Сферна Беселова функција

Из Википедије, слободне енциклопедије

Сферне Беселове функције и () представљају решења диференцијалне једначине:

тј. радијалне једначине, која се добија сепарацијом варијабли приликом решавања Хелмхолцове једначине у сферним координатама. Функције називају се сферним Беселовим функцијама прве врсте, а (или ) називају се сферним Беселовим функцијама друге врсте или сферним Нојмановим фукцијама.

Сферне Беселове функције прве врсте (x) за n = 0, 1, 2

Дефиниција[уреди]

Два линеарно независна решења горње диференцијалне једначине називају се сферне Беселове функције и (), а са обичним Беселовим функцијама Jn and Yn повезане су изразом:

се често означава са или ηn, и понекад се називају сферне Нојманове фукције.

Сферне Беселове функције могу да се напишу и као:

Приказ првих неколико сферних Беселових функција[уреди]

Сферне Беселове функције друге врсте (x), за n = 0, 1, 2

Неколико првих сферних Беселових функција прве врсте је:

и за функције друге врсте:

Релације ортогоналности[уреди]

где је α > −1, δm,n Кронекерова делта функција, а uα,m је m-ти корен (нула) функције of jα(x). Релације ортогоналности служе да би се одредили коефицијенти развоја функција у сферни Беселов ред.

Друга релација ортогоналности је:

а ту је δ Диракова делта функција.

Асимптотски облик[уреди]

За случај када x тежи 0 добијају се следећи изрази:

Формуле рекурзије[уреди]

Сличне рекурзије постоје и за сферну Нојманову функцију:

.

Генерирајуће функције[уреди]

Генерирајуће функције сферних Беселових функција су:

Сферне Ханкелове функције hn[уреди]

Постоји и сферни аналог Ханкелових функција, које су комбинација сферних Беселових функција:

Појављују се у сферним проблемима распростирања таласа, као нпр. приликом мултиполнога развоја електромагнетскога таласа.

Литература[уреди]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.