Трапезоидно правило

Из Википедије, слободне енциклопедије
Пример трапезоидног правила

Трапезоидним правилом се служимо када нас интересује приближна вредност неког одређеног интеграла . Идеја која стоји иза овог правила је апроксимација функције дужи од тачке до . Она је једна од Њутн-Коутс формула. Оно је једно од најчешћих правила које срећемо у пракси, пре свега због своје једноставности, а посебно је погодна за периодичне функције.

Грешка[уреди]

Грешка при оваквој апроксимацији је:

До овог резултата смо дошли путем Тејлорових редова. Тејлоров ред функција око тачке изгледа овако:

Односно за тачку :

Применимо трапезоидно правило на интеграл (апроксимација интеграла је обележена црвеном бојом, а тачан интеграл плавом):

Погледајмо прецизан интеграл:

Њихова разлика је наравно грешка:

Очигледно је да за грешка расте до бесконачности (јер је реч о бесконачном Тејлоровом реду!), али за је све мања што „се даље иде“. Зато је најчешће овај израз једино и записан као једини релевантан.

Сложено трапезоидно правило[уреди]

Када смо незадовољни резултатом, интервал можемо поделити на више мањих, за сваки појединачно израчунати приближну вредност интеграла трапезоидним правилом и после их све заједно сабрати. Тиме добијамо сложено трапезоидно правило:

,

што такође можемо написати као:

.

Када означимо број тачака са , a размак између њих са , онда је грешка сложеног трапезоидног правила:

Литература[уреди]

  • Milton Abramowitz and Irene Stegun, editors. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.
  • I.S. Gradshteyn (И. С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И. М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Errata. (Several previous editions as well.)
  • A.P. Prudnikov (А. П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю. А. Брычков), O.I. Marichev (О. И. Маричев). Integrals and Series. First edition (Russian), volume 1–5, Nauka, 1981−1986. First edition (English, translated from the Russian by N.M. Queen), volume 1–5, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press, 1988–1992. ISBN 2-88124-097-6.. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
  • Yu.A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008. ISBN 1-58488-956-X..
  • Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Many earlier editions as well.)
  • Meyer Hirsch, Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
  • Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899)