Теорија група

С Википедије, слободне енциклопедије
Популарна слагалица Рубикова коцка коју је 1974. године измислио Ерно Рубик коришћена је као илустрација пермутационих група. Погледајте групу Рубикових коцки.

Теорија група је грана математике која се бави проучавањем група. Групе су скупови са операцијом. Операција у групи мора да задовољава затвореност, и да има следећа три додатна својства:

  1. Операција мора да буде асоцијативна.
  2. Мора постојати неутрал.
  3. Сваки елемент мора имати одговарајући инверзан елемент.

Теорија група се користи широм математике а има и примене у физици и хемији. Групе могу бити коначне или бесконачне. Класификација коначних простих група, завршена 1983, је једно од већих математичких достигнућа 20. века.

Рана историја теорије група датира из 19. века. Једно од најважнијих математичких достигнућа 20. века[1] био је заједнички напор, који је заузео више од 10.000 страница часописа и углавном објављен између 1960. и 1980. године, који је кулминирао потпуном класификацијом коначних једноставних група.

Главне класе група[уреди | уреди извор]

Опсег група које се разматрају постепено се проширио од коначних пермутационих група и посебних примера матричних група до апстрактних група које се могу специфицирати кроз презентацију помоћу генератора и релација.[2][3]

Пермутационе групе[уреди | уреди извор]

Прва класа група која је била подвргнута систематској студији биле су пермутационе групе. Ако је дат било који скуп X и колекција G бијекција X у себе (позната као пермутације) која је затворена под композицијама и инверзима, G је група која делује на X. Ако се X састоји од n елемената, а G се састоји од свих пермутација, G је симетрична група Sn; генерално, свака пермутациона група G је подгрупа симетричне групе X. Једна рана конструкција по Кејлијевом предлогу је приказала било коју групу као пермутациону групу, делујући на себе (X = G) помоћу леве регуларне репрезентације.

У многим случајевима, структура пермутационе групе се може проучавати коришћењем особина њеног деловања на одговарајући скуп. На пример, на овај начин се доказује да је за n ≥ 5 алтернативна група An једноставна, тј. да не прихвата ниједну одговарајућу нормалну подгрупу. Ова чињеница игра кључну улогу у немогућности решавања опште алгебарске једначине степена n ≥ 5 у радикалима.

Матричне групе[уреди | уреди извор]

Следећа важна класа група је дата матричним групама, или линеарним групама. Овде је G скуп који се састоји од инверзибилних матрица датог реда n над пољем K које је затворено испод производа и инверзија. Таква група делује на n-димензионални векторски простор Kn линеарним трансформацијама. Ова акција чини матричне групе концептуално сличним пермутационим групама, а геометрија акције се може корисно искористити за успостављање својстава групе G.

Трансформационе групе[уреди | уреди извор]

Пермутационе групе и матричне групе су посебни случајеви трансформационих група: група које делују на одређеном простору X чувајући његову инхерентну структуру. У случају пермутационих група, X је скуп; за матричне групе, X је векторски простор. Концепт трансформационе групе је уско повезан са концептом симетрије групе: трансформационе групе се често састоје од свих трансформација које чувају одређену структуру.

Апстрактне групе[уреди | уреди извор]

Већина група које су разматране у првој фази развоја теорије група биле су „конкретне“, реализоване кроз бројеве, пермутације или матрице. Тек крајем деветнаестог века идеја о апстрактној групи као скупу са операцијама које задовољавају одређени систем аксиома почела је да се примењује. Типичан начин специфицирања апстрактне групе је кроз презентацију помоћу генератора и релација,

Значајан извор апстрактних група дат је конструисањем факторске групе, или количника групе, G/H, групе G помоћу нормалне подгрупе H. Класа групе поља алгебарских бројева биле су међу најранијим примерима факторских група, од велико интереса за теорију бројева. Ако је група G пермутациона група на скупу X, фактор групе G/H више не делује на X; али идеја апстрактне групе дозвољава да се може занемарити овој несклад.

Групе са додатном структуром[уреди | уреди извор]

Важно проширење концепта групе се дешава ако G поседује додатну структуру, посебно тополошког простора, диференцибилне многострукости или алгебарског варијетета. Ако су групне операције m (множење) и i (инверзија),

компатибилне са овом структуром, односно непрекидне, глатке или правилне (у смислу алгебарске геометрије) мапе, онда је G тополошка група, Лијева група или алгебарска група.[4]

Примене теорије група[уреди | уреди извор]

У важније примене теорије група спада и следеће:

  • Групе се често користе да ухвате унутрашњу симетрију других структура. Унутрашња симетрија структуре је обично повезана са инваријантним својством; скуп трансформација које очувавају ово инваријантно својство, заједно са операцијом композиције трансформација чини групу коју називамо симетричном групом . Види и аутоморфизам група.
  • Теорија Галоа, која је историјско извориште концепта групе, користи групе да опише симетрије једначина које задовољавају нуле полинома. Решиве групе су тако назване због њихове важне улоге у овој теорији. Теорија Галоа је првобитно коришћена да докаже да полиноми петог и виших степена не могу (у општем случају) бити решени у затвореној форми на начин на који полиноми нижег степена могу.
  • Абелове групе, које захтевају и својство комутативности , леже у основи неколико других структура које се проучавају у апстрактној алгебри, као што су прстени, поља и модули.
  • У алгебарској топологији, групе се користе да опишу инваријанте тополошких простора. Оне се називају инваријантама јер су дефинисане на такав начин да се не мењају ако се простор подвргне некој деформацији.
  • Разумевање теорије група је такође важно у физици и хемији. У физици, групе су важне јер описују симетрије за које изгледа да их поштују закони физике. Физичари су врло заинтересовани за репрезентације група, посебно Лијевих група, јер ове репрезентације често указују на могуће физичке теорије.
  • У хемији, групе се користе да класификују кристалне структуре, регуларне полиедре и симетрије молекула. Теорија група помаже у одређивању физичких својстава (као што су поларност и хиралност), спектроскопских својстава, и у конструисању молекуларних орбитала.

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Elwes, Richard (децембар 2006), „An enormous theorem: the classification of finite simple groups”, Plus Magazine (41) 
  2. ^ Herstein 1975, стр. 26, §2.
  3. ^ Hall 1967, стр. 1, §1.1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."
  4. ^ This process of imposing extra structure has been formalized through the notion of a group object in a suitable category. Thus Lie groups are group objects in the category of differentiable manifolds and affine algebraic groups are group objects in the category of affine algebraic varieties.

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]

  • History of the abstract group concept
  • Higher dimensional group theory This presents a view of group theory as level one of a theory which extends in all dimensions, and has applications in homotopy theory and to higher dimensional nonabelian methods for local-to-global problems.
  • Plus teacher and student package: Group Theory This package brings together all the articles on group theory from Plus, the online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge, exploring applications and recent breakthroughs, and giving explicit definitions and examples of groups.
  • Burnside, William (1911), „Groups, Theory of”, Ур.: Chisholm, Hugh, Encyclopædia Britannica (на језику: енглески), 12 (11 изд.), Cambridge University Press, стр. 626—636  This is a detailed exposition of contemporaneous understanding of Group Theory by an early researcher in the field.