Празан скуп

Празан скуп је скуп који не садржи елементе.

У математици, и њеној области теорији скупова, празан скуп је јединствен скуп који не садржи елементе. У аксиоматској теорији скупова, постојање празног скупа је постулирано аксиомом празног скупа.

Разна својства скупова тривијално важе за празан скуп.

Нотација

Празан скп се означава симболом $\varnothing$ или $\emptyset$, што долази од слова Ø из данског и норвешког алфабета. Симбол је увео Бурбаки (Андре Вајл) 1939. године. Још једна уобичајена нотација за празан скуп је {}.

Својства

• За сваки скуп A, празан скуп је подскуп од A:

  ∀A: ∅ ⊆ A

• За сваки скуп A, унија A и празног скупа је једнака A:

  ∀A: A ∪ ∅ = A

• За сваки скуп A, пресек A са празним скупом је празан скуп:

  ∀A: A ∩ ∅ = ∅

• За сваки скуп A, Декартов производ A и празног скупа је празан:

  ∀A: A × ∅ = ∅

• Једини подскуп празног скупа је сам празан скуп:

  ∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅

• Број елемената празног скупа (то јест његова кардиналност) је нула; празан скуп је коначан скуп:

  |∅| = 0

• За свако својство:
  • за сваки елемент ∅ својство важи
  • не постоји елемент ∅ за који својство важи
• Обрнуто: ако за неко својство следећа два тврђења важе:
  • за сваки елемент V својство важи
  • не постоји елемент V за који својство важи

онда V = ∅

У теорији скупова, два скупа су једнака ако имају исте елементе; стога може да постоји само један празан скуп.

Ако се посматра као подскуп реалне бројевне праве (или општије било ког тополошког простора), празан скуп је и затворен и отворен. Све његове граничне тачке (којих нема) су унутар празног скупа, и стога је он затворен; док за сваку његову тачку (којих нема), постоји отворена околина у празном скупу, и скуп је стога отворен.