Ричардсонова екстраполација

Из Википедије, слободне енциклопедије
Jump to navigation Jump to search

Ричардсонова екстраполација је поступак из нумеричке анализе којим од две „лошије“ апроксимације добијамо једну „бољу“ (у зависности од размака изме[у тачака); названа је тако по њеном творцу Луису Фрај Ричардсону.

Претпоставимо да је тачна функција, скуп или шта већ желимо да апроксимирамо (односно да екстраполирамо, када нисмо у могућности да уопште израчунамо резултат). Тако[е, обележимо апроксимацију зависну од параметра :

На пример, када је реч о интеграцији, онда је најчешће размак изме[у двеју тачака (интервал).

Претпоставимо још да апроксимација има грешку у зависности од , а су неке (познате или непознате) константе :

Узмимо да можемо да добијемо и ; што ће рећи да смо преполовили интервал (када се ради о интеграцији) и тако удвостручили број рачунских операција са циљем да добијемо бољи резултат. Грешка апроксимације је:

Шта нам може дати комбинација те две апроксимације? Летимичан поглед ће нам већ рећи да део грешке можемо једноставно да елиминешемо множењем и одузимањем:

су неке нове константе добијене комбинацијом претходних.

Као што видимо, грешка апроксимације зависи тек од квадрата дужине интервала (што је, наравно, врло позитивно, када се има у виду да је најчешће ).

Добивши можемо да наставимо и добијемо , и тако докле год не будемо били задовољни резултатом.

Рекурзивна формула Ричардсонове екстраполације је:

Општа Ричардсонова екстраполација[уреди]

Ричардсонову екстраполацију можемо да напишемо и у нешто општијем смислу:

(1)

Уместо да сада преполовимо , поделимо га са :

(2)

Помножимо (2) са и одузмимо од (1):

Исти израз, за :

Одатле можемо да израчунамо рекурзивну формулу:

,

где је: