Подгрупа (математика)

У теорији група, за дату групу G у односу на бинарну операцију *, кажемо да је неки подскуп H од G подгрупа од G ако H такође гради групу у односу на операцију *. Прецизније, H је подгрупа G ако је рестрикција * на H операција групе на H.

Права погрупа групе G је подгрупа H, која је прави подскуп од G (т. ј. H ≠ G). Тривијална подгрупа било које групе је подгрупа {e} која се састоји само од неутрала. Ако је H подгрупа од G, понекад се каже да је G надгрупа од H.

Исте дефиниције важе у општијем облику када је G произвољна полугрупа, али овај чланак се бави само подгрупама група. Група G се понекад означава уређеним паром (G,*), обично да нагласи операцију * када G носи више алгебарских или других структура.

У остатку чланка ћемо користити уобичајену конвенцију изостављања симбола * и писања производа a*b једноставно као ab.

Основна својства подгрупа

• H је подгрупа групе G ако и само ако је непразна и затворена за производ и инверзе. (Затвореност значи следеће: кад год су a и b унутар H, тада је и ab и a⁻¹ су такође унутар H. Ова два услова могу да се споје у један еквивалентан услов: кад год су a и b унутар H, тада је и ab⁻¹ унутар H.) У случају када је H коначно, тада је H подгрупа ако и само ако је H затворено у односу на производе. (У овом случају, сваки елемент a из H генерише коначну цикличну подгрупу од H, и инверз од a је тада a⁻¹ = a^{n − 1}, где је n ред од a.
• Горњи услов се може изрећи у терминима хомоморфизама; то јест, H је подгрупа групе G ако и само ако је H подскуп од G и постоји инклузиони хомоморфизам (т. ј., i(a) = a за свако a) из H у G.
• Неутрал подгрупе је неутрал групе: ако је G група са неутралом e_G, и H је подгрупа од G са неутралом e_H, тада је e_H = e_G.
• Инверз елемента подгрупе је инверз елемента групе: ако је H подгрупа од G, и a и b су елементи из H, такви да ab = ba = e_H, тада ab = ba = e_G.
• Пресек подгрупа A и B групе G је такође подгрупа. Унија A и B је подгрупа ако и само ако или A садржи B или обратно, јер на пример 2 и 3 су у унији 2Z и 3Z али њихова сума 5 није.
• Ако је S подскуп од G, тада постоји минимална подгрупа која садржи S, која се може наћи узимањем пресека свих подгрупа које садрже S; ово се означава са <S> и назива се подгрупом генерисаном са S. Елемент из G је унутар <S> ако и само ако је коначан производ елемената S и њихових инверза.
• Сваки елемент a из групе G одређује (генерише) цикличну подгрупу <a>. Ако је <a> изоморфно са Z/nZ за неки позитиван цео број n, онда је n најмањи позитиван цео број за који aⁿ = e, и n се назива редом од a. Ако је <a> изоморфно са Z, тада се каже да је a бесконачног реда.

Пример

Нека је G Абелова група чији су елементи

G={0,2,4,6,1,3,5,7}

и чија је операција групе сабирање по модулу осам. Њена Кејлијева табела је

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Ова група има пар нетривијалних подгрупа: J={0,4} и H={0,2,4,6}, где је J такође подгрупа од H. Кајлијева табела за H је горњи леви квадрант Кајлијеве табеле за G. Група G је циклична, па су и њене подгрупе цикличне. Уопштено, подгрупе цикличних група су цикличне..

Косети и Лагранжова теорема

Ако је дата подгрупа H и неко a из G, дефинишемо леви косет aH = {ah : h из H}. Како је a инверзибилно, пресликавање φ : H → aH дефинисано као φ(h) = ah је бијекција. Штавише, сваки елемент из G се налази у тачно једном левом косету од H; леви косети су класе еквиваленције у односу на релацију еквиваленције a₁ ~ a₂ ако и само ако је a₁⁻¹a₂ у H. Број левих косета H се назива индексом H у G, и означава се са [G : H].

Лагранжова теорема гласи да за коначну групу G и њену подгрупу H,

$[G:H]={o(G) \over o(H)}$

где red(G) и red(H) означавају редове од G и H. Ред сваке подгрупе од G (и ред сваког елемента G) обавезно дели red(G).

Десни косети су дефинисани аналогно: Ha = {ha : h у H}. Они су такође класе еквиваленције за одговарајућу релацију еквиваленције, и њихов ред је једнак [G : H].

Ако је aH = Ha за свако a из G, тада се каже да је H нормална подгрупа. Свака подгрупа индекса 2 је нормална: леви и десни косети су једноставно подгрупа и њен комплемент.