Степен двојке

Из Википедије, слободне енциклопедије
Визуелизација степена двојке од 1 до 1024 (20 до 210).
За друге потребе, види Степен двојке (вишезначна одредница).

У математици, степен двојке означава број форме 2n где је n цео број, тј. резултат степеновања бројем два као базом и целим бројем n као експонентом.

У контексту у ком се разматрају само цели бројеви, n је ограничен на не-негативне вредности,[1] тако да имамо 1, 2, и 2 помножене самим собом одређени број пута.[2]

Због тога што је два основа у систему бинарних бројева, степен двојке је чест у рачунарској науци. Записан у бинарном облику, степен двојке увек има форму 100…000 или 0.00…001, баш као и степен десетке у децималном систему.

Изрази и једначине [уреди]

Вербални изрази, математичке ознаке, и изрази рачунарског програмирања користе степен двојке или функцију укључујући:
2 на n
2 на степен n
2 степен n
степен(2, n)
ст(2, n)
2n
1 << n
2 ^ n
2 ** n
2 [3] n
2 ↑ n
A(n - 3, 3) + 3

Рачунарска наука[уреди]

Два на степен n, написано као 2n, је број начина на који се битови у бинарном систему дужине n могу организовати. Реч, тумачена као неозначен цео број, може бити представљена вредностима од 0 (000…000) до 2n − 1 (111…111) закључно. Одговарајућа целобројна вредност може бити позитивна, негативна или нула; види представе означених бројева. У сваком случају, један мање од степена двојке је често горња граница целих бројева код бинарних рачунара. Као последица, бројеви ове форме се често појављују у рачунарском софтверу. На пример, видео игрица покренута на 8-битном систему може ограничити резултат или број предмета које играч може ностити на 255— резултат коришћења бајта, који је дугачак 8 бита, да сачува број, дајући максималну вредност 28 − 1 = 255. На пример, у делу Легенда о Зелди, главни лик је ограничен да чува 255 рупија (валута у игрици) у било ком тренутку, док се видео игра Пек-Мен чувено гаси на нивоу 255.

Степен двојке се користи за мерење рачунарске меморије. Бајт сада садржи осам бита (октет, као резултат могућности 256 вредности (28). (Израз бајт је некад значио (и у неким случајевима још увек значи) скуп битова, уобичајено 5 до 32 бита, пре него само 8-битних јединица.) Префикс кило, у вези са бајтом, може бити, и одувек је био, коришћен као 1,024 (210). Међутим, уопште, израз кило је био коришћен у Међунардном систему јединица у значењу 1,000 (103). Бинарни префикси су били стандардизовани, као што киби (Ki) значи 1,024. Скоро сви процесорски регистри имају величину степена двојке, 32 или 64 су најчешћи.

Степен двојке се појављује на другим местима такође. За многе дискове, барем једна величина сектора, број сектора по стази, и број стаза по површини диска је степен двојке. Величина логичког блока је скоро увек степен двојке.

Бројеви који нису степен двојке се појављују у многим ситуацијама, као што су видео резолуције, али су они често збир или производ само два или три степена двојке, или степен двојке минус један. На пример, 640 = 512 + 128 = 128 × 5, и 480 = 32 × 15. На други начин, они имају прилично уобичајене шаблоне битова.

Мерсенови прости бројеви[уреди]

Слично, прост број (као 257) који је за један већи од позитивног степена двојке се назива Фермаов прост број — сам експонент је степен двојке. Разломак који има степен двојке као делилац се назива двојни разломак. Бројеви који могу бити представљени као збирови узастопних позитивних целих бројева се називају углађени бројеви; они су заправо бројеви који нису степен двојке.
Прост број који је за један мањи од степена двојке се зове Мерсенов прост број. На пример, прост број 31 је Мерсенов прост број зато што је за 1 мањи од 32 (25).

Еуклидови елементи, 9. књига[уреди]

Геометријска прогресија 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (или, у бинарном бројевном систему 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, … ) је важна у теорији бројева. 9. књига, 36. предлог Елемената доказује да ако је сума првих n чланова ове прогресије прост број (значи, Мерсенов прост број поменут изнад), онда ова сума помножена n-тим чланом је савршен број. На пример, сума првих 5 чланова низа 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, који је прост број. Сума 31 помножена са 16 (5. члан низа) је једнака 496, који је савршен број.

