Стефан—Болцманов закон

Из Википедије, слободне енциклопедије
Укупна израчена енергија апсолутно црног тела у функцији температуре

Стефан—Болцманов закон зрачења тврди да је укупна, то јест интегрална емисиона моћ апсолутно црног тела пропорционална четвртом степену његове апсолутне температуре:

где се температура изражена у Келвинима, а константа пропорционалности се назива СтефанБолцманова константа и износи

Стефан—Болцманов закон један је од основних закона термалног зрачења, поред Планковог и Виновог закона.[1] Стефан—Болцманова једначина повезује густину енергијског потока са температуром тела. Закон се најчешће примењује као закон о зрачењу апсолутно црног тела, док је једначина компликованија и мање прецизна ако се примени на друга тела.

Историјат[уреди]

Стефан—Болцманов закон су независно један од другог извели Јожеф Стефан и Лудвиг Болцман. Закон најпре добио Стефан, 1879. године, а затим га је Болцман и извео 1884. године.[2]

Јожев Стефан је до формулације закона дошао на основу експерименталних резултата које је измерио Џон Тиндал и објавио га је у чланку Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Веза између термалног зрачења и температуре) у листу Бечке Академије Наука. Болцман је закон независно извео помоћу термодинамике. Он је анализирајући идеални топлотни извор који за радно тело није користио гас, већ светлост, рачунао његову укупну израчену енергију у зависности од температуре.

Закон даје врло идеалне резултате за апсолутна црна тела, а врло је прецизан и за рачун код тела која се могу апроксимирати црним телима. Код апсолутно црних тела се сва енергија ослобађа у виду зрачења. Стефан—Болцманов закон се често примењује и код такозваних сивих тела.

Извођење[уреди]

Укупна снага зрачења црног тела се добија најпре диференцирањем Планкове функције по температури, а потом интеграцијом добијене спектралне густине снаге по таласној дужини, за све таласне дужине од 0 до ∞.[1] Законом се описује укупан интензитет зрачења апсолутно црног тела. Једначина се изводи из Планковог закона зрачења и добија се

где је температура изражена у Келвинима, а је СтефанБолцманова константа која износи [3]

Посматрајмо малу танку дводимензионалну површину апсолутно црног тела. Његово зрачење можемо апроксимирати као зрачење у облику сферне полулопте са зенитним углом φ и азимутним углом θ, где је у равни у којој се тело налази φ = π/2.

Интензитет емитованог зрачења црног тела описује се Планковим законом:

где је запреминска снага, тј. количина снаге по јединици површине у јединичном углу емитоване на фреквенцији када црно тело има температуру T, је Планкова константа, је брзина светлости, а је Болцманова константа. Величина се назива израчена снага са површине А кроз угао у интервалу фреквенције између ν и ν + .

Стефан—Болцманов закон се добија из емитоване снага са јединичне површине:

Да бисмо добили ту емитовану снагу са јединичне површине, потребно је интегрисати угао Ω по целој полусфери, а фреквенцију ν интегрисати кроз све вредности од 0 до ∞. Како је = sin(φ) dφ dθ, добија се:



Користећи смену где је добија се:



Интеграл једнак је , те се добија да је емитована снага са јединичне површине апсолутно црног тела: где је

Термодинамичко извођење[уреди]

Термодинамичко извођење Стефан—Болцмановог закона, тј. тврђења да је енергијска густина суда из ког се енергија зрачи пропорционална четвртом степену температуре, заснива се на класичном електродинамичком тврђењу да је притисак зрачења са густином унутрашње енергије повезан преко формуле: .

Из фундаменталне термодинамичке релације , поделом са и при фиксираној температури , а затим коришћењем Максвелове релације, добија се:

.

Из дефиниције енергијске густине и како је , добија се:

.

Како се парцијални извод може записати само у функцији од и , парцијална диференцијална једначина постаје обична која се своди на решавање преко раздвајања променљивих, те се добија:

,

одакле се директно добија резултата , где је константа интеграције што се касније испоставља да је управо Стефан—Болцманова константа.[4]-

Примена и последице[уреди]

Стефан—Болцманов закон је важан закон који описује термално зрачење и има бројне примене и последице.

Рејли-Џинсов и Винов закон зрачења[уреди]

Из Планковог закона се изводи Рејли-Џинсов закон зрачења који описује зрачење на великим таласним дужинама и Винов закон зрачења који описује зрачење малих лонгитуда.[5]

Температуре тела које се могу апроксимирати као апсолутно црна[уреди]

Стефан—Болцмановим законом може се израчунати температура Сунца, као што је по први пут урадио и сам Јожеф Стефан. Пре њега, Чарлс Сорет је проценио да је интензитет количине зрачења са Сунца 29 пута јачи од узорка врелог металног лима. Сорет је узео комад кружног металног лима и поставио га под истим углом под којим је видео Сунце. Измерио је да је температура лима између 1900 и 2000 °С. Стефан је претпоставио да једну трећину Сунчевог зрачења упије Земљина атмосфера, тако да је за интензитет Сунчевог зрачења добио да је 29 × 3/2 = 43,5 пута већи од узорка лима, што се касније испоставило као тачна процена. За средњу вредност температуре лима узео је 1950 °С, а претварањем у Келвине из закона добио је да је Сунчева температура 5705 К, што није пуно одступало од данашње процене на 5778 К.

Аналогно за рачунање температуре Сунца, закон се користи и за приближно рачунање температура других тела познајући њихову луминозност и под претпоставком да оне зраче као апсолутно црно тело: где је L луминозност или количина израчене енергије у јединици времена, σ - Стефан–Болцманова константа, Р – полупречник звезде и Т – стварна температура звезде.[6]

Применом истог закона може се грубо проценити и ефективна температура Земље TZ са апроксимацијом апсолутно црног тела, под претпоставком да се Сунчеви зраци на површини Земље само упијају, без одбијања.

где је TS температура Сунца, rS полупречник Сунца, а a0 растојање између Земље и Сунца. Оваквом проценом добија се да је стварна температура на Земљиној површини 6 °C, иако је њена стварна температура 14 °C.

Полупречници звезда[уреди]

Помоћу Стефан—Болцмановог закона могу се рачунати полупречници звезда, када се користи формула која повезује полупречник, температуру и луминозност у односу на исте величине за Сунце:

Хокингово зрачење[уреди]

Стефан—Болцманов закон има примену и у термодинамици црних рупа за рачунање такозваног Хокинговог зрачења.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. 1,0 1,1 Основни закони термалног зрачења, Ж. Барбарић, ЕТФ; приступљено: 20. јануар 2015.
  2. Лудвиг Болцман, znanje.org; приступљено: 20. јануар 2015.
  3. Физика, Јасмина Ризвић
  4. Извођење Стефан—Болцмановог закона, Калман Књижник (Kalman Knizhnik); приступљено: 20. јануар 2015.
  5. Општа теорија релативности и космолошки модели, Виктор Радовић, Космологија, 2014, Математички факултет; приступљено: 20. јануар 2015.
  6. Луминозност звезда, АТНФ; приступљено: 20. јануар 2015.