Ромбергова интеграција

Из Википедије, слободне енциклопедије
Jump to navigation Jump to search

Ромбергова интеграција (понекад се наводи такође као Ромбергова метода) је поступак из нумеричке анализе. Користи се када желимо нумерички да израчунамо неки интеграл, а добила је име по Вернеру Ромбергу.

Идеја[уреди]

Основа Ромбергове интеграције је комбинација две лоше апроксимације којом ћемо доћи до једне боље. У суштини, она представља само један вид Ричардсонове екстраполације примењене на интеграцију и трапезоидно правило.

Присетимо се грешке трапезоидног правила са датих тачака:

Напишимо то све мало другачије:

А шта се дешава када преполовимо размак између тачака?

Очигледно је да се коефицијенти за квадратни део грешке () донекле преклапа; зато га можемо простом комбинацијом ове две апроксимације елиминисати:

Сада грешка зависи само од ! Постпупак можемо наставити и врло брзо ћемо доћи до веома прецизних резултата. Даљим рачуном елиминишемо остале степене из грешке:

На шеми се види мало јасније:


Као резултат се узима увек последњи елемент на дијагонали.

Грешка[уреди]

Грешка Ромбергове интеграције, написана нотацијом са великим О: .

За њену приближну вредност (за критеријум обуставе алгоритма) може се узети разлика дијагонале:

Треба међутим имати у виду да у одређеним случајевима грешка не мора да се смањује - добар пример за то су таласне функције (косинус, синус итд.). На конкретном примеру:

број тачака мора да будем барем иначе ће нам интеграл увек бити једнак нули.

Ромбергова интеграција има и ту предност што грешку можемо у сваком следећем кораку да израчунамо и тако сваки пут изнова одлучимо да ли хоћемо да идемо даље или смо задовољни досадашњим резултатом.

Пример[уреди]

Узмимо да желимо да израчунамо:

Трапезоидно правило са две тачке нам даје:

Са три:

И са пет:

Када упоредимо чак и задњи резултат, грешка је још увек велика:

У неким ситуацијама би таква грешка могла да буде кобна! Применимо са овим резултатима Ромбергову методу:

Грешка је , још увек недовољно прецизно за наше потребе. Идемо још један корак даље:

Грешка на крају: -0.65 ! Са само пет тачака смо добили изузетно прецизан резултат. Када бисмо желели да постигнемо исти резултат простим трапезоидним правилом, требало би нам око 50 тачака.