9. књига, 35 Предлог, доказује да ако је у геометријском низу први члан одузет од другог и последњег члана низа, онда је вишак другог први—тако да је вишак последњег све оно пре њега. (Ово је преправка наше формуле за геометријски низ изнад.) Примењујући ово на геометријску прогресију 31, 62, 124, 248, 496 (која резултује од 1, 2, 4, 8, 16 множењем свих чланова до 31), видимо да 62 минус 31 је 31 као и 496 минус 31 је збир 31, 62, 124, 248. Стога, бројеви 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 додати до 496 и даље су сви ови бројеви деле број 496. Под претпоставком да p дели број 496 и није међу овим бројевима. Претпоставимо да су pq једнаки 16 × 31, или да је 31 q, а p 16. Сада p не може да дели 16 или би било међу бројевима 1, 2, 4, 8 или 16. Стога, 31 не може да дели q. И како 31 не дели q и q је 496, основна теорема аритметике имплицира да q мора да дели 16 и да буде међу бројевима 1, 2, 4, 8 или 16. Нека q буде 4, онда p мора бити 124, што је немогуће с обзиром на то да хипотеза p није међу бројевима 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

Првих 96 степена двојке[уреди]

20 = 1 216 = 65,536 232 = 4,294,967,296 248 = 281,474,976,710,656 264 = 18,446,744,073,709,551,616 280 = 1,208,925,819,614,629,174,706,176
21 = 2 217 = 131,072 233 = 8,589,934,592 249 = 562,949,953,421,312 265 = 36,893,488,147,419,103,232 281 = 2,417,851,639,229,258,349,412,352
22 = 4 218 = 262,144 234 = 17,179,869,184 250 = 1,125,899,906,842,624 266 = 73,786,976,294,838,206,464 282 = 4,835,703,278,458,516,698,824,704
23 = 8 219 = 524,288 235 = 34,359,738,368 251 = 2,251,799,813,685,248 267 = 147,573,952,589,676,412,928 283 = 9,671,406,556,917,033,397,649,408
24 = 16 220 = 1,048,576 236 = 68,719,476,736 252 = 4,503,599,627,370,496 268 = 295,147,905,179,352,825,856 284 = 19,342,813,113,834,066,795,298,816
25 = 32 221 = 2,097,152 237 = 137,438,953,472 253 = 9,007,199,254,740,992 269 = 590,295,810,358,705,651,712 285 = 38,685,626,227,668,133,590,597,632
26 = 64 222 = 4,194,304 238 = 274,877,906,944 254 = 18,014,398,509,481,984 270 = 1,180,591,620,717,411,303,424 286 = 77,371,252,455,336,267,181,195,264
27 = 128 223 = 8,388,608 239 = 549,755,813,888 255 = 36,028,797,018,963,968 271 = 2,361,183,241,434,822,606,848 287 = 154,742,504,910,672,534,362,390,528
28 = 256 224 = 16,777,216 240 = 1,099,511,627,776 256 = 72,057,594,037,927,936 272 = 4,722,366,482,869,645,213,696 288 = 309,485,009,821,345,068,724,781,056
29 = 512 225 = 33,554,432 241 = 2,199,023,255,552 257 = 144,115,188,075,855,872 273 = 9,444,732,965,739,290,427,392 289 = 618,970,019,642,690,137,449,562,112
210 = 1024 226 = 67,108,864 242 = 4,398,046,511,104 258 = 288,230,376,151,711,744 274 = 18,889,465,931,478,580,854,784 290 = 1,237,940,039,285,380,274,899,124,224
211 = 2,048 227 = 134,217,728 243 = 8,796,093,022,208 259 = 576,460,752,303,423,488 275 = 37,778,931,862,957,161,709,568 291 = 2,475,880,078,570,760,549,798,248,448
212 = 4,096 228 = 268,435,456 244 = 17,592,186,044,416 260 = 1,152,921,504,606,846,976 276 = 75,557,863,725,914,323,419,136 292 = 4,951,760,157,141,521,099,596,496,896
213 = 8,192 229 = 536,870,912 245 = 35,184,372,088,832 261 = 2,305,843,009,213,693,952 277 = 151,115,727,451,828,646,838,272 293 = 9,903,520,314,283,042,199,192,993,792
214 = 16,384 230 = 1,073,741,824 246 = 70,368,744,177,664 262 = 4,611,686,018,427,387,904 278 = 302,231,454,903,657,293,676,544 294 = 19,807,040,628,566,084,398,385,987,584
215 = 32,768 231 = 2,147,483,648 247 = 140,737,488,355,328 263 = 9,223,372,036,854,775,808 279 = 604,462,909,807,314,587,353,088 295 = 39,614,081,257,132,168,796,771,975,168
Може се видети да је почетак од 2 последње цифре периодичан са периодом 4, са циклусом 2–4–8–6–, а почетак са 4 последње цифре периодичан са периодом 20. Ови обрасци важе генерално за било који степен, у односу на било коју базу. Образац се наставља, наравно, где је полазна тачка сваког обрасца 2k, а период је мултипликативна група реда 2 модула  5k, што је φ(5k) = 4 × 5k−1 (види Мултипликативна група целих бројева модула n).

