }},T)=2hc^{2}{\tilde {\nu }}^{3}{\frac {1}{e^{hc{\tilde {\nu }}/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	угаони таласни број k	$B_{k}(k,T)={\frac {\hbar c^{2}k^{3}}{4\pi ^{3}}}{\frac {1}{e^{\hbar ck/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
фракциона ширина опсега ln x	$B_{\ln x}(x,T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}T^{4}}{h^{3}c^{2}}}{\frac {x^{4}}{e^{x}-1}}$

У формулацији фракционе ширине опсега, ${\textstyle x={\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}$, а интеграција се врши у односу на ${\textstyle \mathrm {d} (\ln x)=\mathrm {d} (\ln \nu )={\frac {\mathrm {d} \nu }{\nu }}=-{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\lambda }}=-\mathrm {d} (\ln \lambda )}$.

Планков закон се такође може писати у терминима спектралне густина енергије (u) множењем B са 4π/c: $$u_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B_{i}(T).$$

Спектрална густина енергије изражена преко различитих спектралних променљивих

са h		са ħ
променљива	расподела	променљива	расподела
фреквенција ν	$u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	угаона фреквенција ω	$u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
таласна дужина λ	$u_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/(\lambda k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	угаона таласна дужина y	$u_{y}(y,T)={\frac {\hbar c}{\pi ^{2}y^{5}}}{\frac {1}{e^{\hbar c/(yk_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
таласни број ν̃	$u_{\tilde {\nu }}({\tilde {\nu }},T)=8\pi hc{\tilde {\nu }}^{3}{\frac {1}{e^{hc{\tilde {\nu }}/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	угаони таласни број k	$u_{k}(k,T)={\frac {\hbar ck^{3}}{\pi ^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar ck/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
фракциона ширина опсега ln x	$u_{\ln x}(x,T)={\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }^{4}T^{4}}{h^{3}c^{3}}}{\frac {x^{4}}{e^{x}-1}}$

Ове расподеле представљају спектралну радијансу црних тела — снагу емитовану са емитујуће површине, по јединици пројектоване површине емитујуће површине, по јединици просторног угла, по спектралној јединици (фреквенција, таласна дужина, таласни број или њихови угаони еквиваленти, или фракциона фреквенција или таласна дужина). Пошто је радијанса изотропна (тј. независна од смера), снага емитована под углом у односу на нормалу је пропорционална пројектованој површини, а самим тим и косинусу тог угла према Ламбертовом косинусном закону, и неполаризована је.

Кореспонденција између облика спектралних променљивих

Различите спектралне променљиве захтевају различите одговарајуће облике изражавања закона. Генерално, не може се конвертовати између различитих облика Планковог закона једноставном заменом једне променљиве другом, јер то не би узело у обзир да различити облици имају различите јединице. Јединице таласне дужине и фреквенције су реципрочне.

Одговарајући облици израза су повезани јер изражавају једну исту физичку чињеницу: за одређени физички спектрални инкремент, зрачи се одговарајући одређени физички инкремент енергије.

Ово важи без обзира да ли се изражава у терминима инкремента фреквенције, dν, или, сходно томе, таласне дужине, dλ, или фракционе ширине опсега, dν/ν или dλ/λ. Увођење знака минус може указати да инкремент фреквенције одговара декременту таласне дужине.

Да би се конвертовали одговарајући облици тако да изражавају исту количину у истим јединицама, множимо спектралним инкрементом. Тада, за одређени спектрални инкремент, одређени физички инкремент енергије може се написати $$B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)\,d\nu ,$$ што доводи до $$B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).$$

Такође, ν(λ) = c/λ, тако да је dν/dλ = − c/λ². Заменом се добија кореспонденција између облика фреквенције и таласне дужине, са њиховим различитим димензијама и јединицама. Сходно томе, $${\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.$$

Очигледно, положај врха спектралне расподеле за Планков закон зависи од избора спектралне променљиве. Ипак, на неки начин, ова формула значи да је облик спектралне расподеле независан од температуре, према Виновом закону померања, као што је детаљније објашњено у наставку у § Својства §§ Процентили.

Облик фракционе ширине опсега је повезан са другим облицима преко

$B_{\ln x}=\nu B_{\nu }=\lambda B_{\lambda }$.

Прва и друга радијациона константа

У горе наведеним варијантама Планковог закона, варијанте таласне дужине и таласног броја користе термине 2hc² и hc/k_B који се састоје само од физичких константи. Сходно томе, ови термини се могу сматрати самим физичким константама, и стога се називају прва радијациона константа c_1L и друга радијациона константа c₂ са

c_1L = 2hc²

и

c₂ = hc/k_B.

Користећи радијационе константе, варијанта Планковог закона по таласној дужини може се поједноставити на $$L(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}$$ и варијанта по таласном броју се може поједноставити на одговарајући начин.

L се овде користи уместо B јер је то СИ симбол за спектралну радијансу. L у c_1L се односи на то. Ово је неопходно јер се Планков закон може преформулисати да даје спектралну радијантну егзитансу M(λ, T) уместо спектралне радијансе L(λ, T), у ком случају c₁ замењује c_1L, са

c₁ = 2πhc²,

тако да се Планков закон за спектралну радијантну егзитансу може написати као $$M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}$$

Како су се мерне технике побољшавале, Генерална конференција за тегове и мере је ревидирала своју процену c₂; видети Planckian locus#International Temperature Scale § Notes за детаље.

Физика

Замрзавање високоенергетских осцилатора

Планков закон описује јединствену и карактеристичну спектралну расподелу за електромагнетно зрачење у термодинамичкој равнотежи, када не постоји нето проток материје или енергије. Његова физика се најлакше схвата разматрањем зрачења у шупљини са чврстим непрозирним зидовима. Кретање зидова може утицати на зрачење. Ако зидови нису непрозирни, онда термодинамичка равнотежа није изолована. Од интереса је објаснити како се постиже термодинамичка равнотежа. Постоје два главна случаја: (а) када се приступ термодинамичкој равнотежи дешава у присуству материје, када су зидови шупљине несавршено рефлектујући за сваку таласну дужину или када су зидови савршено рефлектујући док шупљина садржи мало црно тело (ово је био главни случај који је разматрао Планк); или (б) када се приступ равнотежи дешава у одсуству материје, када су зидови савршено рефлектујући за све таласне дужине, а шупљина не садржи материју. За материју која није затворена у таквој шупљини, топлотно зрачење се може приближно објаснити одговарајућом употребом Планковог закона.

Класична физика је, преко теореме еквипартиције, довела до ултраљубичасте катастрофе, предвиђања да је укупни интензитет зрачења црног тела бесконачан. Ако се допуни класично неоправданом претпоставком да је због неког разлога зрачење коначно, класична термодинамика пружа објашњење неких аспеката Планкове расподеле, као што су Стефан-Болцманов закон и Винов закон померања. У случају присуства материје, квантна механика пружа добро објашњење, као што је наведено у одељку под називом Ајнштајнови коефицијенти. То је био случај који је разматрао Ајнштајн, и данас се користи у квантној оптици. У случају одсуства материје, потребна је теорија квантног поља, јер нерелативистичка квантна механика са фиксним бројем честица не пружа довољно објашњење.

Фотони

Квантно-теоријско објашњење Планковог закона посматра зрачење као гас безмасених, ненаелектрисаних, бозонских честица, односно фотона, у термодинамичкој равнотежи. Фотони се сматрају носиоцима електромагнетне интеракције између електрично наелектрисаних елементарних честица. Број фотона се не одржава. Фотони се стварају или уништавају у исправном броју и са исправним енергијама како би испунили шупљину фотонима описаним Планковом расподелом. За фотонски гас у термодинамичкој равнотежи, густина унутрашње енергије је у потпуности одређена температуром; штавише, притисак је у потпуности одређен густином унутрашње енергије. Ово је за разлику од случаја термодинамичке равнотеже за материјалне гасове, за које је унутрашња енергија одређена не само температуром, већ и, независно, одговарајућим бројевима различитих молекула, и поново независно, специфичним карактеристикама различитих молекула. За различите материјалне гасове на датој температури, притисак и густина унутрашње енергије могу варирати независно, јер различити молекули могу независно носити различите енергије ексцитације.

Планков закон настаје као лимит Бозе-Ајнштајнове расподеле, расподеле енергије која описује неинтерактивне бозоне у термодинамичкој равнотежи. У случају безмасених бозона као што су фотони и глуони, хемијски потенцијал је нула и Бозе-Ајнштајнова расподела се своди на Планкову расподелу. Постоји и друга основна равнотежна расподела енергије: Ферми-Диракова расподела, која описује фермионе, као што су електрони, у топлотној равнотежи. Ове две расподеле се разликују јер више бозона може заузети исто квантно стање, док више фермиона не може. При ниским густинама, број доступних квантних стања по честици је велики, и ова разлика постаје небитна. У лимесу ниске густине, Бозе-Ајнштајнова и Ферми-Диракова расподела се своде на Максвел-Болцманову расподелу.

Кирхофов закон топлотног зрачења

Главни чланак: Кирхофов закон топлотног зрачења

Кирхофов закон топлотног зрачења је сажет и кратак приказ сложене физичке ситуације. Следи уводни приказ те ситуације, и далеко је од ригорозног физичког аргумента. Циљ је овде само да се сумирају главни физички фактори у ситуацији и главни закључци.

Спектрална зависност топлотног зрачења

Постоји разлика између кондуктивног преноса топлоте и радијативног преноса топлоте. Радијативни пренос топлоте се може филтрирати да пропушта само одређени опсег фреквенција зрачења.

Опште је познато да што тело постаје топлије, то више топлотног зрачења емитује на свакој фреквенцији.

У шупљини у непрозирном телу са чврстим зидовима који нису савршено рефлектујући ни на једној фреквенцији, у термодинамичкој равнотежи, постоји само једна температура, и она мора бити заједничка за зрачење сваке фреквенције.

Можемо замислити две такве шупљине, свака у својој изолованој радијативној и термодинамичкој равнотежи. Можемо замислити оптички уређај који омогућава радијативни пренос топлоте између две шупљине, филтриран да пропушта само одређени опсег фреквенција зрачења. Ако се вредности спектралних радијанси зрачења у шупљинама разликују у том фреквенцијском опсегу, може се очекивати да ће топлота прелазити са топлијег на хладније. Могло би се предложити да се такав филтрирани пренос топлоте у том опсегу користи за покретање топлотног мотора. Ако су два тела на истој температури, други закон термодинамике не дозвољава рад топлотног мотора. Може се закључити да за температуру заједничку за оба тела, вредности спектралних радијанси у опсегу пропуштања такође морају бити заједничке. Ово мора важити за сваки фреквенцијски опсег. Ово је постало јасно Балфуру Стјуарту и касније Кирхофу. Балфур Стјуарт је експериментално утврдио да од свих површина, она од чађи емитује највећу количину топлотног зрачења за сваки квалитет зрачења, процењено помоћу различитих филтера.

Размишљајући теоретски, Кирхоф је отишао мало даље и истакао да ово имплицира да спектрална радијанса, као функција фреквенције зрачења, било које такве шупљине у термодинамичкој равнотежи мора бити јединствена универзална функција температуре. Он је постулирао идеално црно тело које се граничи са својом околином на такав начин да апсорбује сво зрачење које на њега падне. По Хелмхолцовом принципу реципроцитета, зрачење из унутрашњости таквог тела би пролазило несметано директно у своју околину без рефлексије на граници. У термодинамичкој равнотежи, топлотно зрачење емитовано из таквог тела би имало ту јединствену универзалну спектралну радијансу као функцију температуре. Овај увид је корен Кирхофовог закона топлотног зрачења.

