Прост број

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot
Прости бројеви су природни бројеви већи од један који нису производи два мања броја.

Прост број је природан број већи од 1, дељив само бројем 1 и самим собом. Прости бројеви су, на пример:[1] 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,... Број је нерастављив број ако важи: . Број је прост број ако важи: дели дели или дели . Лако се може показати да ако је број прост онда је и нерастављив и обрнуто, тј. то су два еквивалентна појма. Особине простих бројева изучава област која се зове теорија бројева. Број који поред 1 (јединице) има још делилаца се назива сложен број. То је појам супротан простом, у смислу дељивости. Синоним за прост број је прим број.

Дефиниција[уреди]

, је прост број

Природни број (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) се зове прост број, ако је већи од 1 и ако се не може записати као производ два природна броја која су мања од њега. Бројеви већи од 1 који нису прости бројеви се зову сложеним бројевима.[2] Другим речима, је прост, ако се ставки не може поделити на мање групе једнаке величине са више од једне ставке,[3] или ако није могуће организовати тачки на правоугаоној решетци тако да је више од једне тачке широка или више од једне тачке висока.[4] На пример, међу бројевима од 1 до 6, бројеви 2, 3, и 5 су прости бројеви,[5] јер нема других бројева који их равномерно деле (без остатка). Исто тако, број 12 није прост, јер се 12 може поделити у 3 колоне по 4 елемента. Број 11 се може сместити само у једну или 11 колона од по 11 односно 1 елеменат, тј 11 је прост број.

Из наведеног се види да су природни бројеви подељени у три класе.

  • Број 1
  • Прости бројеви
  • Сложени бројеви

У скупу природних бројева број има посебан положај, и зато је издвојен у посебну класу. Дељивост у скупу може се проширити на скуп и рећи да је дељива са сваким природним бројем, јер је . Број није ни прост ни сложен број.

Ово се може рећи на још један начин: број је прост, ако се може написати као производ два природна броја и , који су већи од

Сви прости бројеви мањи од 1000 су:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 [6]

Основна теорема аритметике[уреди]

За сваки природни број () постоји јединствен растав на просте факторе

Где су те су сви прости бројеви.

Пример

Растављање сложених бројева на просте факторе[уреди]

Растављање се може постићи дељењем с простим бројевима, и уз познавање неколико једноставних правила, то растављање постаје врло једноставно.

  • Ако је број паран (задња цифра му је 2, 4, 6, 8 или 0) онда је дељив с бројем 2.
  • Ако број завршава цифрама 5 или 0 онда је дељив с бројем 5.
  • Ако му је збир цифара дељив с 3, онда је тај број дељив с 3.

Ератостеново сито[уреди]

Ово је механички поступак проналажења простих бројева који нису већи од n. Испишу се сви бројеве од 2 до н. Пође се од броја 2 и прецрта се сваки други број, затим се пође од броја 3 и прецрта се сваки трећи с тиме да се броје и прецртани бројеви, па од првог непрецртаног броја итд. Овај поступак се понавља док не дође до броја p за који је p^2 > n. Непрецртани бројеви су прости. Пример за :

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Криптографија[уреди]

Важна примена простих бројева је у области криптографије. Алгоритми за шифрирање поруке зависе од тога што не постоји ефикасан алгоритам за растављање броја на просте факторе. Тако се лако могу помножити два довољно велика проста броја, међутим, обрнути процес, тј. налажење његових простих фактора траје доста дуже. Позната шифра која на томе базира је RSA.[7]

Бројност простих бројева[уреди]

Простих бројева има бесконачно много. Ово је први доказао Еуклид у својим Елементима, књига X, Теорема 20. Његов доказ је следећи:

Претпоставимо да је број простих бројева коначан. Помножимо их све и додајмо 1. Добићемо број који дељен са било којим простим бројем даје остатак 1. Дакле добили смо број који нема делитеља међу постојећим бројевима. То јесте прост број већи од претходних.

Математичари су открили још особина које су везане за бројност простих бројева. Ојлер је открио да ред реципрочних простих бројева дивергира. Чак је нађена асимптотска формула за збир простих бројева мањих од неког датог

У математици постоји функција чија је вредност једнака броју простих бројева у интервалу . Она даје одговор на питање колико има простих бројева мањих од неког датог. Тако је . Функција се за веће бројеве може апроксимирати следећим изразом

.

