Празан скуп
У математици, и њеној области теорији скупова, празан скуп је јединствен скуп који не садржи елементе. У аксиоматској теорији скупова, постојање празног скупа је постулирано аксиомом празног скупа.
Разна својства скупова тривијално важе за празан скуп.
Нотација[уреди | уреди извор]
Празан скп се означава симболом или , што долази од слова Ø из данског и норвешког алфабета. Симбол је увео Бурбаки (Андре Вајл) 1939. године[1]. Још једна уобичајена нотација за празан скуп је {}.
Својства[уреди | уреди извор]
- За сваки скуп A, празан скуп је подскуп од A:
- ∀A: ∅ ⊆ A
- За сваки скуп A, унија A и празног скупа је једнака A:
- ∀A: A ∪ ∅ = A
- За сваки скуп A, пресек A са празним скупом је празан скуп:
- ∀A: A ∩ ∅ = ∅
- За сваки скуп A, Декартов производ A и празног скупа је празан:
- ∀A: A × ∅ = ∅
- Једини подскуп празног скупа је сам празан скуп:
- ∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
- Број елемената празног скупа (то јест његова кардиналност) је нула; празан скуп је коначан скуп:
- |∅| = 0
- За свако својство:
- за сваки елемент ∅ својство важи
- не постоји елемент ∅ за који својство важи
- Обрнуто: ако за неко својство следећа два тврђења важе:
- за сваки елемент V својство важи
- не постоји елемент V за који својство важи
- онда V = ∅
У теорији скупова, два скупа су једнака ако имају исте елементе; стога може да постоји само један празан скуп.
Ако се посматра као подскуп реалне бројевне праве (или општије било ког тополошког простора), празан скуп је и затворен и отворен. Све његове граничне тачке (којих нема) су унутар празног скупа, и стога је он затворен; док за сваку његову тачку (којих нема), постоји отворена околина у празном скупу, и скуп је стога отворен.
Извори[уреди | уреди извор]
- ^ Најраније употребе симбола у теорији скупова и логици, Приступљено 23. 4. 2013.