Однос између апсорптивности и емисивности

Можемо замислити мало хомогено сферно материјално тело означено са X на температури T_X, које се налази у пољу зрачења унутар велике шупљине са зидовима од материјала означеног са Y на температури T_Y. Тело X емитује сопствено топлотно зрачење. На одређеној фреквенцији ν, зрачење емитовано из одређеног пресека кроз центар X у једном смеру у правцу нормалном на тај пресек може се означити са I_ν,X(T_X), карактеристично за материјал X. На тој фреквенцији ν, радијативна снага са зидова у тај пресек у супротном смеру у том правцу може се означити са I_ν,Y(T_Y), за температуру зида T_Y. За материјал X, дефинишући апсорптивност α_ν,X,Y(T_X, T_Y) као фракцију тог инцидентног зрачења које апсорбује X, та инцидентна енергија се апсорбује брзином α_ν,X,Y(T_X, T_Y) I_ν,Y(T_Y).

Брзина q(ν,T_X,T_Y) акумулације енергије у једном смеру у пресек тела може се тада изразити као $$q(\nu ,T_{X},T_{Y})=\alpha _{\nu ,X,Y}(T_{X},T_{Y})I_{\nu ,Y}(T_{Y})-I_{\nu ,X}(T_{X}).$$

Кирхофов семени увид, поменут малопре, био је да у термодинамичкој равнотежи на температури T, постоји јединствена универзална радијативна расподела, данас означена са B_ν(T), која је независна од хемијских карактеристика материјала X и Y, што доводи до веома вредног разумевања равнотеже радијативне размене било ког тела, на следећи начин.

Када постоји термодинамичка равнотежа на температури T, зрачење шупљине са зидова има ту јединствену универзалну вредност, тако да је I_ν,Y(T_Y) = B_ν(T). Даље, можемо дефинисати емисивност ε_ν,X(T_X) материјала тела X тако да у термодинамичкој равнотежи на температури T_X = T, имамо I_ν,X(T_X) = I_ν,X(T) = ε_ν,X(T) B_ν(T).

Када влада топлотна равнотежа на температури T = T_X = T_Y, брзина акумулације енергије нестаје, тако да је q(ν,T_X,T_Y) = 0. Следи да у термодинамичкој равнотежи, када је T = T_X = T_Y, $$0=\alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)B_{\nu }(T)-\epsilon _{\nu ,X}(T)B_{\nu }(T).$$

Кирхоф је истакао да из овога следи да у термодинамичкој равнотежи, када је T = T_X = T_Y, $$\alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)=\epsilon _{\nu ,X}(T).$$

Уводећи посебну нотацију α_ν,X(T) за апсорптивност материјала X у термодинамичкој равнотежи на температури T (оправдано открићем Ајнштајна, као што је назначено у наставку), даље имамо једнакост $$\alpha _{\nu ,X}(T)=\epsilon _{\nu ,X}(T)$$ у термодинамичкој равнотежи.

Једнакост апсорптивности и емисивности која је овде демонстрирана специфична је за термодинамичку равнотежу на температури T и генерално се не очекује да важи када услови термодинамичке равнотеже не важе. Емисивност и апсорптивност су свака за себе својства молекула материјала, али оне различито зависе од расподеле стања молекуларне ексцитације у датом тренутку, због феномена познатог као „стимулисана емисија”, коју је открио Ајнштајн. У приликама када је материјал у термодинамичкој равнотежи или у стању познатом као локална термодинамичка равнотежа, емисивност и апсорптивност постају једнаке. Веома јако инцидентно зрачење или други фактори могу пореметити термодинамичку равнотежу или локалну термодинамичку равнотежу. Локална термодинамичка равнотежа у гасу значи да молекуларни судари далеко надмашују емисију и апсорпцију светлости у одређивању расподеле стања молекуларне ексцитације.

Кирхоф је истакао да није знао прецизан карактер B_ν(T), али је сматрао да је важно да се он утврди. Четири деценије након Кирхофовог увида у опште принципе његовог постојања и карактера, Планков допринос је био да одреди прецизан математички израз те равнотежне расподеле B_ν(T).

Црно тело

Главни чланак: Црно тело

У физици, разматра се идеално црно тело, овде означено са B, дефинисано као оно које потпуно апсорбује сво електромагнетно зрачење које пада на њега на свакој фреквенцији ν (отуда и назив „црно”). Према Кирхофовом закону топлотног зрачења, ово повлачи да, за сваку фреквенцију ν, у термодинамичкој равнотежи на температури T, имамо α_ν,B(T) = ε_ν,B(T) = 1, тако да је топлотно зрачење из црног тела увек једнако пуној количини специфицираној Планковим законом. Ниједно физичко тело не може емитовати топлотно зрачење које премашује зрачење црног тела, јер би, да је у равнотежи са пољем зрачења, емитовало више енергије него што је на њега падало.

Иако савршено црни материјали не постоје, у пракси се црна површина може тачно апроксимирати. Што се тиче његове материјалне унутрашњости, тело кондензоване материје, течно, чврсто или плазма, са дефинисаном границом са својом околином, потпуно је црно за зрачење ако је потпуно непрозирно. То значи да апсорбује сво зрачење које продире кроз границу тела са околином и улази у тело. Ово није превише тешко постићи у пракси. С друге стране, савршено црна граница се не налази у природи. Савршено црна граница не рефлектује зрачење, већ пропушта све што на њу падне, са било које стране. Најбољи практичан начин да се направи ефективно црна граница је да се симулира 'граница' малим отвором у зиду велике шупљине у потпуно непрозирном чврстом телу од материјала који се не рефлектује савршено ни на једној фреквенцији, са зидовима на контролисаној температури. Осим ових захтева, саставни материјал зидова је неограничен. Зрачење које улази у отвор има готово никакву могућност да побегне из шупљине без да буде апсорбовано вишеструким ударима о њене зидове.

Ламбертов косинусни закон

Главни чланак: Ламбертов косинусни закон

Као што је објаснио Планк, тело које зрачи има унутрашњост која се састоји од материје, и границу са суседним материјалним медијумом, који је обично медијум из којег се посматра зрачење са површине тела. Граница није састављена од физичке материје већ је теоријски концепт, математичка дводимензионална површина, заједничко својство два суседна медијума, строго говорећи не припада ни једном одвојено. Таква граница не може ни апсорбовати ни емитовати, јер није састављена од физичке материје; али је место рефлексије и трансмисије зрачења, јер је површина дисконтинуитета оптичких својстава. Рефлексија и трансмисија зрачења на граници поштују Стокс-Хелмхолцов принцип реципроцитета.

У било којој тачки у унутрашњости црног тела смештеног унутар шупљине у термодинамичкој равнотежи на температури T, зрачење је хомогено, изотропно и неполаризовано. Црно тело апсорбује сво и не рефлектује ништа од електромагнетног зрачења које на њега падне. Према Хелмхолцовом принципу реципроцитета, зрачење из унутрашњости црног тела се не рефлектује на његовој површини, већ се потпуно преноси у његову спољашњост. Због изотропности зрачења у унутрашњости тела, спектрална радијанса зрачења пренетог из његове унутрашњости у спољашњост кроз његову површину је независна од смера.

Ово се изражава речима да зрачење са површине црног тела у термодинамичкој равнотежи поштује Ламбертов косинусни закон. То значи да се спектрални флукс dΦ(dA, θ, dΩ, dν) из датог инфинитезималног елемента површине dA стварне емитујуће површине црног тела, детектован из датог смера који чини угао θ са нормалом на стварну емитујућу површину у dA, у елемент просторног угла детекције dΩ центриран на смер назначен са θ, у елемент фреквенцијског опсега dν, може представити као $${\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu )\,dA\,d\nu \,\cos \theta$$ где L⁰(dA, dν) означава флукс, по јединици површине по јединици фреквенције по јединици просторног угла, који би површина dA показала да се мери у свом нормалном смеру θ = 0.

Фактор cos θ је присутан јер је површина на коју се спектрална радијанса директно односи пројекција стварне емитујуће површине на раван нормалну на смер назначен са θ. То је разлог за назив косинусни закон.

Узимајући у обзир независност смера спектралне радијансе зрачења са површине црног тела у термодинамичкој равнотежи, имамо L⁰(dA, dν) = B_ν(T) и стога $${\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta .$$

Тако Ламбертов косинусни закон изражава независност смера спектралне радијансе B_ν (T) површине црног тела у термодинамичкој равнотежи.

Стефан-Болцманов закон

Главни чланак: Стефан-Болцманов закон

Укупна снага емитована по јединици површине на површини црног тела (P) може се наћи интеграцијом спектралног флукса црног тела добијеног из Ламбертовог закона по свим фреквенцијама и по просторним угловима који одговарају хемисфери (h) изнад површине. $$P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta )$$

Инфинитезимални просторни угао се може изразити у сферним поларним координатама: $$d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .$$ Тако да: $$P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}$$ где је $$\sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670374419\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}}$$ познато као Стефан-Болцманова константа.

Пренос зрачења

Главни чланак: Пренос зрачења

Једначина преноса зрачења описује начин на који зрачење бива утицано док путује кроз материјални медијум. За посебан случај у којем је материјални медијум у термодинамичкој равнотежи у околини тачке у медијуму, Планков закон је од посебне важности.

За једноставност, можемо размотрити линеарно стационарно стање, без расејања. Једначина преноса зрачења наводи да се за сноп светлости који пролази кроз малу удаљеност ds, енергија очувава: промена (спектралне) радијансе тог снопа (I_ν) једнака је количини уклоњеној од стране материјалног медијума плус количини добијеној од материјалног медијума. Ако је поље зрачења у равнотежи са материјалним медијумом, ова два доприноса ће бити једнака. Материјални медијум ће имати одређени коефицијент емисије и коефицијент апсорпције.

Коефицијент апсорпције α је фракциона промена интензитета светлосног снопа док путује раздаљину ds, и има јединице дужина⁻¹. Састоји се од два дела, смањења услед апсорпције и повећања услед стимулисане емисије. Стимулисана емисија је емисија од стране материјалног тела која је изазвана и пропорционална долазећем зрачењу. Укључена је у термин апсорпције јер је, као и апсорпција, пропорционална интензитету долазећег зрачења. Пошто ће количина апсорпције генерално варирати линеарно са густином ρ материјала, можемо дефинисати „масени коефицијент апсорпције” κ_ν = α/ρ који је својство самог материјала. Промена интензитета светлосног снопа услед апсорпције док прелази малу раздаљину ds биће тада $$dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds$$

„Масени коефицијент емисије” j_ν једнак је радијанси по јединици запремине малог елемента запремине подељеној са његовом масом (пошто је, као и за масени коефицијент апсорпције, емисија пропорционална емитујућој маси) и има јединице снага⋅просторни угао⁻¹⋅фреквенција⁻¹⋅густина⁻¹. Као и масени коефицијент апсорпције, и он је својство самог материјала. Промена светлосног снопа док прелази малу раздаљину ds биће тада $$dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds$$

Једначина преноса зрачења ће тада бити збир ова два доприноса: $${\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.$$

Ако је поље зрачења у равнотежи са материјалним медијумом, онда ће зрачење бити хомогено (независно од положаја) тако да је dI_ν = 0 и: $$\kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }$$ што је још један исказ Кирхофовог закона, који повезује два материјална својства медијума, и који даје једначину преноса зрачења у тачки око које је медијум у термодинамичкој равнотежи: $${\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).$$

Ајнштајнови коефицијенти

Главни чланак: Атомска спектрална линија

Принцип детаљног баланса наводи да је, у термодинамичкој равнотежи, сваки елементарни процес у равнотежи са својим реверзним процесом.

