Трапез (геометрија)

„Трапез” преусмерава овде. За друге употребе, погледајте Трапез (вишезначна одредница).

Трапез са својим основним елементима

Трапез је у геометрији конвексни четвороугао коме су две наспрамне странице паралелне. Једна од ове две странице се зове база трапеза, две непаралелне странице се зову краци трапеза. Трапез такође има и две дијагонале (на слици d₁ и d₂) које се увек секу.

Висина трапеза h је растојање између две паралелне странице.

Збир углова на једном од кракова је 180° тј. α + δ = β + γ = 180°.

Специјални случајеви трапеза су:

• једнакокраки трапез, код кога су краци једнаки, такође и углови на основици су једнаки
• правоугли трапез, код кога је један крак управан на базу, тада је тај крак истовремено и висина
• паралелограм, код кога је и други пар страница међусобно паралелан
• ромб, који је паралелограм, али су му и све странице међусобно једнаке
• правоугаоник, који је паралелограм, али су му и све суседне странице међусобно нормалне
• квадрат, коме су све странице међусобно једнаке, а суседне међусобно нормалне

Формуле

Обим	$O=a+b+c+d\,$$O=a+b+c+d\,$
Висина	$h=b\sin {\beta }=d\sin {\alpha }\,$$h=b\sin {\beta }=d\sin {\alpha }\,$ $h\,=\,{\frac {2}{a-c}}{\sqrt {s(s-(a-c))(s-b)(s-d)}},\;s\,=\,{\frac {(a-c)+b+d}{2}}$$h\,=\,{\frac {2}{a-c}}{\sqrt {s(s-(a-c))(s-b)(s-d)}},\;s\,=\,{\frac {(a-c)+b+d}{2}}$
Површина	$P\,=\,{\frac {a+c}{2}}\cdot h$$P\,=\,{\frac {a+c}{2}}\cdot h$
Дијагонале	$d_{1}\,=\,{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \beta }}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2\,c\,d\,\cos \delta }}$$d_{1}\,=\,{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \beta }}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2\,c\,d\,\cos \delta }}$ $d_{2}\,=\,{\sqrt {a^{2}+d^{2}-2\,a\,d\,\cos \alpha }}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cos \gamma }}$$d_{2}\,=\,{\sqrt {a^{2}+d^{2}-2\,a\,d\,\cos \alpha }}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cos \gamma }}$

Једнакокраки трапез

Код једнакокраког трапеза важи да је b = d, такође је α = β одакле следи δ = γ. Последица овога је да је збир наспрамних углова α + γ = β + δ = 180°. Ово је особина тетивних четвороуглова, значи једнакокраки трапез је тетивни четвороугао.

Правоугли трапез

Код правоуглог трапеза је b или d једнако h, а такође важи да је α = δ = 90° ili β = γ = 90°.