Теорија група

Теорија група је грана математике која се бави проучавањем група. Групе су скупови са операцијом. Операција у групи мора да задовољава затвореност, и да има следећа три додатна својства:

1. Операција мора да буде асоцијативна.
2. Мора постојати неутрал.
3. Сваки елемент мора имати одговарајући инверзан елемент.

Теорија група се користи широм математике а има и примене у физици и хемији. Групе могу бити коначне или бесконачне. Класификација коначних простих група, завршена 1983, је једно од већих математичких достигнућа 20. века.

Примене теорије група

У важније примене теорије група спада и следеће:

• Групе се често користе да ухвате унутрашњу симетрију других структура. Унутрашња симетрија структуре је обично повезана са инваријантним својством; скуп трансформација које очувавају ово инваријантно својство, заједно са операцијом композиције трансформација чини групу коју називамо симетричном групом . Види и аутоморфизам група.

• Теорија Галоа, која је историјско извориште концепта групе, користи групе да опише симетрије једначина које задовољавају нуле полинома. Решиве групе су тако назване због њихове важне улоге у овој теорији. Теорија Галоа је испрва коришћена да докаже да полиноми петог и виших степена не могу (у општем случају) бити решени у затвореној форми на начин на који полиноми нижег степена могу.

• Абелове групе, које захтевају и својство комутативности $a\cdot b=b\cdot a$, леже у основи неколико других структура које се проучавају у апстрактној алгебри, као што су прстени, поља и модули.

• У алгебарској топологији, групе се користе да опишу инваријанте тополошких простора. Оне се називају инваријантама јер су дефинисане на такав начин да се не мењају ако се простор подвргне некој деформацији.

• Концепт Лијевих група (добио име по математичару Софус Лие) је важан у проучавању диференцијалних једначина и многострукости; оне комбинују анализу и теорију група и то их чини одговарајућим објектима за описивање симетрија аналитичких структура. Анализа на овим и другим групама се зове хармоничка анализа.

• Разумевање теорије група је такође важно у физици и хемији. У физици, групе су важне јер описују симетрије за које изгледа да их поштују закони физике. Физичари су врло заинтересовани за репрезентације група, посебно Лијевих група, јер ове репрезентације често указују на могуће физичке теорије.

• У хемији, групе се користе да класификују кристалне структуре, регуларне полиедре и симетрије молекула. Теорија група помаже у одређивању физичких својстава (као што су поларност и хиралност), спектроскопских својстава, и у конструисању молекуларних орбитала.

• Теорија група има широку примену у криптографији. Врло велике групе простог реда се конструишу дефинисањем елиптичких кривих над коначним пољима.