Године 1916, Алберт Ајнштајн је применио овај принцип на атомском нивоу на случај атома који зрачи и апсорбује зрачење услед прелаза између два одређена енергетска нивоа, дајући дубљи увид у једначину преноса зрачења и Кирхофов закон за ову врсту зрачења. Ако је ниво 1 нижи енергетски ниво са енергијом E₁, а ниво 2 виши енергетски ниво са енергијом E₂, онда ће фреквенција ν зрачења које се зрачи или апсорбује бити одређена Боровим фреквенцијским условом: $$E_{2}-E_{1}=h\nu .$$

Ако су n₁ и n₂ бројне густине атома у стањима 1 и 2 респективно, онда ће брзина промене ових густина у времену бити последица три процеса:

Спонтана емисија

$\left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}$

Стимулисана емисија

$\left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }$

Фото-апсорпција

$\left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }$

где је u_ν спектрална густина енергије поља зрачења. Три параметра A₂₁, B₂₁ и B₁₂, познати као Ајнштајнови коефицијенти, повезани су са фреквенцијом фотона ν произведеном прелазом између два енергетска нивоа (стања). Као резултат, свака линија у спектру има свој скуп придружених коефицијената. Када су атоми и поље зрачења у равнотежи, радијанса ће бити дата Планковим законом и, по принципу детаљног баланса, збир ових брзина мора бити нула: $$0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)$$

Пошто су атоми такође у равнотежи, популације два нивоа су повезане Болцмановим фактором: $${\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}$$ где су g₁ и g₂ мултиплицитети одговарајућих енергетских нивоа. Комбиновањем горње две једначине са захтевом да буду важеће на било којој температури добијају се два односа између Ајнштајнових коефицијената: $${\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}$$ $${\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}$$ тако да ће познавање једног коефицијента дати друга два.

За случај изотропне апсорпције и емисије, коефицијент емисије (j_ν) и коефицијент апсорпције (κ_ν) дефинисани у одељку о преносу зрачења изнад, могу се изразити у терминима Ајнштајнових коефицијената. Односи између Ајнштајнових коефицијената ће дати израз Кирхофовог закона изражен у одељку Пренос зрачења изнад, наиме да је $$j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.$$

Ови коефицијенти се примењују и на атоме и на молекуле.

Својства

Врхови

Главни чланак: Винов закон померања

Расподеле B_ν, B_ω, B_ν̃ и B_k достижу врх на енергији фотона од $$E=\left[3+W\left(-3e^{-3}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,$$где је W Ламбертова W функција, а e је Ојлеров број.

Међутим, расподела B_λ достиже врх на другој енергији $$E=\left[5+W\left(-5e^{-5}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,$$Разлог за ово је што, као што је горе поменуто, не може се прећи са (на пример) B_ν на B_λ једноставном заменом ν са λ. Поред тога, мора се помножити и са ${\textstyle \left|{d\nu }/{d\lambda }\right|=c/{\lambda ^{2}}}$, што помера врх расподеле на више енергије. Ови врхови су модусна енергија фотона, када се групише коришћењем једнаких бинова фреквенције или таласне дужине, респективно. Дељењем hc (7004143877700000000♠14387,770 μm·K) овим изразом за енергију добија се таласна дужина врха.

Спектрална радијанса на овим врховима дата је са:

${\begin{aligned}B_{\nu ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}x^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\[1ex]&\approx 1.896\times 10^{-19}\mathrm {\frac {W}{m^{2}\cdot Hz\cdot sr}} \times {\left({\frac {T}{\mathrm {K} }}\right)}^{3}\end{aligned}}$

са $x=3+W(-3e^{-3}),$ и $${\begin{aligned}B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}x^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\[1ex]&\approx 4.096\times 10^{-6}\mathrm {\frac {W}{m^{3}\cdot sr}} \times {\left({\frac {T}{\mathrm {K} }}\right)}^{5}\end{aligned}}$$са $x=5+W(-5e^{-5}).$

У међувремену, просечна енергија фотона из црног тела је $$E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\ \zeta (3)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T,$$где је $\zeta$ Риманова зета-функција.

Апроксимације

Лог-лог дијаграми радијансе у односу на фреквенцију за Планков закон (зелено), у поређењу са Рејли-Џинсовим законом (црвено) и Виновом апроксимацијом (плаво) за црно тело на температури од 8 mK.

У лимесу ниских фреквенција (тј. дугих таласних дужина), Планков закон постаје Рејли-Џинсов закон $${\begin{aligned}B_{\nu }(T)&\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T,&B_{\lambda }(T)&\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T.\end{aligned}}$$

Радијанса расте са квадратом фреквенције, илуструјући ултраљубичасту катастрофу. У лимесу високих фреквенција (тј. малих таласних дужина) Планков закон тежи ка Виновој апроксимацији: $${\begin{aligned}B_{\nu }(T)&\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}},&B_{\lambda }(T)&\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.\end{aligned}}$$

Процентили

Процентил	λT (μm·K)	λkBT/hc
0,01%	910	0,0632
0,1%	1110	0,0771
1%	1448	0,1006
10%	2195	0,1526
20%	2676	0,1860
25,0%	2898	0,2014
30%	3119	0,2168
40%	3582	0,2490
41,8%	3670	0,2551
50%	4107	0,2855
60%	4745	0,3298
64,6%	5099	0,3544
70%	5590	0,3885
80%	6864	0,4771
90%	9376	0,6517
99%	22884	1,5905
99,9%	51613	3,5873
99,99%	113374	7,8799

Винов закон померања у свом јачем облику наводи да је облик Планковог закона независан од температуре. Стога је могуће навести процентилне тачке укупног зрачења, као и врхове за таласну дужину и фреквенцију, у облику који даје таласну дужину λ када се подели са температуром T. Друга колона следеће табеле наводи одговарајуће вредности λT, то јест, оне вредности x за које је таласна дужина λ једнака x/T микрометара на тачки процентила радијансе датој одговарајућим уносом у првој колони.

То јест, 0,01% зрачења је на таласној дужини испод 910/T μm, 20% испод 2676/T μm, итд. Врхови таласне дужине и фреквенције су подебљани и јављају се на 25,0% и 64,6% респективно. Тачка од 41,8% је врх неутралан у односу на таласну дужину и фреквенцију (тј. врх у снази по јединици промене логаритма таласне дужине или фреквенције). То су тачке на којима одговарајуће функције Планковог закона 1/λ⁵, ν³ и ν²/λ², респективно, подељене са exp(hν/k_BT) − 1 достижу своје максимуме. Много мањи размак у односима таласних дужина између 0,1% и 0,01% (1110 је 22% више од 910) у поређењу са оним између 99,9% и 99,99% (113374 је 120% више од 51613) одражава експоненцијално опадање енергије на кратким таласним дужинама (лева страна) и полиномско опадање на дугим.

Који врх користити зависи од примене. Конвенционални избор је врх таласне дужине на 25,0% дат Виновим законом померања у слабом облику. За неке сврхе медијана или тачка од 50% која дели укупно зрачење на две половине може бити погоднија. Ова последња је ближа врху фреквенције него врху таласне дужине јер радијанса експоненцијално опада на кратким таласним дужинама, а само полиномски на дугим. Неутрални врх се јавља на краћој таласној дужини од медијане из истог разлога.

Сунчев спектар у поређењу са црним телом на 5775 K

Процентил	Сунце λ (μm)	Црно тело на 5778K	Планета на 288 K λ (μm)
0,01%	0,203	0,157	3,16
0,1%	0,235	0,192	3,85
1%	0,296	0,251	5,03
10%	0,415	0,380	7,62
20%	0,484	0,463	9,29
25,0%	0,520	0,502	10,1
30%	0,556	.540	10,8
41,8%	0,650	0,635	12,7
50%	0,727	0,711	14,3
60%	0,844	0,821	16,5
64,6%	0,911	0,882	17,7
70%	1,003	0,967	19,4
80%	1,242	1,188	23,8
90%	1,666	1,623	32,6
99%	3,728	3,961	79,5
99,9%	8,208	8,933	179
99,99%	17,548	19,620	394

Поређење са сунчевим спектром

Сунчево зрачење се може упоредити са зрачењем црног тела на око 5778 K (али видети график). Табела десно показује како је зрачење црног тела на овој температури распоређено, а такође и како је сунчева светлост распоређена ради поређења. Такође, ради поређења, приказана је планета моделована као црно тело, која зрачи на номиналних 288 K (15 °C) као репрезентативна вредност веома променљиве температуре Земље. Њене таласне дужине су више од двадесет пута веће од сунчевих, наведене у трећој колони у микрометрима (хиљадама нанометара).

То јест, само 1% Сунчевог зрачења је на таласним дужинама краћим од 296 nm, а само 1% на дужим од 3728 nm. Изражено у микрометрима, ово ставља 98% Сунчевог зрачења у распон од 0,296 до 3,728 μm. Одговарајућих 98% енергије израчене са планете на 288 K је од 5,03 до 79,5 μm, далеко изнад распона сунчевог зрачења (или испод ако се изрази у терминима фреквенција ν = c/λ уместо таласних дужина λ).

Последица ове више од реда величине разлике у таласној дужини између сунчевог и планетарног зрачења је да се филтери дизајнирани да пропуштају једно, а блокирају друго лако конструишу. На пример, прозори направљени од обичног стакла или прозирне пластике пропуштају најмање 80% долазећег сунчевог зрачења на 5778 K, које је испод 1,2 μm у таласној дужини, док блокирају преко 99% одлазећег топлотног зрачења на 288 K од 5 μm навише, таласне дужине на којима су већина врста стакла и пластике грађевинске дебљине практично непрозирне.

Сунчево зрачење је оно које стиже на врх атмосфере (TOA). Како се може видети из табеле, зрачење испод 400 nm, или ултраљубичасто, чини око 8%, док оно изнад 700 nm, или инфрацрвено, почиње отприлике на 48% и стога чини 52% укупног. Дакле, само 40% инсолације на врху атмосфере је видљиво људском оку. Атмосфера значајно мења ове проценте у корист видљиве светлости јер апсорбује већину ултраљубичастог и значајне количине инфрацрвеног зрачења.

Извођења

Фотонски гас

Види још: Гас у кутији и Фотонски гас

Разматрамо коцку странице L са проводним зидовима испуњену електромагнетним зрачењем у топлотној равнотежи на температури T. Ако постоји мали отвор у једном од зидова, зрачење емитовано из отвора биће карактеристично за савршено црно тело. Прво ћемо израчунати спектралну густину енергије унутар шупљине, а затим одредити спектралну радијансу емитованог зрачења.

На зидовима коцке, паралелна компонента електричног поља и ортогонална компонента магнетног поља морају бити нула. Аналогно таласној функцији честице у кутији, налазимо да су поља суперпозиције периодичних функција. Три таласне дужине λ₁, λ₂ и λ₃, у три правца ортогонална на зидове, могу бити: $$\lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},$$где су n_i позитивни цели бројеви. За сваки скуп целих бројева n_i постоје два линеарно независна решења (позната као модови). Два мода за сваки скуп ових n_i одговарају двама стањима поларизације фотона који има спин 1. Према квантној теорији, укупна енергија мода је дата са:

$E_{n_{1},n_{2},n_{3}}\left(r\right)=\left(r+{\frac {1}{2}}\right){\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.$

(1)

Број r се може тумачити као број фотона у моду. За r = 0 енергија мода није нула. Ова вакуумска енергија електромагнетног поља је одговорна за Казимиров ефекат. У наставку ћемо израчунати унутрашњу енергију кутије на апсолутној температури T.

Према статистичкој механици, равнотежна расподела вероватноће по енергетским нивоима одређеног мода је дата Болцмановом расподелом: $$P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.$$ где користимо реципрочну температуру $$\beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.$$ Именилац Z(β), је партициона функција једног мода. Он чини P_r правилно нормализованим, и може се израчунати као $$Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}},$$ са

$\varepsilon ={\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.$

(2)

која је енергија једног фотона. Просечна енергија у моду се може добити из партиционе функције: $$\left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.$$ Ова формула, осим првог члана вакуумске енергије, је посебан случај опште формуле за честице које се покоравају Бозе-Ајнштајновој статистици. Пошто не постоји ограничење на укупан број фотона, хемијски потенцијал је нула.

Ако меримо енергију у односу на основно стање, укупна енергија у кутији се добија сумирањем ⟨E⟩ − ε/2 по свим дозвољеним једнофотонским стањима. Ово се може урадити тачно у термодинамичком лимесу када L тежи бесконачности. У овом лимесу, ε постаје континуално и можемо тада интегрисати ⟨E⟩ − ε/2 по овом параметру. Да бисмо израчунали енергију у кутији на овај начин, морамо проценити колико фотонских стања постоји у датом енергетском опсегу. Ако укупан број једнофотонских стања са енергијама између ε и ε + dε напишемо као g(ε) dε, где је g(ε) густина стања (која се израчунава у наставку), онда је укупна енергија дата са

$U=\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}g(\varepsilon )\,d\varepsilon .$

(3)

Да бисмо израчунали густину стања, преписујемо једначину (2) на следећи начин: $$\varepsilon \ {=}\ {\frac {hc}{2L}}n,$$ где је n норма вектора n = (n₁, n₂, n₃).

За сваки вектор n са целобројним компонентама већим или једнаким нули, постоје два фотонска стања. То значи да је број фотонских стања у одређеном региону n-простора два пута већи од запремине тог региона. Енергетски опсег dε одговара љусци дебљине dn = 2L/hc dε у n-простору. Пошто компоненте n морају бити позитивне, ова љуска обухвата октант сфере. Број фотонских стања g(ε) dε, у енергетском опсегу dε, је стога дат са: $$g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .$$ Убацивањем овога у једначину (3) и дељењем са запремином V = L³ добија се укупна густина енергије $${\frac {U}{V}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu ,$$ где је фреквенцијски зависна спектрална густина енергије u_ν(T) дата са $$u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.$$ Пошто је зрачење исто у свим правцима и простире се брзином светлости, спектрална радијанса зрачења које излази из малог отвора је $$B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},$$ што даје Планков закон $$B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.$$ Други облици закона се могу добити променом променљивих у интегралу укупне енергије. Горе наведено извођење је засновано на Brehm & Mullin 1989.

Апроксимација дипола и Ајнштајнови коефицијенти

Види још: Ајнштајнови коефицијенти § Dipole Approximation

За недегенерисани случај, A и B коефицијенти се могу израчунати коришћењем апроксимације дипола у временски зависној пертурбационој теорији у квантној механици. Израчунавање A такође захтева другу квантизацију, јер полу-класична теорија не може објаснити спонтану емисију која не тежи нули како пертурбирајуће поље тежи нули. Стога, израчунате брзине транзиције су (у СИ јединицама):

$w_{i\rightarrow f}^{s.emi}={\frac {\omega _{if}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=A_{if}$

$w_{i\rightarrow f}^{abs}={\frac {u(\omega _{fi})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{abs}u(\omega _{fi})$

$w_{i\rightarrow f}^{emi}={\frac {u(\omega _{if})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{emi}u(\omega _{if})$

Приметите да формула за брзину транзиције зависи од оператора диполног момента. За апроксимације вишег реда, укључује квадруполни момент и друге сличне чланове. A и B коефицијенти (који одговарају расподели енергије угаоне фреквенције) су стога:

$A_{ab}={\frac {\omega _{ab}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}$

$B_{ab}={\frac {\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}$

где је $\omega _{ab}={\frac {E_{a}-E_{b}}{\hbar }}$ и A и B коефицијенти задовољавају дате односе за недегенерисани случај:

${\frac {B_{12}}{B_{21}}}=1$ и ${\frac {A_{if}}{B}}={\frac {\omega _{if}^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}$.

Други користан однос је из Максвел-Болцманове расподеле, која каже да је број честица у енергетском нивоу $E$ пропорционалан експоненту $\beta E$. Математички:

${\frac {N_{a}}{N_{b}}}={\frac {e^{-E_{a}\beta }}{e^{-E_{b}\beta }}}=e^{\omega _{ba}\hbar \beta }$

где су $N_{a}$ и $N_{b}$ број заузетих енергетских нивоа $E_{a}$ и $E_{b}$ респективно, где је $E_{b}>E_{a}$. Затим, користећи: ${\frac {dN_{b}}{dt}}=-A_{ba}N_{b}-N_{b}u(\omega _{ba})B_{ba}+N_{a}u(\omega _{ba})B_{ab}=-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{s.emi}-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{emi}+N_{a}w_{a\rightarrow b}^{abs}$

Решавајући за $u$ за услов равнотеже ${\frac {dN_{b}}{dt}}=0$, и користећи изведене односе, добијамо Планков закон:

$u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\omega \hbar \beta }-1}}$.

Историја

Балфур Стјуарт

Године 1858, Балфур Стјуарт је описао своје експерименте на топлотној радијативној емисионој и апсорптивној моћи полираних плоча различитих супстанци, у поређењу са моћима површина од чађи, на истој температури. Стјуарт је изабрао површине од чађи као своју референцу због различитих претходних експерименталних налаза, посебно оних Пјера Превоа и Џона Леслија. Написао је: „Чађ, која апсорбује све зраке који на њу падају, и стога поседује највећу могућу апсорптивну моћ, поседоваће и највећу могућу радијативну моћ.”

Стјуарт је мерио израчену снагу термопилом и осетљивим галванометром очитаваним микроскопом. Бавио се селективним топлотним зрачењем, које је истраживао са плочама супстанци које су зрачиле и апсорбовале селективно за различите квалитете зрачења, а не максимално за све квалитете зрачења. Он је расправљао о експериментима у терминима зрака који се могу рефлектовати и преламати, и који поштују Хелмхолцов принцип реципроцитета (иако није користио епоним за то). У овом раду није поменуо да се квалитети зрака могу описати њиховим таласним дужинама, нити је користио спектрално раздвајајућу апаратуру као што су призме или дифракционе решетке. Његов рад је био квантитативан у оквиру ових ограничења. Мерења је вршио у окружењу собне температуре, и брзо како би ухватио своја тела у стању близу топлотне равнотеже у којој су била припремљена загревањем до равнотеже са кључалом водом. Његова мерења су потврдила да супстанце које емитују и апсорбују селективно поштују принцип селективне једнакости емисије и апсорпције у топлотној равнотежи.

Стјуарт је понудио теоретски доказ да би то требало да буде случај одвојено за сваки изабрани квалитет топлотног зрачења, али његова математика није била ригорозно важећа. Према историчару Д. М. Сигелу: „Он није био практичар софистициранијих техника математичке физике деветнаестог века; чак није користио ни функционалну нотацију у раду са спектралним расподелама.” У овом раду није помињао термодинамику, иако је споменуо очување vis viva. Предложио је да његова мерења имплицирају да је зрачење и апсорбовано и емитовано честицама материје кроз дубине медија у којима се простире. Применио је Хелмхолцов принцип реципроцитета да би објаснио процесе на граници материјала као различите од процеса у унутрашњости материјала. Закључио је да су његови експерименти показали да је, у унутрашњости коморе у топлотној равнотежи, зрачна топлота, рефлектована и емитована комбиновано, која напушта било који део површине, без обзира на њену супстанцу, иста као што би напустила тај исти део површине да је био састављен од чађи. Није помињао могућност идеално савршено рефлектујућих зидова; посебно је приметио да високо полирани стварни физички метали апсорбују врло мало.

Густав Кирхоф

Године 1859, не знајући за Стјуартов рад, Густав Кирхоф је известио о подударности таласних дужина спектрално раздвојених линија апсорпције и емисије видљиве светлости. Што је важно за топлотну физику, такође је приметио да су светле или тамне линије биле видљиве у зависности од температурне разлике између емитера и апсорбера.

Кирхоф је затим размотрио тела која емитују и апсорбују топлотно зрачење, у непрозирној комори или шупљини, у равнотежи на температури T.

Овде се користи нотација различита од Кирхофове. Овде, емисиона моћ E(T, i) означава димензионисану количину, укупно зрачење које емитује тело означено индексом i на температури T. Укупни коефицијент апсорпције a(T, i) тог тела је бездимензионалан, однос апсорбованог и инцидентног зрачења у шупљини на температури T. (За разлику од Балфура Стјуарта, Кирхофова дефиниција његовог коефицијента апсорпције није се посебно односила на површину од чађи као извор инцидентног зрачења.) Дакле, однос E(T, i)/a(T, i) емисионе моћи и коефицијента апсорпције је димензионисана количина, са димензијама емисионе моћи, јер је a(T, i) бездимензионално. Такође, овде се таласно-специфична емисиона моћ тела на температури T означава са E(λ, T, i), а таласно-специфични коефицијент апсорпције са a(λ, T, i). Опет, однос E(λ, T, i)/a(λ, T, i) емисионе моћи и коефицијента апсорпције је димензионисана количина, са димензијама емисионе моћи.

У другом извештају из 1859. године, Кирхоф је објавио нови општи принцип или закон за који је понудио теоретски и математички доказ, иако није понудио квантитативна мерења снаге зрачења. Његов теоретски доказ је од стране неких писаца сматран и још увек се сматра неважећим. Његов принцип, међутим, је опстао: то је да за топлотне зраке исте таласне дужине, у равнотежи на датој температури, таласно-специфични однос емисионе моћи и коефицијента апсорпције има једну и исту заједничку вредност за сва тела која емитују и апсорбују на тој таласној дужини. У симболима, закон је навео да таласно-специфични однос E(λ, T, i)/a(λ, T, i) има једну и исту вредност за сва тела, то јест за све вредности индекса i. У овом извештају није било помена о црним телима.

Године 1860, још увек не знајући за Стјуартова мерења за изабране квалитете зрачења, Кирхоф је истакао да је дуго било експериментално утврђено да за укупно топлотно зрачење, неизабраног квалитета, које емитује и апсорбује тело у равнотежи, димензионисани укупни однос зрачења E(T, i)/a(T, i), има једну и исту вредност заједничку за сва тела, то јест, за сваку вредност материјалног индекса i. Опет без мерења снаге зрачења или других нових експерименталних података, Кирхоф је понудио свеж теоретски доказ свог новог принципа универзалности вредности таласно-специфичног односа E(λ, T, i)/a(λ, T, i) у топлотној равнотежи. Његов свеж теоретски доказ је од стране неких писаца сматран и још увек се сматра неважећим.

