Тејлоров полином

Како степен Тејлоровог полинома расте, он се све више приближава функцији коју апроксимира. Слика показује функцију $\sin x$ и Тејлорове апроксимације полиномом развијеног до следећих редова степенима 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Експоненцијална функција (плаво), и сума првих n+1 чланова њеног Тејлоровог реда у 0 (црвено).

Тејлорови редови се користе у анализи да се представи дата функција у околини неке тачке по избору као бесконачна сума чланова који се израчунавају из вредности извода функције у тој тачци. Ови редови су добили име по математичару Бруку Тејлору. Сродне тема је наравно Тејлорова формула, којом се служимо да функцију представимо као бесконачан ред.

Дефиниција

Тејлоров ред за неку сталну функцију $f(x)$ са бесконачно пуно извода за изабрану тачку $a$ јесте дефинисан овако:

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Тејлоровим остатком $R_{n}^{a}(x)$ полинома називамо део за који се разликује функција и Тејлоров полином, тј. грешку која се при таквој апроксимацији функције полиномом прави, и он износи:

$R_{n}^{a}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt$

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку $a$ коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

$f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$

Када функција има више аргумената, примењујемо:

$T(x_{1},\cdots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}}}{\partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}$

У случају да добијемо вишедимензионалну функцију, користимо се следећом методом:

$T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )^{T}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots$

где је $\nabla f(\mathbf {a} )$ градијент, а $\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )$ Хесова матрица.

Извод нултог реда од f се дефинише као сама f и (x − a)⁰ и 0! су по дефиницији једнаки 1. Кад је a = 0, серија се исто тако назива Маклоренов ред.

Конвергентност

Тејлоров ред не мора по правилу да конвергира за све $x$. У ствари, он конвергира само онда када остатак, $R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)$, конвергира према 0.

Када је $f(x)$ сама степени ред око тачке $a$, онда је Тејлоров ред идентичан са њим.

Примери

Маклоренов ред за било који полином је поново полином. Маклоренов ред за (1 − x)⁻¹ је геометријски ред

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!$

тако да Тејлоров ред за x⁻¹ u a = 1

$1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!$

Интеграцијом горњег Маклореновогреда проналази се Маклоренов ред за −log(1  − x), gde log означава природни логаритам:

$x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!$

а одговарајући Тејлоров ред за log(x) у a = 1 је

$(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots .\!$

Тејлоров ред за експоненцијалну функцију $e^{x}$ у $a=0$ је

$1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \qquad =\qquad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!$

Горњи израз важи зато што је деривација од e^x такође e^x, а e⁰ једнако је 1. Ово оставља чланове (x − 0)ⁿ у бројиоцу, а n! остају у имениоцу за сваки члан у бесконачној суми.

Пример функције која се не да апроксимирати уз помоћ Тејлорових редова

Тејлоров ред не конвергира увек ка функцији. У следећем примеру Тејлоров ред не одговара функцији ни у једној тачки:

$f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{kada }}x\leq 0\\\mathrm {e} ^{-1/x}&{\mbox{kada }}x>0\end{cases}}$

За вредности $x\leq 0$ извод горње функције је 0. То значи да за свако изабрано $a\leq 0$ добијамо Тејлоров полином који је увек нула. За случај $a>0$ добијамо ред који конвергира само у интервалу $[0,2a]$.

Тејлоров ред са радијусом конвергенције већим од нуле

Многе функције можемо представити као степене редове, који су истовремено и Тејлоров ред те исте функције.

Експоненцијална функција и логаритам

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

$\log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}},\ \ \ \ -1<x\leq +1$

У пракси овај ред конвергира често преспоро, те се зато користи следећа варијанта:

$\log \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}},\ \ \ \ -1<x<+1$

Када изаберемо $x:={\frac {y-1}{y+1}}$ за неко $y>0$, овај ред конвергира ка $\log(y)$.

Тригонометријске функције

За $a=0$ добијамо следеће редове:

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

$\tan(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$, притом је $B_{2n}$ $2n$ по реду Бернулијев број.

