Ричардсонова екстраполација

Из Википедије, слободне енциклопедије

Ричардсонова екстраполација је поступак из нумеричке анализе којим од две „лошије“ апроксимације добијамо једну „бољу“ (у зависности од размака изме[у тачака); названа је тако по њеном творцу Луису Фрај Ричардсону.

Претпоставимо да је тачна функција, скуп или шта већ желимо да апроксимирамо (односно да екстраполирамо, када нисмо у могућности да уопште израчунамо резултат). Тако[е, обележимо апроксимацију зависну од параметра :

На пример, када је реч о интеграцији, онда је најчешће размак изме[у двеју тачака (интервал).

Претпоставимо још да апроксимација има грешку у зависности од , а су неке (познате или непознате) константе :

Узмимо да можемо да добијемо и ; што ће рећи да смо преполовили интервал (када се ради о интеграцији) и тако удвостручили број рачунских операција са циљем да добијемо бољи резултат. Грешка апроксимације је:

Шта нам може дати комбинација те две апроксимације? Летимичан поглед ће нам већ рећи да део грешке можемо једноставно да елиминешемо множењем и одузимањем:

су неке нове константе добијене комбинацијом претходних.

Као што видимо, грешка апроксимације зависи тек од квадрата дужине интервала (што је, наравно, врло позитивно, када се има у виду да је најчешће ).

Добивши можемо да наставимо и добијемо , и тако докле год не будемо били задовољни резултатом.

Рекурзивна формула Ричардсонове екстраполације је:

Општа Ричардсонова екстраполација[уреди]

Ричардсонову екстраполацију можемо да напишемо и у нешто општијем смислу:

(1)

Уместо да сада преполовимо , поделимо га са :

(2)

Помножимо (2) са и одузмимо од (1):

Исти израз, за :

Одатле можемо да израчунамо рекурзивну формулу:

,

где је: