Теорема о отвореном пресликавању

Из Википедије, слободне енциклопедије

Две се теореме у математици називају именом теорема о отвореном пресликавању.

Функционална анализа[уреди]

У функционалној анализи, теорема о отвореном пресликавању (понекад: теорема Банаха о отвореном пресликавању, Банах-Шаудерова теорема) је следећи темељни резултат:

Нека су X и Y Банахови простори и сурјективно непрекидно линеарно пресликавање. Тада је A отворено пресликавање (односно, ако је отворен, тада је и слика отворен скуп).

Доказ теореме о отвореном пресликавању користи Берову теорему о категорији. Теорема важи и за Фрешеове просторе, који такође имају Берово својство.

Ова теорема има бројне важне последице, међу којима посебно:

  • Ако је бијективно непрекидно линеарно пресликавање Банахових простора X и Y, тада је инверзно пресликавање такође непрекидно, односно A је хомеоморфизам (теорема о инверзном пресликавању, Банахова теорема о изоморфизму).
  • Ако је линеарно пресликавање између Банахових простора X и Y, и ако из и за низ елемената и следи , тада је A непрекидно.

Потоње тврђење се назива теоремом о затвореном графику, пошто тврди да је линеарно пресликавање између Банахових простора непрекидно ако и само ако је његов график затворен подскуп производа .

Комплексна анализа[уреди]

У комплексној анализи, понекад се (посебно у земљама енглеског говорног подручја) теоремом о отвореном пресликавању назива тврђење да је за сваки отворен подскуп и сваку неконстантну холоморфну функцију , скуп отворен; другим речима, свака неконстантна холоморфна функција је отворено пресликавање (слике отворених подскупова су такође отворени подскупови).