Број простих бројева у неком опсегу се може видети из следеће таблице

Мањих од броја има простих бројева
10 4
100 25
1.000 168
10.000 1.229
100.000 9.592
1.000.000 78.498
10.000.000 664.579
100.000.000 5.761.455
1.000.000.000 50.847.534
10.000.000.000 455.052.511
100.000.000.000 4.118.054.813
1.000.000.000.000 37.607.912.018
10.000.000.000.000 346.065.536.839
100.000.000.000.000 3.204.941.750.802
1.000.000.000.000.000 29.844.570.422.669
10.000.000.000.000.000 279.238.341.033.925
100.000.000.000.000.000 2.623.557.157.654.233
1.000.000.000.000.000.000 24.739.954.287.740.860
10.000.000.000.000.000.000 234.057.667.276.344.607
100.000.000.000.000.000.000 2.220.819.602.560.918.840
1.000.000.000.000.000.000.000 21.127.269.486.018.731.928
10.000.000.000.000.000.000.000 201.467.286.689.315.906.290

Густина расподеле простих бројева[уреди]

Посматрајмо однос густине простих бројева мањих од неког броја n и реципрочне вредности природног логаритма тог броја. Густина простих бројева у скупу опада као и реципрочна вредност природног логаритма броја n, за велике вредности n ().

n
0,168 0,1448 1,16022
0,078498 0,0723824 1,08449
0,050847534 0,048254942 1,05372
0,037607912018 0,03619120682 1,03914
0,018435599767349 0,018095603412635 1,018788

Дирихлова теорема[уреди]

Нека су d и a природни бројеви такви да је њихова мера , тј. они су релативно прости, тада постоји бесконачно много прим бројева облика , , tј. постоји бесконачно много прим бројева у аритметичком низу

Прости бројеви 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … у аритметичким низу

Прости бројеви 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, … у аритметичким низу
Прости бројеви 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, … у аритметичким низу

Еуклидова теорема[уреди]

Скуп свих простих бројева је бесконачан.

Доказ за неке опште аритметичке низове. Сваки прост број већи од 2 је непаран, те је облика или . Производ два броја облика такође је тог облика:

Претпоставимо да постоји коначно много простих бројева

koji su oblika .

N је прост број, или се може раставити на производ простих бројева, од којих ниједан није јер остатак дељења броја N са неким од бројева p је -1. Сви прости фактори броја N не могу бити облика , јер N није тог облика. Као што смо видели, производ бројева облика је такође је број тог облика.

Према томе, бар један прост фактор мора бити облика , што је немогуће, јер тај фактор није ниједан од бројева p, за које смо претпоставили да су сви прости бројеви облика .

Дакле, број простих бројева таквог облика је бесконачан.

Последица Дирихлове теореме је

Ред реципрочних простих бројева облика

дивергира

Највећи познати прост број[уреди]

Тренутно највећи познати прост број је 274.207.281 − 1 (овај број има 22.338.618 цифара). Израчунали су га 15. децембра 2005. године два професора са Мисури државног универзитета. Означава се са М30402457 и представља 49. Мерсенов прост број.

Претходни највећи познати прост број је био M25964951 = 225.964.951 − 1 (42. познати Мерсенов прост број, 7.816.230 цифара) а пре њега M24036583 = 224.036.583 − 1 (41. познати Мерсенов прост број, 7.235.733 цифара)

Постоји добар практичан разлог зашто су сви велики прости бројеви облика Мерсенових простих бројева. То је релативно једноставан метод за проверу сложености броја (Лукас-Лемер тест). За остале бројеве је метода временски захтевна.

Највећи прост број који није овог облика је 27.653 × 29.167.433 + 1 (2.759.677 цифара) и шести је по величини на листи највећих познатих простих бројева.

За налажење простог броја са 107 децималних цифара постоји награда од 100000 долара.

Примена простих бројева[уреди]

Чињеница да је проблем налажења свих делитеља великог броја је довео до проналажења метода за шифровање који се користи великим простим бројевима. У оваквој криптографији са јавним кључем је изузетно важно имати метод за генерисање великог простог броја (реда 10300). Број n такав да је binomial(n+k-1,k) k-алмоуст прајм (има тачно n простих фактора) је k-полипрост.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Ziegler, Günter M. (2004). „The great prime number record races”. Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414—416. MR 2039814. 
  2. ^ Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. стр. 26. ISBN 978-0-19-850105-3. 
  3. ^ Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (2nd изд.). Routledge. стр. 62. ISBN 978-1-136-63662-2. 
  4. ^ Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. стр. 16. OCLC 6975809. 
  5. ^ Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. ISBN 978-0-7641-0768-9. 
  6. ^ A000040
  7. ^ RSA . Kurs na nemačkoj gimnaziji u Berlinu Архивирано на сајту Wayback Machine (новембар 12, 2016) (на језику: енглески) učitano 18.01.2014 njem.

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]

Генератори и калкулатори[уреди]