Талесова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Thales-theorem.png

У геометрији, Талесов став (добио име по Талесу из Милета) тврди да ако су A, B и C тачке на кругу где је AC пречник круга, тада је угао ABC прав угао.

Доказ[уреди]

Користимо следеће претпоставке: Збир углова у троуглу је једнак збиру два права угла и два угла једнакокраког троугла су једнака.

Thales-proof.png

Нека је O центар круга. Нека су OA = OB = OC, OAB и OBC су једнакокраки троуглови, и по једнакости углова једнакокраког троугла, OBC = OCB и BAO = ABO. Нека γ = BAO и δ = OBC.

2γ + γ ′ = 180°

и

2δ + δ ′ = 180°

Такође знамо да

γ ′ + δ ′ = 180°

Додајући прве две једначине и замењујући трећу следи да

2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°

што након скраћивања, γ ′ и δ ′, доказује да

γ + δ = 90°

Генерализација[уреди]

Талесова теорема је специјални случај следеће теореме: Ако се три тачке A, B и C налазе на кругу са центром O, угао AOC је два пута већи од угла ABC.

Талесова теорема за сличне троуглове[уреди]

Систем сличних троуглова

У школској литературу се управо ова теорема слови за Талесову и гласи: У систему сличних троуглова однос налеглих страница за дати угао је исти као однос наспрамних страница..

Доказ[уреди]

Посматраћемо однос површина троуглова:

Јаднакост површина троуглова са истом основицом и висином

Приметимо да троуглови ΔОВА и имају исту висину спуштену из темена В на дуж ОА1 , тако даоднос њихових површина представља однос основица датих троуглова, тј. важи:, слично је за пар тоуглова ΔОАБ и

.

Јасно је да је POAB = POBA, јер је реч о истом троуглу, па нам остаје да покажемо да је

Ово задње тврђење се лако доказује ако приметимо да црвени и плави троугао имају исте површине због исте основице и исте висине, па су према томе и комплементи и истих површина из чега следи почетно тврђење.

Сада имамо . За наставак доказа би смо могли да у троуглу узмемо заједничко теме или А1 или В1, повучемо наспрам њега паралелу наспрамној страници и поновимо поступак.

Историја[уреди]

Талес није био први који је познавао ову чињеницу, јер су је Египћани и Вавилонци познавали емпиријски. У сваком случају они нису знали да докажу ову теорему, нити су познавали појам доказивања нити их је то уопште занимало. Тако је теорема добила име по Талесу који ју је први доказао.

Спољашње везе[уреди]