Портал:Математика/Изабрани чланак

Јануар

Мало пи

Пи или π је математичка константа, данас широко примењивана у математици и физици. Њена приближна вредност је 3,14159, а дефинише се као однос обима и пречника круга или као однос површина круга и квадрата над његовим полупречником. Пи је такође познато и као Архимедова константа (не треба га мешати са Архимедовим бројем) или Лудолфов број. У пракси се бележи малим грчким словом π а у српском језику је правилно писати и пи. Ознака за број пи потиче од грчке речи периметар (περίμετρος). У математику ју је увео Вилијам Џоунс 1707. године, а популаризовао ју је Леонард Ојлер 1737.

Нумеричка вредност пи заокружена на 64 децимална места је:

π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923.

Пи је ирационалан број, што значи да се његова вредност не може изразити преко разломака. Због тога његов децимални запис нема краја и није периодичан. Пи је такође трансцендентан број, што значи да га није могуће изразити коришћењем коначног броја целих бројева уз четири основне рачунске операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) и кореновања. Током историје математике вршено је много покушаја да се што прецизније израчуна вредност броја пи и разуме његова природа.

Даље ...

Фебруар

Питагорина теорема: Збир површина квадрата конструисаних над катетама (a и b) једнак је површини квадрата над хипотенузом (c).

У математици, Питагорина теорема изражава везу која постоји између три странице правоуглог троугла у еуклидској геометрији. Ако су a и b катете, а c хипотенуза правоуглог троугла, важи једнакост

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

односно, исказано речима:

„ Квадрат над хипотенузом једнак је збиру квадрата над катетама. ”

Теорема је добила име према старогрчком математичару Питагори, за кога се, традиционално, сматра да ју је открио и доказао, иако је данас извесно да је била позната много пре Питагоре.

Питагорина теорема је једна од основних и најзначајнијих математичких теорема. Препознатљива слика правоуглог троугла са конструисаним квадратима над све три странице, коришћена за визуелни приказ самог тврђења, послужила је као основа за генерисање фрактала који се назива Питагорино дрво.

Даље ...

Март

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}l_{11}&0&0\\l_{21}&l_{22}&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{bmatrix}}$

У линеарној алгебри, LU декомпозиција или LU факторизација (од енглеских речи lower - доње и upper - горње) је декомпозиција матрице која записује матрицу као производ доње троугаоне и горње троугаоне матрице. Производ некада укључује и пермутациону матрицу. Ова декомпозиција се користи у нумеричкој анализи да се реши систем линеарних једначина или да се израчуна детерминанта матрице. LU декомпозиција семоже сматрати и као матрични облик Гаусове елиминације. LU декомпозицију је увео Алан Тјуринг.

Даље ...

Април

Портал:Математика/Изабрани чланак април

Мај

Портал:Математика/Изабрани чланак мај

Јуни

Портал:Математика/Изабрани чланак јун

Јули

Анимација Еуклидовог алгоритма за бројеве 252 и 105

У математици, Еуклидов алгоритам је ефикасан начин за одређивање највећег заједничког делиоца (НЗД) датих бројева. Алгоритам носи име по старогрчком математичару Еуклиду, који га је навео у VII и X књизи својих Елемената.

НЗД два броја је највећи број који истовремено дели оба без остатка. Еуклидов алгоритам је заснован на принципу да се највећи заједнички делилац два броја не мења уколико се мањи број одузме од већег, па се затим одреди НЗД новодобијеног броја и мањег од претходна два.

На пример, 21 је НЗД за 252 и 105 (252 = 21 × 12; 105 = 21 × 5); пошто је 252 − 105 = 147, НЗД за 147 и 105 је такође 21. Како је већи од два полазна броја на овај начин смањен, понављањем поступка добијаће се све мањи бројеви, док се један од њих не сведе на нулу. У том тренутку, други број је једнак највећем заједничком делиоцу два полазна броја.

Уколико се обрне редослед корака у Еуклидовом алгоритму, НЗД се може изразити као збир два полазна броја од којих је сваки помножен неким целим бројем, у претходном примеру је 21 = 5 × 105 + (−2) × 252. Ова важна особина је позната као Безуов идентитет.

Даље ...

Август

Портал:Математика/Изабрани чланак август

Септембар

Портал:Математика/Изабрани чланак септембар

Октобар

Портал:Математика/Изабрани чланак октобар

Новембар

Портал:Математика/Изабрани чланак новембар

Децембар

Графички приказ првих 15.000 парцијалних сума реда 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ...

У математици, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · је бесконачан ред који обухвата узастопне природне бројеве са наизменичним знацима. Сума првих $m$ чланова реда може да се напише као:

$1-2+3-4+\cdots +m(-1)^{m-1}=\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$

Овај бесконачни низ дивергира, што значи да редослед његових парцијалних сума (1, −1, 2, −2, …), не тежи ка крајњим границама. Међутим, средином 18. века, Леонард Ојлер је написао следеће, што је касније окарактерисао као парадоксално:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}\!\,.$

Математичка метода која би објаснила ову једначину, развијена је много касније. Почев од 1890. године, Ернесто Чезаро, Емил Борел и други математичари испитивали су постојеће методе за одређивање суме дивергентних редова — укључујући и нова тумачења Ојлерових покушаја. Коришћењем многих од ових метода за израчунавање суме реда 1 − 2 + 3 − 4 + · · · довело је до коначног резултата који је износио ¹⁄₄.

Даље ...