Формула Брамагупте

у геометрији, формула Брамагупте даје површину било ког четвороугла ако су му познате све странице и неки углови. У свом најпознатијем облику користи се за одређивање површине четвороугла који се може уписати у круг.

Основни облик

У свом основном облику, који је налакши за памћење, формула Брамгупте даје површину тетивног четвороугла са страницама a, b, c, d у облику

$P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

где је s, полуобим четвороугла, одређен са

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

Површина тетивног четвороугла је највећа могућа површина коју може да има четвороугао са све четири задате странице.

Доказ формуле

Датотека:Tetivni.PNG

Тетивни четвороугао

Површина четвороугла $ABCD$ може се израчунати као збир површина $\triangle ADB$ и $\triangle BDC$

$P={\frac {1}{2}}ad\sin \alpha +{\frac {1}{2}}bc\sin \gamma .$

Како је $ABCD$ тетивни четвороугао, $\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB$, па је $\sin \alpha =\sin \gamma$. Одатле је

$P={\frac {1}{2}}ad\sin \alpha +{\frac {1}{2}}bc\sin \alpha$

$P^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}\alpha (ad+bc)^{2}$

$4P^{2}=(1-\cos ^{2}\alpha )(ad+bc)^{2}\,$

$4P^{2}=(ad+bc)^{2}-cos^{2}\alpha (ad+bc)^{2}.\,$

Ако се примени косинусна теорема на $\triangle ADB$ и $\triangle BDC$ и помоћу ње се изрази дијагонала $DB,$, добија се

$a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma .\,$

Пошто су углови $\alpha$ и $\gamma$ суплементни, важи $\cos \gamma =-\cos \alpha$ па ће бити

$2\cos \alpha (ad+bc)=a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}.\,$

Када се добијена једнакост уврсти у израз за површину, биће

$4P^{2}=(ad+bc)^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}$

$16P^{2}=4(ad+bc)^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2},\,$

Уколико се израз растави коришћењем формуле за разлику квадрата:

$16P^{2}=(2(ad+bc)+a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})(2(ad+bc)-a^{2}-d^{2}+b^{2}+c^{2})\,$

$=((a+d)^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-(a-d)^{2})\,$

$=(a+d+b-c)(a+d+c-b)(a+b+c-d)(d+b+c-a).\,$

Ако се полуобим означи са $s={\frac {a+b+c+d}{2}},$ и то се уврсти у претходни корак:

$16P^{2}=16(s-a)(s-d)(s-b)(s-c).\,$

Коначна формула се добија кореновањем последње једнакости:

$P={\sqrt {(s-a)(s-d)(s-b)(s-c)}}.$

Уопштење формуле

У случају да четвороугао није тетиван, формула Брамагупте се може уопштити узимањем у обзир величина два наспрамна угла четвороугла:

$P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}$

где је угао θ једнак половини њиховог збира. Овде није важно која два угла ће се бити изабрана, јер је полузбир величина друга два угла у четвороуглу допуна угла θ до опруженог угла. Како је cos(180° − θ) = −cosθ, биће cos²(180° − θ) = cos²θ.

Овај облик се понекад назива Бретшнајдерова формула, али постоје извори према којима је овај облик формуле дао Кулиџ, док је Бретшнајдерова формула била

$P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,$

где су p и q дужине дијагонала четвороугла.

Како је особина тетивног четвороугла да збир наспрамних углова има 180°, угао θ у горњој формули ће имати 90°, па је други елемент под кореном једнак

$abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}90^{\circ }=abcd\cdot 0=0,\,$

одакле следи основни облик Брамагуптине формуле.

Сродне формуле

Херонова формула за површину троугла је специјалан случај формуле Брамагупте који се добија ако се узме да је d = 0.

Однос између основне формуле Брамгупте и њеног уопштења је сличан ономе између Питагорине теореме и косинусне теореме.

Спољашње везе

• Формула Брамагупте на сајту wolfram.com
• Доказ формуле на сајту planetmath.org