С Википедије, слободне енциклопедије
Поворка импулса као бесконачни ред Диракових делта функција на интервалима од T . У математици поворка импусла (такође Дираков чешаљ и функција одабирања у електротехници ) је периодична Шварцова расподела сачињена од Диракових делта функција .
Δ
T
(
t
)
=
d
e
f
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
k
T
)
{\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}
на неком одређеном интервалу времена T . Неки аутори, конкретно Брејсвел као и неки аутори уџбеника за електротехнику и теорију електричних кола, називају ову функцију Ш функцијом (могуће зато што график подсећа на облик слова Ш ). Пошто је ова функција периодична, може да се представи Фуријеовим редом :
Δ
T
(
t
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
∞
e
i
2
π
n
t
/
T
.
{\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}.}
Особина скалирања следи директно из особине Диракове делта функције
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
k
T
)
=
|
α
|
⋅
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
α
⋅
(
t
−
k
T
)
)
.
{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\bigg (}\alpha \cdot (t-kT){\bigg )}.}
Јасно је да је ΔT t ) периодично са периодом T . То јест
Δ
T
(
t
+
T
)
=
Δ
T
(
t
)
∀
t
{\displaystyle \Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)\quad \forall t}
Комплексни Фуријеов ред за такву периодичну функцију гласи
Δ
T
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
c
n
e
i
2
π
n
t
/
T
{\displaystyle \Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\ }
где Фуријеови коефицијенти, cn , износе,
c
n
{\displaystyle c_{n}\,}
=
1
T
∫
t
0
t
0
+
T
Δ
T
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
(
−
∞
<
t
0
<
+
∞
)
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\ }
=
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
Δ
T
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }
=
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
δ
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }
=
1
T
e
−
i
2
π
n
0
/
T
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\ }
=
1
T
.
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}.\ }
Сви Фуријеови коефицијенти су 1/T , због чега је
Δ
T
(
t
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
∞
e
i
2
π
n
t
/
T
{\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}}
Фуријеова трансформација поворке импулса је такође поворка импулса.
Јединична трансформација у фреквенцијски домен (Hz):
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
n
T
)
⟺
F
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
f
−
k
T
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
i
2
π
f
n
T
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}}
Јединична трансформација у угаони фреквенцијски домен (rad/s):
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
n
T
)
⟺
F
2
π
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
ω
−
k
2
π
T
)
=
1
2
π
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
i
ω
n
T
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)\quad ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}\,}
Множење континуалног сигнала поворком импулса понекад се назива идеални одабирач са интервалом одабирања T .
Када се користи као идеални одабирач, може да се употреби за разумевање ефекта преклапања (алијасинга) и као доказ за Никвист-Шенонова теорема одабирања .
Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986) 
