Ромбергова интеграција

Из Википедије, слободне енциклопедије

Ромбергова интеграција (понекад се наводи такође као Ромбергова метода) је поступак из нумеричке анализе. Користи се када желимо нумерички да израчунамо неки интеграл, а добила је име по Вернеру Ромбергу.

Идеја[уреди]

Основа Ромбергове интеграције је комбинација две лоше апроксимације којом ћемо доћи до једне боље. У суштини, она представља само један вид Ричардсонове екстраполације примењене на интеграцију и трапезоидно правило.

Присетимо се грешке трапезоидног правила са датих тачака:

Напишимо то све мало другачије:

А шта се дешава када преполовимо размак између тачака?

Очигледно је да се коефицијенти за квадратни део грешке () донекле преклапа; зато га можемо простом комбинацијом ове две апроксимације елиминисати:

Сада грешка зависи само од ! Постпупак можемо наставити и врло брзо ћемо доћи до веома прецизних резултата. Даљим рачуном елиминишемо остале степене из грешке:

На шеми се види мало јасније:


Као резултат се узима увек последњи елемент на дијагонали.

Грешка[уреди]

Грешка Ромбергове интеграције, написана нотацијом са великим О: .

За њену приближну вредност (за критеријум обуставе алгоритма) може се узети разлика дијагонале:

Треба међутим имати у виду да у одређеним случајевима грешка не мора да се смањује - добар пример за то су таласне функције (косинус, синус итд.). На конкретном примеру:

број тачака мора да будем барем иначе ће нам интеграл увек бити једнак нули.

Ромбергова интеграција има и ту предност што грешку можемо у сваком следећем кораку да израчунамо и тако сваки пут изнова одлучимо да ли хоћемо да идемо даље или смо задовољни досадашњим резултатом.

Пример[уреди]

Узмимо да желимо да израчунамо:

Трапезоидно правило са две тачке нам даје:

Са три:

И са пет:

Када упоредимо чак и задњи резултат, грешка је још увек велика:

У неким ситуацијама би таква грешка могла да буде кобна! Применимо са овим резултатима Ромбергову методу:

Грешка је , још увек недовољно прецизно за наше потребе. Идемо још један корак даље:

Грешка на крају: -0.65 ! Са само пет тачака смо добили изузетно прецизан резултат. Када бисмо желели да постигнемо исти резултат простим трапезоидним правилом, требало би нам око 50 тачака.