Правоугаоник

С Википедије, слободне енциклопедије
Правоугаоник
Rectangle Geometry Vector.svg
Правоугаоник
Типчетвороугао, трапез, паралелограм, ортотоп
Ивице и темена4
Симбол Шлефли{ } × { }
Дијаграм КокстераCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Симетрична групаДиедрална (D2), [2], (*22), order 4
Двоструки многоугаоромб
Својстваконвексан, изогоналан, цикличан Супротни углови и странице су подударни
Правоугаоник. Странице су му a и b, дијагонала је означена са d, а темена су му A, B, C и D

Правоугаоник је четвороугаона геометријска фигура у равни. Спада у класу паралелограма, а следећа два правила важе за сваки правоугаоник: наспрамне странице су по дужини једнаке и паралелне, и суседне странице су нормалне једна на другу (заклапају угао од 90°). Тачан изглед једног правоугаоника је одређен његовом ширином (означено са a на слици десно) и његовом дужином (означено са b на слици десно). Специјалан случај правоугаоника коме су све странице једнаке се назива квадрат.[1][2][3]

Реч правоугаоник потиче од латинског rectangulus, што је комбинација rectus (као придев, усправан, прав) и angulus (угао).

Укрштени правоугаоник је самопресецајући четвороугао који се састоји од две супротне странице правоугаоника заједно са две дијагонале[4] (дакле, само две странице су паралелне). То је посебан случај антипаралелограма, а његови углови нису прави углови и нису сви једнаки, иако су супротни углови једнаки. Друге геометрије, као што су сферна, елиптична и хиперболичка, имају такозване правоугаонике са супротним страницама једнаке дужине и једнаким угловима који нису прави углови.

Карактеризације[уреди | уреди извор]

Конвексни четвороугао је правоугаоник ако и само ако важи једно од следећег:[5][6]

  • паралелограм са најмање једним правим углом
  • паралелограм са дијагоналама једнаке дужине
  • паралелограм ABCD где су троуглови ABD и DCA подударни[7]
  • једнакоугаони четвороугао
  • четвороугао са четири права угла
  • четвороугао где су две дијагонале једнаке по дужини и деле једна другу на пола[8]
  • конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина .[9]:fn.1
  • конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина [9]

Формуле[уреди | уреди извор]

  • Површина правоугаоника је P = ab
  • Обим правоугаоника је O = 2(a+b)
  • Полуобим правоугаоника је S = (a+b)
  • Углови између страница и дијагонала: φ1 = arctg(b/a) и φ1 = arctg(a/b); φ1 + φ2 = π/2.
  • Углови између дијагонала Θ1 = π - 2φ1 и Θ2 = π - 2φ2; Θ1 + Θ2 = π
  • r (полупречник описане кружнице) : r =

Дијагонала правоугаоника[уреди | уреди извор]

Дијагонала правоугаоника је дуж која спаја два његова темена која немају ни једну заједничку страницу. Правоугаоник има тачно две дијагонале, и оне су једнаких дужина:

Конструкције правоугаоника[уреди | уреди извор]

Две странице[уреди | уреди извор]

Дате су дужине страница a и b. Једно решење:

  1. Конструисати дуж AB дужине a.
  2. У тачки A, нормално на AB, конструисати дуж AD дужине b.
  3. Повући дуж DB.
  4. Симетрала тачке A у односу на средиште DB ће бити C.

Уместо корака 3 и 4 може се конструисати дуж BC, дужине a и нормална на AC, тако да угао ABC буде математички негативно оријентисан.

Страница и угао између ње и дијагонале[уреди | уреди извор]

Претпоставимо да су дати страница AB и угао α.

  1. Конструисати дуж AB
  2. Из тачке A конструисати полуправу s која са AB заклапа угао α, тако да је угао BAs позитивно оријентисан.
  3. Из тачке B конструисати нормалу н на AB.
  4. Пресек n и s обележити као C.
  5. У A конструисати полуправу n1 нормалну на AB, тако да је угао ABn1 позитивно оријентисан
  6. У A конструисати круг k полупречника BC.
  7. Пресек n1 и kје D.

Уколико су дати страница AB и угао β између друге странице ње и дијагонале, угао α је једнак 90° - β.

Страница и дијагонала[уреди | уреди извор]

Ако су дате странца, на пример AB, и дужина дијагонале правоугаоника d, конструкција има следећи ток:

  1. Конструисати дуж дужине d и назвати јој темена A и C.
  2. Конструисати круг k1 који за пречник има дуж AC.
  3. У тачки A конструисати круг k2 полупречника AB.
  4. Круг k2 ће сећи k1 у две тачке. Једна од ове две треба да добије име B тако да је угао ABC негативно математички оријентисан
  5. Од B треба повући полуправу кроз средиште AC. Пресек ове полуправе са кругом k1 ће бити тачка D.

Остали правоугаоници[уреди | уреди извор]

Седласти правоугаоник има 4 непланарна врха, наизменично од врхова квадра, са јединственом минималном унутрашњошћу површине дефинисаном као линеарна комбинација четири темена, стварајући површину седла. Овај пример приказује 4 плаве ивице правоугаоника и две зелене дијагонале, а све су дијагонале кубоидних правоугаоних лица.