Али што је важније, ослањао се на нови теоретски постулат о „савршено црним телима”, што је разлог зашто се говори о Кирхофовом закону. Таква црна тела су показивала потпуну апсорпцију у свом бесконачно танком најповршинскијем слоју. Одговарала су Стјуартовим референтним телима, са унутрашњим зрачењем, премазаним чађи. То нису била реалистичнија савршено црна тела која је касније разматрао Планк. Планкова црна тела су зрачила и апсорбовала само материјалом у својој унутрашњости; њихове границе са суседним медијима биле су само математичке површине, неспособне ни за апсорпцију ни за емисију, већ само за рефлексију и трансмисију са преламањем.

Кирхофов доказ је разматрао произвољно неидеално тело означено са i као и различита савршена црна тела означена са BB. Захтевао је да се тела држе у шупљини у топлотној равнотежи на температури T. Његов доказ је имао за циљ да покаже да је однос E(λ, T, i)/a(λ, T, i) независан од природе i неидеалног тела, ма колико оно било делимично провидно или делимично рефлектујуће.

Његов доказ је прво тврдио да за таласну дужину λ и на температури T, у топлотној равнотежи, сва савршена црна тела исте величине и облика имају једну и исту заједничку вредност емисионе моћи E(λ, T, BB), са димензијама снаге. Његов доказ је приметио да је бездимензионални таласно-специфични коефицијент апсорпције a(λ, T, BB) савршеног црног тела по дефиницији тачно 1. Тада је за савршено црно тело, таласно-специфични однос емисионе моћи и коефицијента апсорпције E(λ, T, BB)/a(λ, T, BB) опет само E(λ, T, BB), са димензијама снаге. Кирхоф је разматрао, сукцесивно, топлотну равнотежу са произвољним неидеалним телом, и са савршеним црним телом исте величине и облика, на месту у својој шупљини у равнотежи на температури T. Тврдио је да токови топлотног зрачења морају бити исти у сваком случају. Тако је тврдио да је у топлотној равнотежи однос E(λ, T, i)/a(λ, T, i) једнак E(λ, T, BB), што се сада може означити са B_λ (λ, T), континуална функција, зависна само од λ на фиксној температури T, и растућа функција T на фиксној таласној дужини λ, на ниским температурама нестаје за видљиве, али не и за дуже таласне дужине, са позитивним вредностима за видљиве таласне дужине на вишим температурама, која не зависи од природе i произвољног неидеалног тела. (Геометријски фактори, детаљно узети у обзир од стране Кирхофа, су занемарени у претходном.)

Тако се Кирхофов закон топлотног зрачења може навести: За било који материјал, који зрачи и апсорбује у термодинамичкој равнотежи на било којој датој температури T, за сваку таласну дужину λ, однос емисионе моћи и апсорптивног односа има једну универзалну вредност, која је карактеристична за савршено црно тело, и представља емисиону моћ коју овде представљамо са B_λ (λ, T). (За нашу нотацију B_λ (λ, T), Кирхофова оригинална нотација била је једноставно e.)

Кирхоф је најавио да је одређивање функције B_λ (λ, T) проблем од највеће важности, иако је препознао да ће бити експерименталних потешкоћа које треба превазићи. Претпостављао је да ће, као и друге функције које не зависе од својстава појединачних тела, то бити једноставна функција. Та функција B_λ (λ, T) се понекад називала 'Кирхофова (емисиона, универзална) функција', иако њен прецизан математички облик неће бити познат још четрдесет година, док га није открио Планк 1900. године. На теоретском доказу за Кирхофов принцип универзалности радили су и расправљали различити физичари у исто време, и касније. Кирхоф је касније 1860. године изјавио да је његов теоретски доказ бољи од Стјуартовог, и у неким аспектима јесте био. Кирхофов рад из 1860. године није помињао други закон термодинамике, и наравно није помињао концепт ентропије који у то време још није био установљен. У детаљнијем приказу у књизи из 1862. године, Кирхоф је поменуо везу свог закона са „Карноовим принципом”, што је облик другог закона.

Према Хелгеу Крагу, „Квантна теорија дугује своје порекло проучавању топлотног зрачења, посебно зрачењу „црног тела” које је Роберт Кирхоф први дефинисао 1859–1860.”

Емпиријски и теоретски састојци за научну индукцију Планковог закона

Године 1860, Кирхоф је предвидео експерименталне потешкоће за емпиријско одређивање функције која описује зависност спектра црног тела само од температуре и таласне дужине. И тако се и догодило. Било је потребно око четрдесет година развоја побољшаних метода мерења електромагнетног зрачења да би се добио поуздан резултат.

Године 1865, Џон Тиндал је описао зрачење из електрично загрејаних филамената и из угљеничних лукова као видљиво и невидљиво. Тиндал је спектрално разложио зрачење коришћењем призме од камене соли, која је пропуштала топлотне као и видљиве зраке, и мерио је интензитет зрачења помоћу термопила.

Године 1880, Андре-Проспер-Пол Крова је објавио дијаграм тродимензионалног изгледа графика јачине топлотног зрачења као функције таласне дужине и температуре. Одредио је спектралну променљиву коришћењем призми. Анализирао је површину кроз оно што је назвао „изотермалним” кривама, пресецима за једну температуру, са спектралном променљивом на апсциси и променљивом снаге на ординати. Повукао је глатке криве кроз своје експерименталне тачке. Имале су један врх на спектралној вредности карактеристичној за температуру, и падале су са обе стране према хоризонталној оси. Такви спектрални пресеци се широко приказују и данас.

У серији радова од 1881. до 1886. године, Ленгли је известио о мерењима спектра топлотног зрачења, користећи дифракционе решетке и призме, и најосетљивије детекторе које је могао да направи. Известио је да постоји врх интензитета који се повећава са температуром, да облик спектра није симетричан око врха, да постоји снажан пад интензитета када је таласна дужина краћа од приближне граничне вредности за сваку температуру, да се приближна гранична таласна дужина смањује са повећањем температуре, и да се таласна дужина врха интензитета смањује са температуром, тако да се интензитет снажно повећава са температуром за кратке таласне дужине које су дуже од приближне граничне вредности за температуру.

Прочитавши Ленглија, 1888. године, руски физичар В. А. Микелсон је објавио разматрање идеје да би непозната Кирхофова радијациона функција могла бити физички објашњена и математички изражена у терминима „потпуне неправилности вибрација ... атома”. У то време, Планк се није бавио зрачењем детаљно, и није веровао ни у атоме ни у статистичку физику. Микелсон је представио формулу за спектар температуре: $$I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},$$ где I_λ означава специфични радијативни интензитет на таласној дужини λ и температури θ, и где су B₁ и c емпиријске константе.

Године 1898, Ото Лумер и Фердинанд Курлбаум су објавили опис свог извора зрачења шупљине. Њихов дизајн је у великој мери коришћен непромењен за мерења зрачења до данас. Била је то платинаста кутија, подељена дијафрагмама, са унутрашњошћу поцрњеном гвожђе-оксидом. Био је то важан састојак за прогресивно побољшана мерења која су довела до открића Планковог закона. Верзија описана 1901. године имала је унутрашњост поцрњену мешавином оксида хрома, никла и кобалта.

Важност Лумеровог и Курлбаумовог извора зрачења шупљине била је у томе што је то био експериментално доступан извор зрачења црног тела, за разлику од зрачења из једноставно изложеног инкандесцентног чврстог тела, што је била најближа доступна експериментална апроксимација зрачења црног тела у одговарајућем опсегу температура. Једноставно изложена инкандесцентна чврста тела, која су се користила раније, емитовала су зрачење са одступањима од спектра црног тела која су онемогућавала проналажење правог спектра црног тела из експеримената.

Планкови ставови пре него што су га емпиријске чињенице довеле до проналаска његовог коначног закона

Планк се први пут окренуо проблему зрачења црног тела 1897. године. Теоретски и емпиријски напредак омогућио је Лумеру и Прингсхајму да 1899. године напишу да су доступни експериментални докази приближно у складу са законом специфичног интензитета Cλ⁻⁵e^−c⁄_λT где C и c означавају емпиријски мерљиве константе, а где λ и T означавају таласну дужину и температуру респективно. Из теоретских разлога, Планк је у то време прихватио ову формулацију, која има ефективну границу на кратким таласним дужинама.

Густав Кирхоф је био учитељ Макса Планка и претпоставио је да постоји универзални закон за зрачење црног тела, што је названо „Кирхофов изазов”. Планк, теоретичар, веровао је да је Вилхелм Вин открио овај закон и проширио је Винов рад, представивши га 1899. године на састанку Немачког физичког друштва. Експерименталисти Ото Лумер, Фердинанд Курлбаум, Ернст Прингсхајм и Хајнрих Рубенс су извели експерименте који су изгледа подржавали Винов закон, посебно на вишим фреквенцијама, тј. кратким таласним дужинама, што је Планк тако потпуно подржао у Немачком физичком друштву да је почео да се назива Вин-Планков закон. Међутим, до септембра 1900. године, експерименталисти су без сумње доказали да Вин-Планков закон не важи на дужим таласним дужинама. Своје податке су представили 19. октобра. Планка је обавестио његов пријатељ Рубенс и он је брзо створио формулу у року од неколико дана. У јуну исте године, Лорд Рејли је створио формулу која би функционисала за ниже фреквенције на основу широко прихваћене теорије еквипартиције. Тако је Планк поднео формулу која комбинује Рејлијев закон (или сличну теорију еквипартиције) и Винов закон, која би се прилагођавала једном или другом закону у зависности од таласне дужине како би одговарала експерименталним подацима. Међутим, иако је ова једначина функционисала, сам Планк је рекао да, осим ако не може да објасни формулу изведену из „срећне интуиције” у нешто са „правим значењем” у физици, она нема прави значај. Планк је објаснио да је након тога уследио најтежи рад у његовом животу. Планк није веровао у атоме, нити је мислио да би други закон термодинамике требало да буде статистички јер вероватноћа не даје апсолутан одговор, а Болцманов закон ентропије се ослањао на хипотезу о атомима и био је статистички. Али Планк није могао да пронађе начин да усклади своју једначину црног тела са континуалним законима као што су Максвелове једначине таласа. Тако је, у нечему што је Планк назвао „чином очаја”, окренуо Болцмановом атомском закону ентропије јер је то био једини који је чинио да његова једначина функционише. Стога је користио Болцманову константу k и своју нову помоћну константу h да објасни закон зрачења црног тела који је касније постао широко познат кроз његов објављени рад.

Проналажење емпиријског закона

Макс Планк је представио свој закон 19. октобра 1900. као побољшање Винове апроксимације, објављене 1896. године од стране Вилхелма Вина, која се поклапала са експерименталним подацима на кратким таласним дужинама (високим фреквенцијама), али је одступала од њих на дугим таласним дужинама (ниским фреквенцијама). У јуну 1900. године, на основу хеуристичких теоријских разматрања, Рејли је предложио формулу за коју је предложио да се експериментално провери. Предлог је био да би Стјуарт-Кирхофова универзална функција могла бити облика c₁Tλ⁻⁴exp(–c₂/λT). Ово није била прослављена Рејли-Џинсова формула 8πk_BTλ⁻⁴, која се није појавила до 1905. године, иако се сводила на њу за дуге таласне дужине, које су овде релевантне. Према Клајну, може се спекулисати да је вероватно да је Планк видео овај предлог иако га није поменуо у својим радовима из 1900. и 1901. године. Планк би био свестан разних других предложених формула које су биле понуђене. Дана 7. октобра 1900. године, Рубенс је рекао Планку да се у комплементарном домену (дуга таласна дужина, ниска фреквенција), и само тамо, Рејлијева формула из 1900. године добро поклапа са посматраним подацима.