Степен 1024[уреди]

Првих неколико степена 210 су мало виши од ових од 1000:

20 = 1 = 10000 (0% одступања)
210 = 1 024 ≈ 10001 (2.4% одступања)
220 = 1 048 576 ≈ 10002 (4.9% одступања)
230 = 1 073 741 824 ≈ 10003 (7.4% одступања)
240 = 1 099 511 627 776 ≈ 10004 (10% одступања)
250 = 1 125 899 906 842 624 ≈ 10005 (12.6% одступања)
260 = 1 152 921 504 606 846 976 ≈ 10006 (15.3% одступања)
270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 ≈ 10007 (18.1% одступања)
280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 ≈ 10008 (20.9% одступања)
290 = 1 237 940 039 285 380 274 899 124 224 ≈ 10009 (23.8% одступања)
2100 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 ≈ 100010 (26.8% одступања)
2110 = 1 298 074 214 633 706 907 132 624 082 305 024 ≈ 100011 (29.8% одступања)
2120 = 1 329 227 995 784 915 872 903 807 060 280 344 576 ≈ 100012 (32.9% одступања)

Види још ИEEE 1541-2002.

Степен двојке чији је експонент степен двојке[уреди]

Пошто су подаци (посебно цели бројеви) и адресе података складиштени у истом хардверу, а подаци су складиштени у једном или више октета (23), дупли експоненти двојке су чести. На пример, 
21 = 2
22 = 4
24 = 16
28 = 256
216 = 65536
232 = 4,294,967,296
264 = 18,446,744,073,709,551,616 (20 цифара)
2128 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456 (39 цифара)
2256 =
115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,
639,936 (78 цифара)
2512 =
13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,
030,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,
649,006,084,096 (155 цифара)
21,024 = 179,769,313,486,231,590,772,931,...,304,835,356,329,624,224,137,216 (309 цифара)
22,048 = 323,170,060,713,110,073,007,148,...,193,555,853,611,059,596,230,656 (617 цифара)
24,096 = 104,438,888,141,315,250,669,175,...,243,804,708,340,403,154,190,336 (1,234 цифара)
28,192 = 109,074,813,561,941,592,946,298,...,997,186,505,665,475,715,792,896 (2,467 цифара)
216,384 = 118,973,149,535,723,176,508,576,...,460,447,027,290,669,964,066,816 (4,933 цифара)
232,768 = 141,546,103,104,495,478,900,155,...,541,122,668,104,633,712,377,856 (9,865 цифара)
265,536 = 200,352,993,040,684,646,497,907,...,339,445,587,895,905,719,156,736 (19,729 цифара)
Неки од ових бројева представљају број вредности представљених коришћењем заједничких рачунарских врста података. На пример, 32-битна реч садржи 4 бита и може бити представљена 232 различитим вредностима које могу бити сматрани као само бит-образсци, или се чешће тумаче као неозначени бројеви од 0 до 232 − 1, или као опсег означених бројева између −231 и 231 − 1. Види јоште тетратион и ниже хипероперације. За више детаља о означеним бројевима погледајте комплемент двојке.

У вези са нимберима ови бројеви се често називају Фермаови 2-степени бројеви.

Бројеви  формирају ирационални низ: за сваки низ позитивних целих бројева, низ

конвергира до ирационалног броја. Упркос брзом порасту овог низа, он најспорије расте у ирационалност од свих познатих низова.[3]

Неки одабрани степени двојке[уреди]

28 = 256
Број вредности које су представљене 8 бита у бајту, прецизније се зове октет. (Термин бајт се често дефинише као скуп битова чешће него стриктна дефиниција 8-битне количине, као што је демонтрирано термином килобајт.)
210 = 1,024
Бинарна апроксимација кило-, или множилац 1,000, који проузрокује промену префикса. На пример: 1,024 бајтова = 1 килобајт (или кибибајт).
Овај број нема специјална значај за рачунаре, али је значајан за људе зато што користимо степене десетке.
212 = 4,096
Величина стране хардвера код Интел x86 процесора.
216 = 65,536
Број различитих вредности које се могу представити у једној речи 16-битног процесора, као што је оригиналан x86 процесор.[4]
Највећи опсег променљиве кратког целог броја у C#, и Јава програмском језику. Највећи опсег Речи или Смалинт променљиве у Паскал програмском језику.
220 = 1,048,576
Бинарна апроксимација мега-, или множилац 1,000,000, који узрокује промену префикса. На пример: 1,048,576 бајтова = 1 мегабајт (или мебибајт).
Овај број нема специјална значај за рачунаре, али је значајан за људе зато што користимо степене десетке.
224 = 16,777,216
Број јединствених боја може бити представљен као стварним бојама, које се користе код обичних рачунарских монитора.
Овај број је резултат коришћења тро-каналног РГБ система, са 8 битова за сваки канал, или 24 бита укупно.
230 = 1,073,741,824
Бинарна апроксимација гига-, или множилац 1,000,000,000, који узрокује промену префикса. На пример, 1,073,741,824 бајтова = 1 гигабајт (или гибибајт).
Овај број нема специјална значај за рачунаре, али је значајан за људе зато што користимо степене десетке.
231 = 2,147,483,648
Број не-негативних вредности за означени 32-битни цео број. Од како се Јуникс време мери секундама од 1. јануара 1970, истећи ће 2,147,483,647 секунди или 03:14:07 УТЦ у уторак 19. јануара 2038. на 32-битним рачунарима који користе Јуникс, проблем познат као проблем 2038. године.
232 = 4,294,967,296
Број различитих речи које се могу представити једном речју на 32-битном процесору.[5] Или, број вредности које се могу представити дуплом речју на 16-битном процесору, као што је оригиналан x86 процесор.[4]
Опсег  целобројне променљиве у Јава и C# програмским језицима. 
Опсег Кардиналних или Целобројних  променљивих у Паскал програмском језику. 
Најмањи опсег променљиве дугог целог броја у C и C++ програмским језицима.
Укупан број ИП адреса под ИПв4.
Иако је ово наизглед велики број, исцрпљивање ИПв4 адреса је неизбежно.
240 = 1,099,511,627,776
Бинарсна апроксимација тера-, или множилац1,000,000,000,000, који проузрокује промену префикса. На пример, 1,099,511,627,776 бајтова = 1 терабајт (или тебибајт).
Овај број нема специјална значај за рачунаре, али је значајан за људе зато што користимо степене десетке.
250 = 1,125,899,906,842,624
Бинарна апроксимација пета-, или множилац 1,000,000,000,000,000. 1,125,899,906,842,624 бајтова = 1 петабајт (или пебибајт).
260 = 1,152,921,504,606,846,976
Бинарна апроксимација екса-, или множилац 1,000,000,000,000,000,000. 1,152,921,504,606,846,976 бајтова = 1 ексабајт (или ексбибајт).
264 = 18,446,744,073,709,551,616
Број различитих вредности које се могу представити једномречју на 64-битном процесору. Или, број вредности које се могу представити дуплом речју на 32-битном процесору. Или, број вредности које се могу представити квадречима на 16-битном процесору, као на оригиналном x86 процесору.[4]
Распон дуге променљиве Јава и C# програмских језика..
Распон Инт64 или КуРеч променљивих у Паскал програмском језику.
Укупан број ИПв6 адреса генерално даје један ЛАН или подмрежу.
Један више од бројева зрна грашка на шаховској табли, у складу са старом причом, где први квадрат садржи једно зрно пиринча и сваки наредни квадрат дупло више од претходног квадрата. Из овог разлога број 264 – 1 је познат као "шаховски број".
270 = 1,180,591,620,717,411,303,424
Бинарна апроксимација јота-, или множилац 1,000,000,000,000,000,000,000, која узрокује промену префикса. На пример, 1,180,591,620,717,411,303,424 бајтова = 1 јотабајт (или јобибајт).
286 = 77,371,252,455,336,267,181,195,264
286 претпостављено је да највећи степен двојке не садржи нулу.[6]
296 = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336
Укупан број ИПв6 адреса генерално даје локални Интернет регистар. У ЦИДР нотацији, ИСП су дате као /32, што значи да је 128-32=96 битова слободно за адресе. (за разлику од означавања мреже). Дакле, 296 адресе.
2128 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456
Укупан број ИП адреса доступним под ИПв6. Такође, број различитих универзално јединствених идентификатора (УУИД).
2333 =
17,498,005,798,264,095,394,980,017,816,940,970,922,825,355,447,145,699,491,406,164,851,279,623,
993,595,007,385,788,105,416,184,430,592
Најмањи степен 2 већи од гугола (10100).
21024 = 179,769,313,486,231,590,772,931,...,304,835,356,329,624,224,137,216
Максималан број који може да стане у ИЕЕЕ двоструку прецизност формата покретног зареза, а самим тим и број који се може представити многим програмима, као на пример Мајкрософт Ексел.
257,885,161 = 581,887,266,232,246,442,175,100,...,725,746,141,988,071,724,285,952
Један више од највећег познатог простог броја ажурирано: 2013. г.. Он има више од 17 милиона цифара.[7]

Брзи алгоритам за проверу да ли је позитиван број степен двојке[уреди]

Бинарно представљање целих бројева омогућава брзу проверу ради утврђивања да ли је неки дати позитиван цео број x степен двојке:

позитиван број x је степен двојке ⇔ (x & (x − 1)) је еквивалентно нули.

где је & битовска логичка ЕНД операција. Приметимо да ако је x 0, ово погрешно указује на то да је 0 степен двојке, тако да ова провера важи само за x > 0.

Примери:

−1
=
1…111…1
−1
=
1…111…111…1
x
=
0…010…0
y
=
0…010…010…0
x − 1
=
0…001…1
y−1
=
0…010…001…1
x & (x − 1)
=
0…000…0
y & (y − 1)
=
0…010…000…0

Доказ концепта:

Доказ користи технику контрадикторне изјаве.

Изјава С: Ако је x&(x-1) = 0 и x је цео број већи од нуле онда је x = 2k (где је k цео број такав да је k>=0).

Контрадикторан концепт:

С1: P -> Q је исто као и С2: ~Q -> ~P У пређашњим изјавама С1 и С2 ове су контрадикторне у односу једна на другу. Тако да се изјава С може преправљати као испод С': Ако је x позитиван цео број и x ≠ 2k (k iје неки не-негативни цео број) онда је x&(x-1) ≠ 0

Доказ:

Ако је x ≠ 2k онда најмање два бита x-а су сетови. (Претоставимо да су m битови сет.) Сада, бит образац x - 1 се може добити инвертовањем свих битова x-а до првог сета бита х-а (почевши од НЗБ и настављајући ка НЗБ, овај сет инклузивног бита). Сада, претпоставимо да израз x & (x-1) има све нуле битова до првог сета х-а и како x & (x-1) има исто преосталих битова као x и x има најмање два сета битова отуда је исказ x & (x-1) ≠ 0 тачан.

Брзи логаритам за налажење модула броја степена двојке[уреди]

Као горе наведено уопптавање, бинарна представа целих бројева омогућава израчунавање модула не-негативног целог број (x) са степеном двојке (y) веома брзо:

x mod y = (x & (y − 1)).

где је & битовска логичка ЕНД операција. Ово заобилази потребу да се изврши скупоцена подела. Ово је корисно ако је модуо операције значајна део извршавања критичне путање, јер то може бити много брже од обичног модуо оператора.

Алгоритам за проналажење степена двојке најближег броју[уреди]

Следећа формула налази најближи степен двоке, на логаритамског скали, за дату вреност x > 0:

Ово би требало да се разликује од најближег степена двојке на линеарној скали. На пример, 23 је ближе броју 16 од броја 32, али претходна формула заокружује на 32, одговарајући на чињеницу да је 23/16 = 1.4375, веће од 32/23 = 1.3913.

