Тејлоров полином

Из Википедије, слободне енциклопедије
(преусмерено са Тејлоров ред)
Иди на навигацију Иди на претрагу
Како степен Тејлоровог полинома расте, он се све више приближава функцији коју апроксимира. Слика показује функцију и Тејлорове апроксимације полиномом развијеног до следећих редова степенима 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Тејлорови редови се користе у анализи да се представи дата функција у околини неке тачке по избору. Ови редови су добили име по математичару Бруку Тејлору. Сродне тема је наравно Тејлорова формула, којом се служимо да функцију представимо као бесконачан ред.

Дефиниција[уреди]

Тејлоров ред за неку сталну функцију са бесконачно пуно извода за изабрану тачку јесте дефинисан овако:

Тејлоровим остатком полинома називамо део за који се разликује функција и Тејлоров полином, тј. грешку која се при таквој апроксимацији функције полиномом прави, и он износи:

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

Када функција има више аргумената, примењујемо:

У случају да добијемо вишедимензионалну функцију, користимо се следећом методом:

где је градијент, а Хесеов матрикс.

Конвергентност[уреди]

Тејлоров ред не мора по правилу да конвергира за све . У ствари, он конвергира само онда када остатак, , конвергира према 0.

Када је сама степени ред око тачке , онда је Тејлоров ред идентичан са њим.

Примери[уреди]

Пример функције која се не да апроксимирати уз помоћ Тејлорових редова[уреди]

Тејлоров ред не конвергира увек ка функцији. У следећем примеру Тејлоров ред не одговара функцији ни у једној тачки:

За вредности извод горње функције је 0. То значи да за свако изабрано добијамо Тејлоров полином који је увек нула. За случај добијамо ред који конвергира само у интервалу .

Тејлоров ред са радијусом конвергенције већим од нуле[уреди]

Многе функције можемо представити као степене редове, који су истовремено и Тејлоров ред те исте функције.

Експоненцијална функција и логаритам[уреди]

У пракси овај ред конвергира често преспоро, те се зато користи следећа варијанта:

Када изаберемо за неко , овај ред конвергира ка .

Тригонометријске функције[уреди]

За добијамо следеће редове:

, притом је по реду Бернулијев број.
, где је по реду Ојлеров број.

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.