За дуге таласне дужине, Рејлијева хеуристичка формула из 1900. године је приближно значила да је енергија пропорционална температури, U_λ = const. T. Познато је да је dS/dU_λ = 1/T и то доводи до dS/dU_λ = const./U_λ а затим до d²S/dU_λ² = −const./U_λ² за дуге таласне дужине. Али за кратке таласне дужине, Винова формула доводи до 1/T = − const. ln U_λ + const. а затим до d²S/dU_λ² = − const./U_λ за кратке таласне дужине. Планк је спојио ове две хеуристичке формуле, за дуге и за кратке таласне дужине, да би добио формулу $${\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.$$

Ово је довело Планка до формуле $$B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},$$ где је Планк користио симболе C и c да означи емпиријске константе уклапања.

Планк је послао овај резултат Рубенсу, који га је упоредио са својим и Курлбаумовим посматрачким подацима и утврдио да се изузетно добро поклапа за све таласне дужине. Дана 19. октобра 1900. године, Рубенс и Курлбаум су кратко известили о поклапању са подацима, а Планк је додао кратку презентацију да би дао теоријску скицу за објашњење своје формуле. У року од недељу дана, Рубенс и Курлбаум су дали детаљнији извештај о својим мерењима потврђујући Планков закон. Њихова техника за спектрално разлагање зрачења дужих таласних дужина називала се методом резидуалних зрака. Зраци су се више пута рефлектовали са полираних кристалних површина, а зраци који су прошли кроз цео процес били су 'резидуални', и били су таласних дужина које су преференцијално рефлектовали кристали одговарајућих специфичних материјала.

Покушај проналажења физичког објашњења закона

Види још: Планков однос

Када је Планк открио емпиријски одговарајућу функцију, конструисао је физичко извођење овог закона. Његово размишљање се вртело око ентропије, а не директно око температуре. Планк је разматрао шупљину са савршено рефлектујућим зидовима; унутар шупљине постоји коначан број различитих, али идентично конструисаних резонантних осцилаторних тела одређене величине, са неколико таквих осцилатора на свакој од коначно много карактеристичних фреквенција. Ови хипотетички осцилатори су за Планка били чисто имагинарне теоријске истраживачке сонде, и он је за њих рекао да такви осцилатори не морају „заиста постојати негде у природи, под условом да су њихово постојање и њихова својства у складу са законима термодинамике и електродинамике”. Планк није приписивао никакав одређени физички значај својој хипотези о резонантним осцилаторима, већ ју је предложио као математички уређај који му је омогућио да изведе јединствен израз за спектар црног тела који се поклапао са емпиријским подацима на свим таласним дужинама. Опрезно је поменуо могућу везу таквих осцилатора са атомима. У неком смислу, осцилатори су одговарали Планковој мрљици угља; величина мрљице је могла бити мала без обзира на величину шупљине, под условом да је мрљица ефикасно преносила енергију између радијативних модова таласних дужина.

Делимично пратећи хеуристичку методу израчунавања коју је Болцман пионирски применио на молекуле гаса, Планк је разматрао могуће начине дистрибуције електромагнетне енергије по различитим модовима својих хипотетичких наелектрисаних материјалних осцилатора. Ово прихватање пробабилистичког приступа, пратећи Болцмана, за Планка је била радикална промена у односу на његов бивши став, који се до тада намерно супротстављао таквом размишљању које је предложио Болцман. Према Планковим речима, „Сматрао сам [квантну хипотезу] чисто формалном претпоставком, и нисам јој посветио много пажње осим овога: да сам добио позитиван резултат под било којим околностима и по било коју цену.” Хеуристички, Болцман је дистрибуирао енергију у произвољним чисто математичким квантима ϵ, које је затим пустио да теже нули у величини, јер је коначна величина ϵ служила само да омогући дефинитивно бројање ради математичког израчунавања вероватноћа, и није имала физички значај. Позивајући се на нову универзалну константу природе, h, Планк је претпоставио да се, у неколико осцилатора сваке од коначно много карактеристичних фреквенција, укупна енергија дистрибуира сваком у целобројном умношку одређене физичке јединице енергије, ϵ, карактеристичне за одговарајућу карактеристичну фреквенцију. Његова нова универзална константа природе, h, данас је позната као Планкова константа.

Планк је даље објаснио да одговарајућа одређена јединица, ϵ, енергије треба да буде пропорционална одговарајућој карактеристичној осцилационој фреквенцији ν хипотетичког осцилатора, и 1901. године је то изразио са константом пропорционалности h: $$\epsilon =h\nu .$$

Планк није предложио да је светлост која се простире у слободном простору квантована. Идеја о квантизацији слободног електромагнетног поља развијена је касније, и на крају је уграђена у оно што данас познајемо као квантна теорија поља.

Године 1906, Планк је признао да његови имагинарни резонатори, који имају линеарну динамику, не пружају физичко објашњење за трансдукцију енергије између фреквенција. Данашња физика објашњава трансдукцију између фреквенција у присуству атома њиховом квантном ексцитабилношћу, пратећи Ајнштајна. Планк је веровао да у шупљини са савршено рефлектујућим зидовима и без присуства материје, електромагнетно поље не може размењивати енергију између фреквенцијских компоненти. Ово је због линеарности Максвелових једначина. Данашња квантна теорија поља предвиђа да, у одсуству материје, електромагнетно поље поштује нелинеарне једначине и у том смислу само-интерагује. Таква интеракција у одсуству материје још увек није директно измерена јер би захтевала веома високе интензитете и веома осетљиве детекторе са ниским шумом, који су још увек у процесу изградње. Планк је веровао да поље без интеракција нити поштује нити крши класични принцип еквипартиције енергије, већ остаје тачно онакво какво је било када је уведено, уместо да еволуира у поље црног тела. Дакле, линеарност његових механичких претпоставки спречила је Планка да има механичко објашњење максимизације ентропије термодинамичког равнотежног поља топлотног зрачења. Због тога је морао да се ослони на Болцманове пробабилистичке аргументе.

Планков закон се може сматрати испуњењем предвиђања Густава Кирхофа да је његов закон топлотног зрачења од највеће важности. У својој зрелој презентацији сопственог закона, Планк је понудио темељан и детаљан теоријски доказ за Кирхофов закон, теоријски доказ за који се до тада понекад расправљало, делом зато што се говорило да се ослања на нефизичке теоријске објекте, као што је Кирхофова савршено апсорбујућа бесконачно танка црна површина.

Накнадни догађаји

Тек пет година након што је Планк изнео своју хеуристичку претпоставку о апстрактним елементима енергије или дејства, Алберт Ајнштајн је 1905. године замислио стварно постојеће кванте светлости као револуционарно објашњење зрачења црног тела, фотолуминисценције, фотоелектричног ефекта и јонизације гасова ултраљубичастом светлошћу. Године 1905, „Ајнштајн је веровао да се Планкова теорија не може ускладити са идејом светлосних кваната, грешку коју је исправио 1906.” Супротно тадашњим Планковим уверењима, Ајнштајн је предложио модел и формулу према којој се светлост емитује, апсорбује и простире у слободном простору у енергетским квантима локализованим у тачкама простора. Као увод у своје резоновање, Ајнштајн је поновио Планков модел хипотетичких резонантних материјалних електричних осцилатора као извора и понора зрачења, али је затим понудио нови аргумент, одвојен од тог модела, али делимично заснован на термодинамичком аргументу Вина, у којем Планкова формула ϵ = hν није играла улогу. Ајнштајн је дао енергетски садржај таквих кваната у облику Rβν/N. Тако је Ајнштајн противречио таласној теорији светлости коју је заступао Планк. Године 1910, критикујући рукопис који му је послао Планк, знајући да је Планк био чврст присталица Ајнштајнове теорије специјалне релативности, Ајнштајн је написао Планку: „Мени се чини апсурдним да енергија буде континуирано распоређена у простору без претпоставке о етру.”

Према Томасу Куну, тек 1908. године Планк је мање-више прихватио део Ајнштајнових аргумената за физичку, за разлику од апстрактне математичке, дискретности у физици топлотног зрачења. Ипак, 1908. године, разматрајући Ајнштајнов предлог о квантном простирању, Планк је сматрао да је такав револуционарни корак можда непотребан. До тада, Планк је био доследан у мишљењу да се дискретност кваната дејства не налази ни у његовим резонантним осцилаторима ни у простирању топлотног зрачења. Кун је написао да, у Планковим ранијим радовима и у његовој монографији из 1906. године, нема „помена дисконтинуитета, [нити] говора о ограничењу енергије осцилатора, [нити] било какве формуле попут U = nhν.” Кун је истакао да га је проучавање Планкових радова из 1900. и 1901. године, и његове монографије из 1906. године, довело до „херетичких” закључака, супротних широко распрострањеним претпоставкама других који су Планково писање видели само из перспективе каснијих, анахроних, гледишта. Кунови закључци, налазећи период до 1908. године, када је Планк доследно држао своју 'прву теорију', прихваћени су од стране других историчара.

У другом издању своје монографије, 1912. године, Планк је одржао своје неслагање са Ајнштајновим предлогом о светлосним квантима. Детаљно је предложио да би апсорпција светлости од стране његових виртуелних материјалних резонатора могла бити континуирана, дешавајући се константном брзином у равнотежи, за разлику од квантне апсорпције. Само је емисија била квантна. Ово се понекад називало Планковом „другом теоријом”.

Тек 1919. године, у трећем издању своје монографије, Планк је мање-више прихватио своју 'трећу теорију', да су и емисија и апсорпција светлости квантне.

Живописни израз „ултраљубичаста катастрофа” дао је Паул Еренфест 1911. године за парадоксални резултат да укупна енергија у шупљини тежи бесконачности када се теорема еквипартиције класичне статистичке механике (погрешно) примени на зрачење црног тела. Али то није био део Планковог размишљања, јер он није покушао да примени доктрину еквипартиције: када је дошао до свог открића 1900. године, није приметио никакву „катастрофу”. То је први приметио Лорд Рејли 1900. године, а затим 1901. године сер Џејмс Џинс; а касније, 1905. године, Ајнштајн када је желео да подржи идеју да се светлост простире као дискретни пакети, касније названи 'фотони', и Рејли и Џинс.

Године 1913, Бор је дао другу формулу са још другачијим физичким значењем за количину hν. За разлику од Планкових и Ајнштајнових формула, Борова формула се експлицитно и категорички односила на енергетске нивое атома. Борова формула је била W_τ2 − W_τ1 = hν где W_τ2 и W_τ1 означавају енергетске нивое квантних стања атома, са квантним бројевима τ₂ и τ₁. Симбол ν означава фреквенцију кванта зрачења који се може емитовати или апсорбовати док атом прелази између та два квантна стања. За разлику од Планковог модела, фреквенција $\nu$ нема директну везу са фреквенцијама које би могле описати та сама квантна стања.

Касније, 1924. године, Сатјендра Нат Бозе је развио теорију статистичке механике фотона, што је омогућило теоријско извођење Планковог закона. Сам назив 'фотон' је измишљен још касније, од стране Г. Н. Луиса 1926. године, који је погрешно веровао да су фотони очувани, супротно Бозе-Ајнштајновој статистици; ипак, реч 'фотон' је усвојена да изрази Ајнштајнов постулат о пакетној природи простирања светлости. У електромагнетном пољу изолованом у вакууму у посуди са савршено рефлектујућим зидовима, као што је разматрао Планк, фотони би заиста били очувани према Ајнштајновом моделу из 1905. године, али Луис је мислио на поље фотона посматрано као систем затворен у односу на материју, али отворен за размену електромагнетне енергије са околним системом материје, и погрешно је замишљао да су фотони и даље очувани, складиштећи се унутар атома.

