Фибоначијеви полиноми

Фибоначијеви полиноми дефинишу се следећом рекурзијом:

$F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}$

Сматрају се генерализацијом Фибоначијевога низа.

Својства и Лукасови полиноми

Генерирајућа функција Фибоначијевих полинома је:

$\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}.$

Првих неколико Фибоначијевих полинома:

$F_{0}(x)=0\,$

$F_{1}(x)=1\,$

$F_{2}(x)=x\,$

$F_{3}(x)=x^{2}+1\,$

$F_{4}(x)=x^{3}+2x\,$

$F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,$

$F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,$

Лукасови полиноми користе исту рекурзију, али са нешто другачијим почетним вредностима: $L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{ako }}n=0\\x,&{\mbox{ako }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{ako }}n\geq 2.\end{cases}}$

Генерирајућа функција Лукасових полинома је:

$\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.$

Првих неколико Лукасових полинома је:

$L_{0}(x)=2\,$

$L_{1}(x)=x\,$

$L_{2}(x)=x^{2}+2\,$

$L_{3}(x)=x^{3}+3x\,$

$L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,$

$L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,$

$L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,$

Постоје и друга својства тих полинома:

$F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,$

$L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,$

$F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,$

$F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,$

Комбинаторна интерпретација

Уз помоћ полудијагонала Паскаловога троугла могу да се ичитају Фибоначијеви бројеви (црвено означени). Они представљају суму бројева на полудијагонали.

Ако је F(n,k) коефицијент од x^k у F_n(x), тако да је:

$F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,$

онда F(n,k) представља број начина на који се може добити n−1 сумом само помоћу 1 и 2, а при томе се 1 користи к пута. Тако је нпр. F(6,3)=4, јер се 5 може добити на 4 начина:1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1 и 2+1+1+1.

На основу тога следи да је F(n,k) једнак биномном коефицијенту:

$F(n,k)={\binom {\tfrac {n+k-1}{2}}{k}}$

Уз помоћ те релације Фибоначијеви бројеви могу да се очитаваку из Паскаловога троугла.

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
• Фибоначијеви полиноми
• Лукасови полиноми