Седмоугао

Правилни седмоугао

У геометрији, седмоугао је многоугао са седам темена и седам страница.

Правилни седмоугао

Правилни седмоугао је седмоугао код кога су све странице једнаке дужине и сви унутрашњи углови једнаки.
Сваки унутрашњи угао правилног седмоугла има приближно 128,57° (степени), а збир свих унутрашњих углова било ког седмоугла износи 900°.

Ако му је основна страница дужине $t\,\!$, површина правилног седмоугла се одређује формулом
$P={\frac {7t^{2}}{4}}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{7}}\approx 3.63391t^{2}$.
Површина се може израчунати и са
$P={\frac {7}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{7}}=7r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{7}}$
где је $R$ - полупречник описаног круга, а $r$ - полупречник уписаног круга.
Обим правилног седмоугла коме је страница дужине $t\,\!$ биће једнак $7t\,\!$ односно $14R\sin {\frac {\pi }{7}}$ или $7r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } {\frac {\pi }{7}}$.

Конструкција

Правилни седмоугао се не може конструисати уз помоћ лењира и шестара.
Гаус је 1796. доказао да је правилан n-тоугао могуће конструисати уз помоћ лењира и шестара само када је $n$ прост број облика $2^{p}+1$, где је $p=2^{k}$, за $k=0,1,2,...$. Како је број 7 прост број који није таквог облика, конструкција правилног седмоугла није могућа.

Приказ конструкције унутрашњег угла у правилном седмоуглу уз помоћ означеног лењира

Конструкцију је могуће извести уз помоћ означеног лењира и шестара, али се она не прихвата као математички коректна, а такође постоји и неколико приближних конструкција уз помоћ лењира и шестара.

Где се може видети седмоугао

Неке кованице које се данас користе у Уједињеном краљевству, као и неке кованице Европске уније имају модификовани облик правилног седмоугла зато што такви новчићи карактеристичног облика лако могу да се препознају само чулом додира, а са друге стране, имају неочекивану особину да, иако немају облик круга, имају све пречнике једнаких дужина, па се могу користити у апаратима који раде на новац.

• Кованица од 20 центи има модификовани облик правилног седмоугла.
  Кованица од 20 центи има модификовани облик правилног седмоугла.

Види још

• Хептаграм

Спољашње везе

• Седмоугао на Mathworld
• Дефиниција и особине седмоугла, са интерактивном анимацијом
• Неколико приближних конструкција правилног седмоугла