На крају, Планков закон зрачења црног тела допринео је Ајнштајновом концепту кваната светлости који носе линеарни момент, што је постало темељна основа за развој квантне механике.

Горе поменута линеарност Планкових механичких претпоставки, која није дозвољавала енергетске интеракције између фреквенцијских компоненти, замењена је 1925. године Хајзенберговом оригиналном квантном механиком. У свом раду поднетом 29. јула 1925. године, Хајзенбергова теорија је објаснила Борову горе поменуту формулу из 1913. године. Прихватила је нелинеарне осцилаторе као моделе атомских квантних стања, дозвољавајући енергетску интеракцију између њихових сопствених вишеструких унутрашњих дискретних Фуријеових фреквенцијских компоненти, приликом емисије или апсорпције кваната зрачења. Фреквенција кванта зрачења била је она одређене спреге између унутрашњих атомских мета-стабилних осцилаторних квантних стања. У то време, Хајзенберг није знао ништа о матричној алгебри, али Макс Борн је прочитао рукопис Хајзенберговог рада и препознао матрични карактер Хајзенбергове теорије. Затим су Борн и Јордан објавили експлицитно матричну теорију квантне механике, засновану на, али у форми знатно различиту од, Хајзенбергове оригиналне квантне механике; то је Борн-Јорданова матрична теорија која се данас назива матрична механика. Хајзенбергово објашњење Планкових осцилатора, као нелинеарних ефеката видљивих као Фуријеови модови пролазних процеса емисије или апсорпције зрачења, показало је зашто Планкови осцилатори, посматрани као трајни физички објекти какви би се могли замислити у класичној физици, нису дали адекватно објашњење феномена.

Данас се, као израз енергије светлосних кваната, често налази формула E = ħω, где је ħ = h/2π, а ω = 2πν означава угаону фреквенцију, а ређе еквивалентна формула E = hν. Овај исказ о стварно постојећем и простирућем светлосном кванту, заснован на Ајнштајновом, има физичко значење различито од Планковог горе наведеног исказа ϵ = hν о апстрактним јединицама енергије које треба расподелити међу његовим хипотетичким резонантним материјалним осцилаторима.

Чланак Хелгеа Крага објављен у Physics World даје приказ ове историје.

