Полигонални број

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, полигонални број је број представљен у облику тачака или каменчића распоређених у облику правилног полигона. Тачке се сматрају алфама (јединицама). Ово је једна врста 2-димензионалних фигуралних бројева.

Дефиниција и примери[уреди]

Број 10, на пример, може бити представљен као троугао (види троугаони број):

*

**

***

****

Али 10 не може бити квадрат. Број 9, са друге стране, може (види квадратни број):

***

***

***

Неки бројеви, као 36, могу бити представљени и као квадрат и као троугао (види квадратни троугаони бројеви):

******

******

******

******

******

******

*

**

***

****

*****

******

*******

********

По конвенцији, 1 је први полигонални број за било који број страна. Правило за проширење полигона на следећу величину је да се продуже две суседне стране у једном тренутку и да затим додајете потребне додатне стране између тих тачака. У наредним дијаграмима, сваки додатни слој је приказан као црвени.

Троугаони бројеви[уреди]

Polygonal Number 3.gif

Квадратни бројеви[уреди]

Polygonal Number 4.gif

Полигонални бројеви са већим бројем страна, као што су пентагони и хексагони, могу такође бити конструисани према овом правилу, иако тачке неће формирати перфектно правилну решетку као горе.

Пентагонални бројеви[уреди]

Polygonal Number 5.gif

Хексагонални бројеви[уреди]

Polygonal Number 6.gif

Формула[уреди]

Ако је ѕ број страна полигона, формула за nth s-гонални број P(s,n) је

или

 nth s-гонални број је такође повезан са троугаоним бројем Tn на следећи начин:

Онда:

За дати ѕ-гонални број P(s,n) = x, можемо наћи n помоћу

Сваки хексагонални број је и троугаони број[уреди]

Примена горе наведене формуле:

за случај од 6 страна добијамо:

али како је:

следи да је:

Ово показује да је  хексагонални број, једнак троугаоном броју, . Можемо наћи сваки хексагонални број једноставним узимањем непарних троугаоних бројева:

1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

Табела вредности[уреди]

Првих 6 вредности у колони Збир реципрочних вредности, за троугаони до октагоналног броја, произлази из објављеног решења за општи проблем, који такође даје општу формулу за било који број страна, у темину дигама функције.[1]

s Име Формула н = 1 н = 2 н = 3 н = 4 н = 5 н = 6 н = 7 н = 8 н = 9 н = 10 Збир реципрочних бројева[1][2] ОЕИС број
3 Троугаони ½(n²+n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 [1] A000217
4 Квадрат n² = ½(2n² - 0n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 [1] A000290
5 Пентагонални ½(3n² - n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 [1] A000326
6 Хексагонални ½(4n² - 2n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 [1] A000384
7 Хептагонални ½(5n² - 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 [1] A000566
8 Октагонални ½(6n² - 4n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 [1] A000567
9 Нонагонални

(енегонални)

½(7n² - 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 A001106
10 Декагонални ½(8n² - 6n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 A001107
11 Хендекагонални ½(9n² - 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 A051682
12 Додекагонални ½(10n² - 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 A051624
13 Тридекагонални ½(11n² - 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 A051865
14 Тетрадекагонални ½(12n² - 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 A051866
15 Пентадекагонални ½(13n² - 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 A051867
16 Хексадекагонални ½(14n² - 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 A051868
17 Хептадекагонални ½(15n² - 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 A051869
18 Октадекагонални ½(16n² - 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 A051870
19 Енедекагонални ½(17n² - 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 A051871
20 Икосагонални ½(18n² - 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 A051872
21 Икосигенагонални ½(19n² - 17n) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 A051873
22 Икосидигонални ½(20n² - 18n) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 A051874
23 Икоситригонални ½(21n² - 19n) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 A051875
24 Икоситетрагонални ½(22n² - 20n) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 A051876
25 Икосипентагонални ½(23n² - 21n) 1 25 72 142 235 351 490 652 837 1045 A255184
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
10000 Мириагонални ½(9998n² - 9996n) 1 10000 29997 59992 99985 149976 209965 279952 359937 449920 A167149
Онлине Енциклопедија Целобројних Редова избегава термине користећи се грчким префиксима (нпр. „октагонални) уместо термина користећи бројеве (нпр. „8-гонални).

Својство ове табеле се може изразити наредним идентитетом (види A086270):

са

Комбинације[уреди]

