Стирлингов број

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, Стирлингови бројеви се јављају у многим проблемима у области комбинаторике. Добили су име по Џејмсу Стирлингу, који их је увео у 18. веку. Два различита скупа бројева носе ово име: Стирлингови бројеви прве врсте и Стирлингови бројеви друге врсте.

Нотација[уреди]

Користи се неколико различитих ознака за Стирлингове бројеве. Стирлингови бројеви прве врсте се обично обележавају малим латиничним словом , док се Стирлингови бројеви друге врсте обележавају великим латиничним словом . Стирлингови бројеви друге врсте су увек ненегативни за разлику од Стирлингових бројева прве врсте, који могу бити и негативни. Стандардне ознаке су:

за (означене) Стирлингове бројеве прве врсте и

за Стирлингове бројеве друге врсте.

Нотацију са угластим и витичастим заградама, као аналогију са биномним коефицијентима, 1935. године увео је Јован Карамата, а касније ју је подржао Доналд Кнут; ово се назива Караматина нотација.

Стирлингови бројеви прве врсте[уреди]

Неозначени Стирлингови бројеви прве врсте, , означавају број пермутација елемената са дисјунктних циклуса, при чему се фиксна тачка рачуна као циклус дужине један.

Стирлингови бројеви прве врсте су коефицијенти у развоју

где је опадајући факторијел, тј.

Дефинишемо

Неки примери Стирлингових бројева прве врсте дати су у доњој табели, која почиње од нулте врсте и нулте колоне.

За Стирлингове бројеве прве врсте важи следећа рекурентна веза:

Стирлингови бројеви друге врсте[уреди]

Стирлингови бројеви друге врсте, , означавају број партиција скупа од елемената на непразних подскупова. Збир

се назива -ти Белов број.

Стирлингове бројеве друге врсте можемо да представимо помоћу опадајућег факторијела на следећи начин:

Пример[уреди]

Све двочлане партиције скупа од елемента су:

Према томе, .

Инверзни однос[уреди]

Стирлингови бројеви прве и друге врсте се могу сматрати узајамним инверзима:

и

где је Кронекерова делта функција. Ова два односа се могу посматрати као инверзи матрица. То јест, нека је доња троугаона матрица Стирлингових бројева прве врсте, тако да има елементе

Тада је инверз ове матрице , доња троугаона матрица Стирлингових бројева друге врсте. Симболички, записује се

где су елементи

Иако су и бесконачни, ово ради за коначне матрице простим посматрањем само Стирлингових бројева до неког .

Симетричне формуле[уреди]

Абрамовиц и Стегун дају следеће симетричне формуле које дају однос Стирлингових бројева прве и друге врсте.

и

Литература[уреди]