Ако је x целобројна вредност, следећи кораци се могу користити да проналажење најближе вредности (у односу на стварне вредности пре него на бинарни логаритам) у рачунарском програму:

  1. Пронаћи најзначајнију битну позицију k, која је постављена (1) из бинарне презентације x-а, када {{{1}}} означава најмање значајан бит.
  2. Онда, ако је бит k − 1 нула, резултат је 2k. У супротном резултат је 2k + 1.

Алгоритам за проналажење степена двојке већег или једнаког броју[уреди]

Понекад је потребно наћи последњи степен двојке који није мањи од конкретног целог броја, n. Псеудокод алгоритма за израчунавање следећег већег степена двојке је следећи. Ако је унос степен двојке, вратиће се непромењен.[8]

n = n - 1;
n = n | (n >> 1);
n = n | (n >> 2);
n = n | (n >> 4);
n = n | (n >> 8);
n = n | (n >> 16);
...
n = n | (n >> (bitspace / 2));
n = n + 1;

Где је | бинарни или оператор, >> је бинарни оператор за померање у десно, а бит размак је величине (у битовима) целобројног размака представњеним n-ом. За много рачунарских архитектура, ова вредност је такође или 8, 16, 32 или 64. Овај оператор ради постављањем свих битова на десну страну најзначајнијег обеженог бита до 1, а затим се повећава целокупна вредност на крају тако да долази до ''превртања'' до најближег степена двојке. Пример сваког корака овог алгоритма за број 2689 је следећи:

Бинарни запис Децимални запис
0101010000001 2,689
0101010000000 2,688
0111111000000 4,032
0111111110000 4,080
0111111111111 4,095
1000000000000 4,096

Као што је горе приказано, алгоритам враћа тачну вредност 4,096. Најближи степен 2,689 је 2,048; међутим, алгоритам је креиран да даје само следећи највећи степен двоје датог броја, не најближи.

Други начин за добијање 'следећег највећег' степен двојке датог броја независног од дужине бит размака је следећи.

unsigned int get_nextpowerof2(unsigned int n)
{
 /*
  * Below indicates passed no is a power of 2, so return the same.
  */
 if (!(n & (n-1))) {
     return (n);
 }

 while (n & (n-1)) {
    n = n & (n-1);
 }

 n = n << 1;
 return n;
}

Брзи алгоритам за заокруживање било ког целог броја до вишеструког датог степена двојке[уреди]

За било који цео број, x и интеграл степена двојке, y, ако је z = y - 1,

  • x И (НЕ z) заокружује доле,
  • (x + z) И (НЕ z) заокружује горе, и
  • (x + y / 2) И (НЕ z) заокружује најближу (позитивне вредности су тачно на половини заокружених вредности горе, док су негативне вредности тачно на половини заокружених вредности доле)

x до вишеструког y.

Друге особине[уреди]

Збир свих n-одабраних биномних коефицијената је једнак 2n. Размотримо скуп свих бинарних целобројних n-цифара. Његова кардиналност је

2n. То је такође збир кардиналности одређених подскупова: подкуп целих бројева без јединица (који се састоје од само једно броја, написаног као n 0-е), подскуп са са само једном 1, поскуп са две 1-ице, и тако даље до подскупа са n 1-ица (који се састоји од броја написаног као n 1-јединица). Сваки од ових је једна биномном коефицијенту индексираном са n и број од 1-ица је размотрен (тј., постоји 10-избор-3 бинарних бројева са десет цифара који укључују тачно три 1-ице).

Број темена једног n-димензионалног хиперкуба је 2n. Слично томе, број (n − 1)-лица n-димензионалног унакрсног политопа је такође 2n и формула за број x-лица n-димензионалног унакрсног политопа је  .

Збир реципрпчних бројева степена двојке је 2. Збир реципрочних бројева степена двојке на квадрат је 1/3. 

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Lipschutz (1982)
  2. Sewell, Michael J. (1997).
  3. Guy (2004). стр. 346.
  4. 4,0 4,1 4,2 Though they vary in word size, all x86 processors use the term "word" to mean 16 bits; thus, a 32-bit x86 processor refers to its native wordsize as a dword
  5. Powers of 2 by Vaughn Aubuchon
  6. Weisstein, Eric W. "Zero."
  7. Largest prime number yet discovered – Light Years - CNN.com Blogs
  8. Warren Jr., Henry S. (2002).

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]