Бернулијеви бројеви — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Нема описа измене |
|||
Ред 52: | Ред 52: | ||
==Својства== |
==Својства== |
||
Ојлер-Маклоренова формула, која се користи за асимптотска рачунања интеграла приказана је помоћу Бернулијевих бројева: |
|||
*<math>x\;\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi</math> |
*<math>x\;\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi</math>. |
||
*<math>\operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2</math>. |
*<math>\operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2</math>. |
||
* [[Леонард Ојлер]] је нашао везу између Бернулијевих бројева и [[Риманова зета-функција|Риманове зета-функције]] ζ(''s'') за парне ''s'' = 2''k'': |
* [[Леонард Ојлер]] је нашао везу између Бернулијевих бројева и [[Риманова зета-функција|Риманове зета-функције]] ζ(''s'') за парне ''s'' = 2''k'': |
||
Ред 60: | Ред 61: | ||
Осим тога Бернулијеви бројеви повезани су и са следећим интегралом: |
Осим тога Бернулијеви бројеви повезани су и са следећим интегралом: |
||
* <math>\int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots.</math> |
* <math>\int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots.</math> |
||
==Литература== |
==Литература== |
||
* -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720}- |
* -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720}- |
Верзија на датум 18. август 2012. у 00:22
Један корисник управо ради на овом чланку. Молимо остале кориснике да му допусте да заврши са радом. Ако имате коментаре и питања у вези са чланком, користите страницу за разговор.
Хвала на стрпљењу. Када радови буду завршени, овај шаблон ће бити уклоњен. Напомене
|
Бернулијеви бројеви представљају низ рационалних бројева, које је открио Јакоб Бернули, а везани су за суму:
Неколико првих Бернулијевих бројева дано је табелом:
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Bn | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Генерирајућа функција
за
Рекурзивна формула
Својства
Ојлер-Маклоренова формула, која се користи за асимптотска рачунања интеграла приказана је помоћу Бернулијевих бројева:
- .
- .
- Леонард Ојлер је нашао везу између Бернулијевих бројева и Риманове зета-функције ζ(s) за парне s = 2k:
- Одатле следи:
- за све n.
Осим тога Бернулијеви бројеви повезани су и са следећим интегралом:
Литература
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
- Бернулијеви бројеви