Неки бројеви, као што је 36 који су и квадратни и троугаони, спадају у два полигонална сета. Проблем утврђивања, с обзиром на два таква сета, сви бројеви који припадају и квадратним и троугаоним могу се решити смањењем проблема Пеловом једначином. Најједноставнији пример овога је ред квадратних троугаоних бројева.
Следећа табела сумира сет с-гоналних т-гоналних бројева за мале вредности с и т.
с т Ред ОЕИС број
4 3 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ... A001110
5 3 1, 210, 40755, 7906276, … A014979
5 4 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ... A036353
6 3 Сви хексагонални бројеви су и троугаони. A000384
6 4 Непарни троугаони квадратни бројеви. A046177
6 5 1, 40755, 1533776805, … A046180
7 3 1, 55, 121771, 5720653, … A046194
7 4 1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, 729252434211108535809, 53306479301521270428241, 20744638830126197732344369, 1516379800105728357531817761, 110843467413344235941816109721, 43135613687078894324987720634481, 3153102533906718276539864534846601, … A036354
7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … A048900
7 6 1, 121771, 12625478965, … A048903
8 3 1, 21, 11781, 203841, … A046183
8 4 1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, … A036428
8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … A046189
8 6 1, 11781, 113123361, … A046192
8 7 1, 297045, 69010153345, … A048906
9 3 1, 325, 82621, 20985481, … A048909
9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, 4835857349623374369, 571178264921393749929, 4342594514813297471521, 512917445842648529510881, 3899645038444991506051689, 460599295188433458107021409, 3501876901929087559136945401, 413617654161767402731575714601, … A036411
9 5 1, 651, 180868051, … A048915
9 6 1, 325, 5330229625, … A048918
9 7 1, 26884, 542041975, … A048921
9 8 1, 631125, 286703855361, … A048924
10 3 1, 10, 1540, 1777555, 13773376, 2051297326, 15894464365, 2367195337045, 18342198104230, ...
10 4 1 и ниједан други.
11 4 1, 196, 29241, 1755625, 261468900, 38941102225, 2337990844401, 348201795147556, 51858411008887561, 3113535139359330841, ...
12 4 1, 64, 3025, 142129, 6677056, 313679521, 14736260449, 692290561600, 32522920134769, 1527884955772561, 71778070001175616, 3372041405099481409, 158414167969674450625, 7442093853169599697984, 349619996931001511354641, 16424697761903901433970161, 771611174812552365885242944, 36249300518428057295172448225, 1702945513191306140507219823649, 80002189819472960546544159263296, 3758399976002037839547068265551281, 176564796682276305498165664321646929, 8294787044090984320574239154851854400, 389678426275593986761491074613715509889, 18306591247908826393469506267689777110401, 860020110225439246506305303506805808678976, 40402638589347735759402879758552183230801489, 1898063993589118141445429043348445806038991025, 89168605060099204912175762157618400700601776704, ...
13 4 1, 36, 35721, 34999056, 896703025, 34291262041, 878568782400, 860801272542225, ...
14 4 1, 441, 14161, 4239481, 135978921, 40707501121, 1305669590281, 390873421529361, 12537039269904241, 3753166552817428201, ...
15 4 1, 3025, 5997601, 165148201, ...
16 4 1, 16, 400, 4225, 101761, ...
18 4 1, 100, 1936, 116281, 2235025, 134189056, 2579217796, 154854055225, 2976415102441, 178701445541476, 3434780449000000, ...
22 4 1, 729, 284089, 3900625, 15175959521, 590725976569, 8110813506601, 3156387347610225, 1228333148092290241, 16865317394711073289, 6563271907899976822281, 2554149271482890096235025, 35069100108493095964960369, ...
28 4 1, 81, 3136, 30625, ...
30 4 1, 203401, 1819801, 164024190001, 1467492382801, 132269434866199801, 1183388792474889001, 106662336814809228952801, 954287089027867949018401, 86012721732003522411131649001, 769539017165067381031862931001, 69360830830024442142566574789968401, 620557802518990379109828463337266801, 55932712702907357470917967521368968071001, 500419053066149340677758825111066761145801, ...
32 4 1, 1089, 9025, 4190209, 34680321, 16098788161, 133241790529, 61851539930625, 511914924538369, 237633600314679361, 1966777006834629441, 912988230557458180609, 7556356748343721780225, 3507700544168154015226689, 29031520660359572245001281, 13476584577705817169042764801, 111539094820744728221573147649, 51777034439845205395308287145025, 428533173269780585467711788272449, 198927352841300701422957270168427521, 1646424340163402188622220468969607681, 764278837839242855021796436678811396929, 6325561886374617938905985574069444444225, 2936359096051018207693040486762723218579969, ...
40 4 1, 576, 123201, ...
44 4 1, 256, 1521, 136161, 802816, 71757841, 423083761, 37816247296, 222964340481, ...
50 4 1, 5776, 30276, 55487601, 290736601, 532791965476, 2791652838976, 5115868397039401, 26805450269137401, 49122567815580389376, 257385930692604511876, 471674891049334501775401, 2471419679704938253922401, 4529022254733142070467037476, 23730571507140886421558408976, 43487671218272739111289992095601, 227860945140147111714865589091601, ...
64 4 1, 64, 625, 48400, 450241, ...
66 4 1, 1223236, 5107600, 1629005505625, 6801867425521, 2169369437921667136, 9058142076710164516, 2888979651650786027844601, ...
68 4 1, 400, 41616, 4289041, 17514225, ...
96 4 1, 14400, 46656, 132733441, 429940225, ...
128 4 1, 148225, 408321, 9563079681, 26342913025, 616952522883841, 1699486690978561, 39802075051765530625, 109640684355448463361, 2567791069272648920349441, 7073359108807915474785025, 165658473003253597395658798081, 456330689435993174584833131521, 10687290724764111513110882779540225, 29439718091200304556358009172652801, 689479873651773417153581894243599769601, 1899273972479365758712887429179690164225, ...
132 4 1, 784, 262144, 10597261249, 28731945025, ...
140 4 1, 1002001, 2637376, 1023640086001, ...
156 4 1, 18496, 288456256, ...

У неким случајевима, као када је с=10 и т=4, не постоје други бројеви у оба сета осим 1.

Проблем налажења бројева који припадају трима полигоналним сетовима је тежи. Компјутерско претраживање за пентагоналне квадратне троугаоне бројеве је избацило само тривијалну вредност 1, путем доказа да не постоје други бројеви који су се појавили у резултатима претраживања.[3]

Број 1225 је хекатоникоситетрагоналан (с=124), хексакотагоналан (с=60), икосиенегоналан (с=29), хексагоналан, квадратни и троугаони.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

Литература[уреди]

Спољашњи линкови[уреди]