Види још

• Емисивност
• Радијанса
• Сакума-Хатори једначина

Литература

• Adkins, C. J. (1983). Equilibrium Thermodynamics (3rd изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-25445-8. 
• Andrews, David (2000). An Introduction to Atmospheric Physics. Cambridge University Press. ISBN 0511800770. 
• Bohr, N. (1913). „On the constitution of atoms and molecules” (PDF). Philosophical Magazine. 26 (153): 1—25. Bibcode:1913PMag...26..476B. doi:10.1080/14786441308634993. Архивирано из оригинала (PDF) 09. 08. 2017. г. Приступљено 25. 11. 2025. 
• Bohren, C. F.; Clothiaux, E. E. (2006). Fundamentals of Atmospheric Radiation. Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40503-9. 
• Boltzmann, L. (1878). „Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, respective den Sätzen über das Wärmegleichgewicht”. Sitzungsberichte Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien (на језику: немачки). 76 (2): 373—435. 
• Born, M.; Wolf, E. (1999). Principles of Optics (7th изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4. 
• Born, M.; Jordan, P. (1925). „Zur Quantenmechanik”. Zeitschrift für Physik. 34 (1): 858—888. Bibcode:1925ZPhy...34..858B. S2CID 186114542. doi:10.1007/BF01328531. 
  • Translated in part as "On quantum mechanics" in van der Waerden, B. L. (1967). Sources of Quantum Mechanics. North-Holland Publishing. стр. 277—306. 
• Bose, Satyendra Nath (1924). „Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese”. Zeitschrift für Physik (на језику: немачки). 26 (1): 178—181. Bibcode:1924ZPhy...26..178B. S2CID 186235974. doi:10.1007/BF01327326. 
• Brehm, J. J.; Mullin, W. J. (1989). Introduction to the Structure of Matter. Wiley. ISBN 978-0-471-60531-7. 
• Brillouin, L. (1970). Relativity Reexamined. Academic Press. ISBN 978-0-12-134945-5. 
• Caniou, J. (1999). Passive Infrared Detection: Theory and Applications. Springer. ISBN 978-0-7923-8532-5. 
• Chandrasekhar, S. (1960) [1950]. Radiative Transfer (Revised reprint изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-60590-6. 
• Cotton, A. (1899). „The present status of Kirchhoff's law”. The Astrophysical Journal. 9: 237—268. Bibcode:1899ApJ.....9..237C. doi:10.1086/140585. 
• Crova, A. P. P. (1880). „Étude des radiations émises par les corps incandescents. Mesure optique des hautes températures”. Annales de chimie et de physique. Série 5. 19: 472—550. 
• Dougal, R. C. (1976). „The presentation of the Planck radiation formula (tutorial)”. Physics Education. 11 (6): 438—443. Bibcode:1976PhyEd..11..438D. S2CID 250881729. doi:10.1088/0031-9120/11/6/008. 
• Ehrenfest, P. (1911). „Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle?”. Annalen der Physik. 36 (11): 91—118. Bibcode:1911AnP...341...91E. doi:10.1002/andp.19113411106. 
• Ehrenfest, P.; Kamerlingh Onnes, H. (1914). „Simplified deduction of the formula from the theory of combinations which Planck uses as the basis of his radiation theory”. Proceedings of the Royal Dutch Academy of Sciences in Amsterdam. 17 (2): 870—873. Bibcode:1914KNAB...17..870E. 
• Einstein, A. (1905). „Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt”. Annalen der Physik. 17 (6): 132—148. Bibcode:1905AnP...322..132E. doi:10.1002/andp.19053220607 . 
  • Translated in Arons, A. B.; Peppard, M. B. (1965). „Einstein's proposal of the photon concept: A translation of the Annalen der Physik paper of 1905” (PDF). American Journal of Physics. 33 (5): 367. Bibcode:1965AmJPh..33..367A. doi:10.1119/1.1971542. Архивирано из оригинала (PDF) 4. 3. 2016. г. Приступљено 19. 4. 2011. 
• Einstein, A. (1916). „Zur Quantentheorie der Strahlung”. Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich. 18: 47—62. Bibcode:1916PhyGZ..18...47E.  and a nearly identical version Einstein, A. (1917). „Zur Quantentheorie der Strahlung”. Physikalische Zeitschrift. 18: 121—128. Bibcode:1917PhyZ...18..121E. 
  • Translated in ter Haar, D. (1967). „On the Quantum Theory of Radiation”. The Old Quantum Theory. Pergamon Press. стр. 167—183. LCCN 66029628. 
  • See also [1].
• Einstein, A. (1993). The Collected Papers of Albert Einstein. 3. Превод: Beck, A. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-10250-4. 
• Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1963). The Feynman Lectures on Physics, Volume 1. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02010-6. 
• Fischer, T. (1. 11. 2011). „Topics: Derivation of Planck's Law”. ThermalHUB. Приступљено 19. 6. 2015. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Gaofeng Shao; Yucao Lu; Dorian A.H. Hanaor; Sheng Cui; Jian Jiao; Xiaodong Shen (2019). „Improved oxidation resistance of high emissivity coatings on fibrous ceramic for reusable space systems”. Corrosion Science. 146: 233—246. Bibcode:2019Corro.146..233S. S2CID 118927116. arXiv:1902.03943 . doi:10.1016/j.corsci.2018.11.006. HAL Id: hal-02308467 — преко HAL archives ouverts. 
• Goody, R. M.; Yung, Y. L. (1989). Atmospheric Radiation: Theoretical Basis (2nd изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-510291-8. 
• Guggenheim, E. A. (1967). Thermodynamics. An Advanced Treatment for Chemists and Physicists (5th revised изд.). North-Holland Publishing Company. 
• Haken, H. (1981). Light (Reprint изд.). Amsterdam: North-Holland Publishing. ISBN 978-0-444-86020-0. 
• Hapke, B. (1993). Theory of Reflectance and Emittance Spectroscopy. Cambridge University Press, Cambridge UK. ISBN 978-0-521-30789-5. 
• Heisenberg, W. (1925). „Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen”. Zeitschrift für Physik. 33 (1): 879—893. Bibcode:1925ZPhy...33..879H. S2CID 186238950. doi:10.1007/BF01328377. 
  • Translated as "Quantum-theoretical Re-interpretation of kinematic and mechanical relations" in van der Waerden, B. L. (1967). Sources of Quantum Mechanics. North-Holland Publishing. стр. 261—276. 
• Heisenberg, W. (1930). The Physical Principles of the Quantum Theory. Eckart, C.; Hoyt, F. C. (transl.). University of Chicago Press. 
• Hermann, A. (1971). The Genesis of Quantum Theory. Nash, C.W. (transl.). MIT Press. ISBN 978-0-262-08047-7. 
  • Translated from Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913), Physik Verlag, Mosbach/Baden, 1969.
• Hettner, G. (1922). „Die Bedeutung von Rubens Arbeiten für die Plancksche Strahlungsformel”. Naturwissenschaften. 10 (48): 1033—1038. Bibcode:1922NW.....10.1033H. S2CID 46268714. doi:10.1007/BF01565205. 
• Jammer, M. (1989). The Conceptual Development of Quantum Mechanics (Second изд.). Tomash Publishers/American Institute of Physics. ISBN 978-0-88318-617-6. 
• Jauch, J. M.; Rohrlich, F. (1980) [1955]. The Theory of Photons and Electrons. The Relativistic Quantum Field Theory of Charged Particles with Spin One-half (second printing of second изд.). Springer. ISBN 978-0-387-07295-1. 
• Jeans, J. H. (1901). „The Distribution of Molecular Energy”. Philosophical Transactions of the Royal Society A. 196 (274–286): 397—430. Bibcode:1901RSPTA.196..397J. JSTOR 90811. doi:10.1098/rsta.1901.0008. 
• Jeans, J. H. (1905a). „XI. On the partition of energy between matter and æther”. Philosophical Magazine. 10 (55): 91—98. doi:10.1080/14786440509463348. 
• Jeans, J. H. (1905b). „On the Application of Statistical Mechanics to the General Dynamics of Matter and Ether”. Proceedings of the Royal Society A. 76 (510): 296—311. Bibcode:1905RSPSA..76..296J. JSTOR 92714. doi:10.1098/rspa.1905.0029 . 
• Jeans, J. H. (1905c). „A Comparison between Two Theories of Radiation”. Nature. 72 (1865): 293—294. Bibcode:1905Natur..72..293J. S2CID 3955227. doi:10.1038/072293d0. 
• Jeans, J. H. (1905d). „On the Laws of Radiation”. Proceedings of the Royal Society A. 76 (513): 545—552. Bibcode:1905RSPSA..76..545J. JSTOR 92704. doi:10.1098/rspa.1905.0060 . 
• Jeffreys, H. (1973). Scientific Inference (3rd изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-08446-8. 
• Kangro, H. (1976). Early History of Planck's Radiation Law. Taylor & Francis. ISBN 978-0-85066-063-0. 
• Karplus, R.; Neuman, M. (1951). „The Scattering of Light by Light”. Physical Review. 83 (4): 776—784. Bibcode:1951PhRv...83..776K. doi:10.1103/PhysRev.83.776. 
• Kirchhoff, G. R. (1860a). „Über die Fraunhofer'schen Linien”. Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 662—665. 
• Kirchhoff, G. R. (1860b). „Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme”. Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 783—787. 
• Kirchhoff, G. R. (1860c). „Über das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorptionsvermögen der Körper für Wärme and Licht”. Annalen der Physik und Chemie. 109 (2): 275—301. Bibcode:1860AnP...185..275K. doi:10.1002/andp.18601850205 . 
  • Translated by Guthrie, F. as Kirchhoff, G. R. (1860). „On the relation between the radiating and absorbing powers of different bodies for light and heat”. Philosophical Magazine. Series 4. 20: 1—21. 
• Kirchhoff, G. R. (1862). „Über das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorptionsvermögen der Körper für Wärme und Licht”. Gessamelte Abhandlungen. Johann Ambrosius Barth. стр. 571—598. 
• Kittel, C.; Kroemer, H. (1980). Thermal Physics (2nd изд.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1088-2. 
• Klein, M. J. (1962). „Max Planck and the beginnings of the quantum theory”. Archive for History of Exact Sciences. 1 (5): 459—479. S2CID 121189755. doi:10.1007/BF00327765. 
• Kragh, H. (1999). Quantum Generations. A History of Physics in the Twentieth Century. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01206-3. 
• Kragh, H. (децембар 2000). „Max Planck: The reluctant revolutionary”. Physics World. 13 (12): 31—36. doi:10.1088/2058-7058/13/12/34. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Kramm, Gerhard; Mölders, N. (2009). „Planck's Blackbody Radiation Law: Presentation in Different Domains and Determination of the Related Dimensional Constant”. Journal of the Calcutta Mathematical Society. 5 (1–2): 27—61. Bibcode:2009arXiv0901.1863K. arXiv:0901.1863 . 
• Kuhn, T. S. (1978). Black–Body Theory and the Quantum Discontinuity. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-502383-1. 
• Landsberg, P. T. (1961). Thermodynamics with Quantum Statistical Illustrations. Interscience Publishers. 
• Landsberg, P. T. (1978). Thermodynamics and Statistical Mechanics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851142-7. 
• Lewis, G. N. (1926). „The Conservation of Photons”. Nature. 118 (2981): 874—875. Bibcode:1926Natur.118..874L. S2CID 4110026. doi:10.1038/118874a0. 
• Loudon, R. (2000). The Quantum Theory of Light (3rd изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850177-0. 
• Lowen, A. N.; Blanch, G. (1940). „Tables of Planck's radiation and photon functions”. Journal of the Optical Society of America. 30 (2): 70. Bibcode:1940JOSA...30...70L. doi:10.1364/JOSA.30.000070. 
• Lummer, O.; Kurlbaum, F. (1898). „Der electrisch geglühte "absolut schwarze" Körper und seine Temperaturmessung”. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 17: 106—111. 
• Lummer, O.; Pringsheim, E. (1899). „1. Die Vertheilung der Energie in Spectrum des schwarzen Körpers und des blanken Platins; 2. Temperaturbestimmung fester glühender Körper”. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 1: 215—235. 
• Lummer, O.; Kurlbaum, F. (1901). „Der elektrisch geglühte "schwarze" Körper”. Annalen der Physik. 310 (8): 829—836. Bibcode:1901AnP...310..829L. doi:10.1002/andp.19013100809. 
• Mandel, L.; Wolf, E. (1995). Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41711-2. 
• Mehra, J.; Rechenberg, H. (1982). The Historical Development of Quantum Theory. 1. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90642-3. 
• Messiah, A. (1958). Quantum Mechanics. Temmer, G. G. (transl.). Wiley. 
• Michelson, V. A. (1888). „Theoretical essay on the distribution of energy in the spectra of solids”. Philosophical Magazine. Series 5. 25 (156): 425—435. doi:10.1080/14786448808628207. 
• Mihalas, D.; Weibel-Mihalas, B. (1984). Foundations of Radiation Hydrodynamics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-503437-0. 
• Milne, E. A. (1930). „Thermodynamics of the Stars”. Handbuch der Astrophysik. 3 (1): 63—255. 
• Mohr, P. J.; Taylor, B. N.; Newell, D. B. (2012). „CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2010” (PDF). Reviews of Modern Physics. 84 (4): 1527—1605. Bibcode:2012RvMP...84.1527M. CiteSeerX 10.1.1.150.1225 . S2CID 103378639. arXiv:1203.5425 . doi:10.1103/RevModPhys.84.1527. 
• Paltridge, G. W.; Platt, C. M. R. (1976). Radiative Processes in Meteorology and Climatology. Elsevier. ISBN 978-0-444-41444-1. 
• Paschen, F. (1895). „Über Gesetzmäßigkeiten in den Spectren fester Körper und über ein neue Bestimmung der Sonnentemperatur”. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Mathematisch-Physikalische Klasse): 294—304. 
• Pauli, W. (1973). Enz, C. P., ур. Wave Mechanics. Margulies, S.; Lewis, H. R. (transl.). MIT Press. ISBN 978-0-262-16050-6. 
• Planck, M. (1900a). „Über eine Verbesserung der Wien'schen Spectralgleichung”. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 2: 202—204. 
  • Translated in ter Haar, D. (1967). „On an Improvement of Wien's Equation for the Spectrum” (PDF). The Old Quantum Theory. Pergamon Press. стр. 79—81. LCCN 66029628. Архивирано из оригинала (PDF) 10. 10. 2016. г. Приступљено 13. 10. 2011. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Planck, M. (1900b). „Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum”. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 2: 237—245. 
  • Translated in ter Haar, D. (1967). „On the Theory of the Energy Distribution Law of the Normal Spectrum” (PDF). The Old Quantum Theory. Pergamon Press. стр. 82. LCCN 66029628. Архивирано из оригинала (PDF) 20. 9. 2016. г. Приступљено 13. 10. 2011. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Planck, M. (1900c). „Entropie und Temperatur strahlender Wärme”. Annalen der Physik. 306 (4): 719—737. Bibcode:1900AnP...306..719P. doi:10.1002/andp.19003060410. 
• Planck, M. (1900d). „Über irreversible Strahlungsvorgänge”. Annalen der Physik. 306 (1): 69—122. Bibcode:1900AnP...306...69P. doi:10.1002/andp.19003060105. 
• Planck, M. (1901). „Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum”. Annalen der Physik. 4 (3): 553—563. Bibcode:1901AnP...309..553P. doi:10.1002/andp.19013090310 . 
  • Translated in Ando, K. „On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 6. 10. 2011. г. Приступљено 13. 10. 2011. 
• Planck, M. (1906). Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung. Johann Ambrosius Barth. LCCN 07004527. 
• Planck, M. (1914). The Theory of Heat Radiation. Превод: Masius, M. (2nd изд.). P. Blakiston's Son & Co. OL 7154661M. 
• Planck, M. (1915). Eight Lectures on Theoretical Physics, delivered at Columbia University in 1909 (PDF). Превод: Wills, A. P. New York: Columbia University Press. Приступљено 11. 5. 2020 — преко Project Gutenberg. 
• Planck, M. (1943). „Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen Wirkungsquantums”. Naturwissenschaften. 31 (14–15): 153—159. Bibcode:1943NW.....31..153P. S2CID 44899488. doi:10.1007/BF01475738. 
• Rayleigh, Lord (1900). „LIII. Remarks upon the law of complete radiation”. Philosophical Magazine. Series 5. 49 (301): 539—540. doi:10.1080/14786440009463878. 
• Rayleigh, Lord (1905). „The Dynamical Theory of Gases and of Radiation”. Nature. 72 (1855): 54—55. Bibcode:1905Natur..72...54R. S2CID 4057048. doi:10.1038/072054c0. 
• Razavy, M. (2011). Heisenberg's Quantum Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981-4304-10-8. 
• Rubens, H.; Kurlbaum, F. (1900a). „Über die Emission langer Wellen durch den schwarzen Körper”. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 2: 181. 
• Rubens, H.; Kurlbaum, F. (1900b). „Über die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch den schwarzen Körper bei verschiedenen Temperaturen”. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 929—941. 
  • Translated in Rubens, H.; Kurlbaum, F. (1901). „On the heat-radiation of long wave-length emitted by black bodies at different temperatures”. The Astrophysical Journal. 14: 335—348. Bibcode:1901ApJ....14..335R. doi:10.1086/140874 . 
• Rybicki, G. B.; Lightman, A. P. (1979). Radiative Processes in Astrophysics. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-82759-7. 
• Sharkov, E. A. (2003). „Black-body radiation” (PDF). Passive Microwave Remote Sensing of the Earth. Springer. ISBN 978-3-540-43946-2. 
• Schiff, L. I. (1949). Quantum Mechanics. McGraw-Hill. 
• Schirrmacher, A. (2001). Experimenting theory: the proofs of Kirchhoff's radiation law before and after Planck. Münchner Zentrum für Wissenschafts und Technikgeschichte. 
• Schwinger, J. (2001). Englert, B.-G., ур. Quantum Mechanics: Symbolism of Atomic Measurements. Springer. ISBN 978-3-540-41408-7. 
• Scully, M. O.; Zubairy, M. S. (1997). Quantum Optics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43458-4. 
• Siegel, D. M. (1976). „Balfour Stewart and Gustav Robert Kirchhoff: two independent approaches to "Kirchhoff's radiation law"”. Isis. 67 (4): 565—600. PMID 794025. S2CID 37368520. doi:10.1086/351669. 
• Siegel, R.; Howell, J. R. (2002). Thermal Radiation Heat Transfer, Volume 1 (4th изд.). Taylor & Francis. ISBN 978-1-56032-839-1. 
• Sommerfeld, A. (1923). Atomic Structure and Spectral Lines. Brose, H. L. (transl.) (from 3rd German изд.). Methuen. 
• Stehle, P. (1994). Order, Chaos, Order. The Transition from Classical to Quantum Physics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-507513-7. 
• Stewart, B. (1858). „An account of some experiments on radiant heat”. Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 22: 1—20. S2CID 122316368. doi:10.1017/S0080456800031288. 
• ter Haar, D. (1967). The Old Quantum Theory. Pergamon Press. LCCN 66-029628. 
• Thornton, S. T.; Rex, A. F. (2002). Modern Physics. Thomson Learning. ISBN 978-0-03-006049-6. 
• Tisza, L. (1966). Generalized Thermodynamics. MIT Press. 
• Tommasini, D.; Ferrando, F.; Michinel, H.; Seco, M. (2008). „Detecting photon-photon scattering in vacuum at exawatt lasers”. Physical Review A. 77 (1): 042101. Bibcode:2008PhRvA..77a2101M. arXiv:quant-ph/0703076 . doi:10.1103/PhysRevA.77.012101. 
• Tyndall, J. (1865a). „Über leuchtende und dunkle Strahlung”. Annalen der Physik und Chemie. 200 (1): 36—53. Bibcode:1865AnP...200...36T. doi:10.1002/andp.18652000103. 
• Tyndall, J. (1865b). Heat considered as a Mode of Motion. D. Appleton & Company. 
• Wien, W. (1896). „Über die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines schwarzen Körpers”. Annalen der Physik und Chemie. 294 (8): 662—669. Bibcode:1896AnP...294..662W. doi:10.1002/andp.18962940803. 
• Wilson, A. H. (1957). Thermodynamics and Statistical Mechanics. Cambridge University Press. 

Спољашње везе

• Сажетак о зрачењу
• Зрачење црног тела – интерактивна симулација за игру са Планковим законом
• Scienceworld унос о Планковом закону