Прекиди функције

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математичкој анализи, за функцију кажемо да има прекид у некој тачки x0 ако није непрекидна у x0.

Функцију која има прекид можемо замислити тако да када цртамо њен график, морамо подићи оловку са папира да би нацртали цео график. Ово објашњење треба схватити строго интуитивно, јер се и график неких непрекидних функција црта са подизањем оловке.


Функција са прекидом[уреди]

Функција f: X \rightarrow \mathbb{R} је непрекидна у тачки x_0 \in X, ако је:

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in X)(|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon)


Негацијом ове дефиниције добијамо: Функција f: X \rightarrow \mathbb{R} има прекид у тачки x_0 \in X, ако је:

(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in X)(|x - x_0| < \delta \and |f(x) - f(x_0)| \ge \varepsilon)


Врсте прекида[уреди]

Дефиниција: Постоје две врсте прекида:

1. Прекид прве врсте:

  • Када постоје коначне граничне вредности \lim_{x \rightarrow x_0 +}{f(x)} и \lim_{x \rightarrow x_0 -}{f(x)}.
  • Када је тачка x_0 тачка нагомилавања једног од скупова x \in X, x > x_0 или x \in X, x < x_0 и постоји одговарајући од та два лимеса  \lim_{x \rightarrow x_0 +} f(x) и  \lim_{ x \rightarrow x_0 -} f(x).

Специјално, прекид прве врсте је отклоњив када је \lim_{x\rightarrow x_0 +} f(x) = \lim_{ x \rightarrow x_0 -} f(x) = \lim_{ x \rightarrow x_0} f(x).

2. Прекид друге врсте:

  • Ако није прве врсте.

Отклоњив (привидан) прекид[уреди]

Отклоњив, тј. привидан, прекид јавља се у првом случају, односно када је \lim_{x\rightarrow x_0 +} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0 -} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)  = L, L \ne f(x_0).

Као што и назив прекида каже, можемо га отклонити, тј. додефинисати функцију, тако да она буде непрекидна. То можемо тако што ћемо дефинисати нову функцију  g(x) :

 g(x) = 
    \begin{cases} 
        f(x), & x\in X, x \ne x_0 \\
        L, & x = x_0
    \end{cases}

Напомена[уреди]

Како би се избегло могућу грешку, када се за функцију која у тачки x_0 има граничне вредности, и оне су једнаке, а у самој тој тачки функција није дефинисана, тврди да има прекид у тој тачки, треба водити рачуна о томе да функција не може имати прекид у тачки у којој није дефинисана, односно у тачки која не припада њеном домену.

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

Види још[уреди]