У сферној геометрији, сферни правоугаоник је фигура чије су четири ивице велики кружни лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини. Површина сфере у еуклидској чврстој геометрији је нееуклидска површина у смислу елиптичке геометрије. Сферна геометрија је најједноставнији облик елиптичке геометрије.

У елиптичкој геометрији, елиптични правоугаоник је фигура у елиптичној равни чије су четири ивице елиптични лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.

У хиперболичној геометрији, хиперболички правоугаоник је фигура у хиперболичној равни чије су четири ивице хиперболички лукови који се састају под једнаким угловима мањим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.

Теселације[уреди | уреди извор]

Правоугаоник се користи у многим периодичним обрасцима теселације, у зидању, на пример, овим плочицама:

Stacked bond.png
Наслагана веза
Wallpaper group-cmm-1.jpg
Текућа веза
Wallpaper group-p4g-1.jpg
Плетена кошара
Basketweave bond.svg
Плетена кошара
Herringbone bond.svg
Патерн рибље кости

Квадратни, савршени и други поплочани правоугаоници[уреди | уреди извор]

Савршен правоугаоник реда 9

За правоугаоник поплочан квадратима, правоугаоницима или троугловима се каже да је правоугаоник „квадратни“, „правоугаони“ или „троугаони“. Поплочани правоугаоник је савршен[10][11] ако су плочице сличне и ограниченог броја и нема две плочице исте величине. Ако су две такве плочице исте величине, плочица је несавршена. У савршеном (или несавршеном) троуглом правоугаонику троуглови морају бити правоугли. База података свих познатих савршених правоугаоника, савршених квадрата и сродних облика може се наћи на squaring.net.[12] Најмањи број квадрата који је потребан за савршено поплочавање правоугаоника је 9,[13] а најмањи број потребан за савршено поплочавање квадрата је 21, пронађен 1978. компјутерском претрагом.[14]

Правоугаоник има самерљиве странице ако и само ако је поплочан коначним бројем неједнаких квадрата.[10] Исто важи и ако су плочице неједнаки једнакокраки правоугли троуглови.

Поплочавање правоугаоника другим плочицама које су привукле највећу пажњу су оне конгруентним неправоугаоним полиомима, дозвољавајући све ротације и рефлексије. Постоје и поплочавања конгруентним полиаболима.[15][16][17]

Јуникод[уреди | уреди извор]

  • U+25AC ▬ Црни правугаоник
  • U+25AD ▭ Бели правугаоник
  • U+25AE ▮ Црни вертикални правоугаоник
  • U+25AF ▯ Бели вертикални правоугаоник

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ „Archived copy” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) на датум 2014-05-14. Приступљено 2013-06-20. 
  2. ^ Definition of Oblong. Mathsisfun.com. Retrieved 2011-11-13.
  3. ^ Oblong – Geometry – Math Dictionary. Icoachmath.com. Retrieved 2011-11-13.
  4. ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). „Uniform polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. The Royal Society. 246 (916): 401—450. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183. doi:10.1098/rsta.1954.0003. 
  5. ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 ISBN 1-59311-695-0.
  6. ^ Owen Byer; Felix Lazebnik; Deirdre L. Smeltzer (19. 8. 2010). Methods for Euclidean Geometry. MAA. стр. 53—. ISBN 978-0-88385-763-2. Приступљено 2011-11-13. 
  7. ^ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures” (PDF). Addison-Wesley. стр. 167. Архивирано из оригинала на датум 29. 10. 2013. Приступљено 2. 6. 2017. 
  8. ^ Gerard Venema, "Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra", MAA, 2013, p. 56.
  9. ^ а б Josefsson Martin (2013). „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 17—21. 
  10. ^ а б R.L. Brooks; C.A.B. Smith; A.H. Stone; W.T. Tutte (1940). „The dissection of rectangles into squares”. Duke Math. J. 7 (1): 312—340. doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9. 
  11. ^ J.D. Skinner II; C.A.B. Smith; W.T. Tutte (новембар 2000). „On the Dissection of Rectangles into Right-Angled Isosceles Triangles”. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 80 (2): 277—319. doi:10.1006/jctb.2000.1987Слободан приступ. 
  12. ^ squaring.net
  13. ^ Sloane, N. J. A. (ур.). „Sequence A219766 (Number of nonsquare simple perfect squared rectangles of order n up to symmetry)”. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  14. ^ „Squared Squares; Perfect Simples, Perfect Compounds and Imperfect Simples”. www.squaring.net. Приступљено 2021-09-26. 
  15. ^ Gardner, Martin (јун 1967). „The polyhex and the polyabolo, polygonal jigsaw puzzle pieces”. Scientific American. 216 (6): 124—132. 
  16. ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2nd ed.). Princeton University Press. стр. 101. ISBN 0-691-02444-8. 
  17. ^ Goodman, Jacob E.; O'Rourke, Joseph, ур. (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC. стр. 349. ISBN 1-58488-301-4. 

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]