$\sec(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$, где је $E_{2n}$ $2n$ по реду Ојлеров број.

Списак Тејлорових редова неких уобичајених функција

Такође погледајте: Списак математичких редова

Косинусна функција у комплексној равни.

Осми степен апроксимације косинусне функције у комплексној равни.

Две горње криве постављене заједно.

Следи неколико важних проширења Мацлауринових редова. Сва ова проширења важе за комплексне аргументе $x\!$.

Експоненцијална функција:

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!$

Природни логаритам:

$\ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ za }}|x|\leq 1,\,x\not =1$

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ za }}|x|\leq 1,\,x\not =-1$

Коначан геометријски ред:

${\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ za }}x\not =1{\text{ i }}m\in \mathbb {N} _{0}\!$

Бесконачан геометријски ред:

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ za }}|x|<1\!$

Варијанте бесконачних геометријских редова:

${\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ za }}|x|<1{\text{ i }}m\in \mathbb {N} _{0}\!$

${\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ za }}|x|<1\!$

Квадратни корен:

${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}{\text{ za }}|x|<1\!$

Биномни ред (укључујући квадратни корен за α = 1/2 и бесконачан геометријски ред за α = −1):

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ za sve }}|x|<1{\text{ i sve kompleksne }}\alpha \!$

са општим биномним коефицијентима

${\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.\!$

Тригонометријске функције:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad =x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ za sve }}x\!$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad =1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ za sve }}x\!$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Где је B Бернулијев број.

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|<1\!$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|\leq 1\!$

Хиперболичка функција:

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {2}{15}}z^{5}-{\frac {17}{315}}z^{7}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|<1\!$

$\mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ za }}|x|<1\!$

Ламбертова W функција:

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}{\text{ za }}|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}\!$

Бројеви B_k, који се појављују у сумирању при развијању tan(x) и tanh(x) представљају Бернулијев број. E_k у развијању sec(x) је Ојлеров број.

Види још

• Тејлорова формула
• Маклоренова формула
• Лоранов ред
• Доказ да су холоморфске функције аналитичке
• Њутнов полином
• Диференцијална машина
• Лагранжова теорема

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing 
• Thomas, George B., Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th изд.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-53174-9 
• Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd изд.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-321431-4 
• Lewis, David W. (1991). Matrix Theory. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0689-5. 
• de Bondt, Michiel; Essen, Arno van den (1. 01. 2005). „Hesse and the Jacobian conjecture”. Affine Algebraic Geometry: Special Session on Affine Algebraic Geometry at the First Joint AMS-RSME Meeting, Seville, Spain, June 18-21, 2003. Contemporary Mathematics. 369. стр. 63—76. ISBN 978-0-8218-3476-3. ISSN 1098-3627. doi:10.1090/conm/369/06804. 
• de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2004). „Singular Hessians”. Journal of Algebra. 282 (1): 195—204. doi:10.1016/j.jalgebra.2004.08.026. 
• Apostol, Tom (1967), Calculus, Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 
• Apostol, Tom (1974), Mathematical analysis, Addison–Wesley 
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011), Introduction to Real Analysis (4th изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6 
• Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6 
• Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 2, Oxford University Press 
• Kline, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach, Dover, ISBN 978-0-486-40453-0 
• Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis, Springer, ISBN 978-0-387-94108-0 
• Stromberg, Karl (1981), Introduction to classical real analysis, Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2 
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1 
• Tao, Terence (2014), Analysis, Volume I (3rd изд.), Hindustan Book Agency, ISBN 978-93-80250-64-9 

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Taylor series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Taylor Series”. MathWorld. 
• Taylor polynomial - practical introduction
• Madhava of Sangamagramma
• Discussion of the Parker-Sochacki Method
• Another Taylor visualisation — where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
• Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate
• Cinderella 2: Taylor expansion
• Taylor series
• Inverse trigonometric functions Taylor series
• „Essence of Calculus: Taylor series” — преко YouTube.