Подгрупа (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Подгрупа групе је непразан скуп који је сам група у односу на бинарну операцију * дефинисану у групи. Другим речима, је подгрупа ако је рестрикција * на операција групе на . Ознака подгрупе групе је .

Дефинисана преко хомоморфизма, је подгрупа групе ако и само ако је подскуп од и постоји инклузиони хомоморфизам из у , односно за свако .

Права погрупа групе је подгрупа , која је прави подскуп од (т. ј. ). Тривијална подгрупа било које групе је подгрупа која се састоји само од неутрала. Ако је подгрупа од , понекад се каже да је надгрупа .

Основна својства подгрупа[уреди]

Теорема:

  • Непразан подскуп скупа је подгрупа групе ако и само ако је затворена у односу на множење и инвертовање елемената. Затвореност за производе и инверзе подразумева да кад год су и унутар , тада је и и су такође унутар . Ова два услова могу да се споје у један еквивалентан услов: кад год су и унутар , тада је и унутар
  • Непразан подскуп скупа је подгрупа групе ако и само ако за свака два елемента из , и елемент припада .
  • Непразан подскуп коначног скупа је подгрупа групе ако и само ако је скуп затворен у односу на множење. У овом случају, сваки елемент из генерише коначну цикличну подгрупу од , и инверз је тада , где је ред .[1]

Особине подгрупа[уреди]

  • Неутрал подгрупе је неутрал групе: ако је група са неутралом , и је подгрупа са неутралом , тада је .
  • Инверз елемента подгрупе је инверз елемента групе: ако је подгрупа , и и су елементи , такви да , тада .
  • Пресек подгрупа и групе је такође подгрупа. Унија и је подгрупа ако и само ако или садржи или обратно, јер на пример 2 и 3 су у унији и али њихова сума 5 није.
  • Ако је подскуп , тада постоји најмања подгрупа која садржи , која се може наћи узимањем пресека свих подгрупа које садрже ; ово се означава као и назива се подгрупом генерисаном -ом. Елемент је унутар ако и само ако је коначан производ елемената и њихових инверза.
  • Сваки елемент групе одређује (генерише) цикличну подгрупу . Ако је изоморфно са за неки позитиван цео број , онда је најмањи позитиван цео број за који , и се назива редом . Ако је изоморфно са , тада се каже да је бесконачног реда.

Пример[уреди]

Нека је Абелова група чији су елементи

и чија је операција групе сабирање по модулу осам. Њена Кејлијева табела је

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

Ова група има пар нетривијалних подгрупа: и , где је такође подгрупа од . Кајлијева табела за је горњи леви квадрант Кајлијеве табеле за . Група је циклична, па су и њене подгрупе цикличне. Уопштено, подгрупе цикличних група су цикличне..

Косети и Лагранжова теорема[уреди]

Ако је дата подгрупа и неко из , дефинишемо леви косет . Како је инверзибилно, пресликавање дефинисано као је бијекција. Штавише, сваки елемент из се налази у тачно једном левом косету од ; леви косети су класе еквиваленције у односу на релацију еквиваленције ако и само ако је у . Број левих косета се назива индексом у , и означава се са .

Лагранжова теорема гласи да за коначну групу и њену подгрупу ,

где и означавају редове и . Ред сваке подгрупе (и ред сваког елемента ) обавезно дели .

Десни косети су дефинисани аналогно: . Они су такође класе еквиваленције за одговарајућу релацију еквиваленције, и њихов ред је једнак .

Ако је за свако из , тада се каже да је нормална подгрупа. Свака подгрупа индекса 2 је нормална: леви и десни косети су једноставно подгрупа и њен комплемент.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Хилбертови простори и групе, Милан Дамњановић. pp. 30; приступљено: 1. септембар 2015.

Спољашње везе[уреди]