Троугаони број

Из Википедије, слободне енциклопедије
Првих шест трухаоних бројева

Троугаони број или троугао број рачуна објекте који могу формирати једнакостранични троугао, као на слици на десној страни. N-ти троугаони број је број тачака које сачињавају троугао са n тачака на страни, и једнак је збиру n природних бројева од 1 до n. Редослед троугаоних бројева (sequence A000217 in OEIS)OEIS), почетак од 0-тог тоугаоног броја је:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406 …

Троугаони бројеви су дати следећим експлицитним формулама:

где је  биномни коефицијент. То представља број различитих парова који се могу одабрати од n + 1 објекти, и то се наглас чита као "n плус један изабрати два".

Карл Фридрих Гаус је тврдио да је пронашао ову везу у својој раној младости, множењем n / 2 парове бројева у збиру од вредности сваког пара n+1.[1] Међутим, без обзира на истинитост ове приче, Гаус није био први који је открио ову формулу, а неки су пронашли да вероватно њено порекло сеже до Питагорејаца до 5. века пре нове ере .[2]

Троугаони број Tn решава "проблем руковања" бројањем руковања ако се свака особа у соби са n + 1 људи рукује једном са сваком особом. Другим речима, решење проблема руковања од n људи је Tn−1.[3] Функција Т је адитив аналогног факторијела функције, која је производ целих бројева од 1 до n.

Број сегмената линија између најближих парова тачака у троуглу може бити заступљен у смислу броја тачака или са рецидивним односом:

У року, однос између два броја, тачки и сегмената линије је

Везе са другим фигуративним бројевима[уреди]

Троугаони бројеви имају широк спектар односа према другим фигуративним бројевима.

Најједноставније речено, збир два узастопна троугаона броја је квадратни број, са збиром квадратне разлике између ова два (а тиме и разлика два квадратна корена суме). Алгебарски,

Алтернативно, иста чињеница може да се демонстрира графички:

6 + 10 = 16 Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg 10 + 15 = 25 Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg

Постоји бесконачно много троугаоних бројева који су такође квадратни бројеви; на пример: 1, 36. Неки од њих могу бити генерисани једноставном рекурзивном формулом:

са 

Сви квадратни троугаони бројеви су нађени рекурзијом

са  и
Квадрат чија је дужина стране троугласти број може да се подели на квадрате и полу-квадрате чије области додају кубове.

Такође, квадрат n-тог троугаоног броја је исти као збир кубова целих бројева од 1 до n.

Збир свих троугаоних бројева до n-тог троугаоног броја је n-ти тетраедарски број,

Уопштено говорећи, разлика између n-тог m-тогоналног броја и n-тог (m + 1)-тогоналног броја је (n − 1)-ти троугаони број. На пример, шести хептагонални број (81) минус шести хексагонални број (66) једнако је петом троугаоном броју, 15. Сваки други троугаони број је хексагоналан број. Познавајући троугаоне бројеве, може се наћи било који центриран полигоналан број: n-ти центриран k-гоналан број се добија из формуле

где је T троугаони број.

Позитивна разлика два троугаона броја је трапезоидни број.

Друга својства[уреди]

Троугласти бројеви који одговарају првостепеном случају Фаулхаберове форумуле.

Наизменични троугаони бројеви (1, 6, 15, 28, ...) су хексагонални бројеви.

Сваки паран савршен број је троугаони (као и шестоугаони), дат формулом

где је Mp  Марсенов прост број. Ниједан непаран савршен број није познат, па су сви познати савршени бројеви троугаони.

На пример, трећи троугаони број је (3 × 2 =) 6, седми је (7 × 4 =) 28, 31. је (31 × 16 =) 496, а 127. је (127 × 64 =) 8128.

У декадном систему, дигитални корен нуле троугаоног броја је увек 1, 3, 6 или 9. Стога сваки троугласти број је или дељив са три или има остатак 1 када се подели бројем девет:

0 = 9 × 0
1 = 9 × 0 + 1
3 = 9 × 0 + 3
6 = 9 × 0 + 6
10 = 9 × 1 + 1
15 = 9 × 1 + 6
21 = 9 × 2 + 3
28 = 9 × 3 + 1
36 = 9 × 4
45 = 9 × 5
55 = 9 × 6 + 1
66 = 9 × 7 + 3
78 = 9 × 8 + 6
91 = 9 × 10 + 1

Образац дигиталног корена за троугаоне бројеве, понављајући сваких девет услова, као што је приказано горе, је "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

Обрнута изјаве горе, међутим, није увек истинита. На пример, дигитални корен броја 12, који није троугаони број, је 3 и дељив са три.

Ако је x is троугаони број, онда је ax + b iтакође троугаони број, где је а непаран квадрат и  b = (a − 1) / 8

Примећујемо да ће b увек бити троугаони број, јер 8 × Tn + 1 = (2n + 1)2, који даје све непарне квадрате откривене множењем троугластог броја бројем 8 и додавањем броја 1, а процес за b за дато a је непаран квадрат супротан од ове операције.

Првих неколико парова овог облика (не рачунајући 1x + 0) су: 9x + 1, 25x + 3, 49x + 6, 81x + 10, 121x + 15, 169x + 21, … итд. Дато x је еквиваленто Tn, ове формуле дају T3n + 1, T5n + 2, T7n + 3, T9n + 4, и тако даље.

Збир свих реципрочних нула троугаоних бројева је:

То се може приказати коришћењем основног збира телескопа серија:

Две друге занимљиве формуле у вези са троугаоним бројевима су:

и

од којих се обе могу лако утврдити било гледајући тачке образаца (види горе) или неком једноставном алгебром.

1796., немачки математичар и научник Карл Фридрих Гаус је открио да је сваки позитиван цео број могуће представити као збир од највише три троугаона броја, написавши у свом дневнику своје чувене речи, "EΥΡHKA! број = Δ + Δ + Δ". Имајте на уму да ова теорема не значи да су троугаони бројеви различити (као у случају 20 = 10 + 10), нити да решење са тачно три нуле троугаоних бројева мора да постоји. Ово је посебан случај Ферматове теореме полигоналног броја.

Најдужи троугаони број облика 2k − 1 је 4095 (види једначину Рамањуам-Нагела)

Васлав Францисзек Сирпински је поставио питање о постојању четири различита троугаона броја у геометријској прогресији. То је претпоставио пољски математичар Казимиерз Сзимицзек да је немогуће. Ову претпоставку су доказали Фанг и Чен 2007. године.[4][5]

Апликације[уреди]

Мрежна топологија n рачунарских уређаја захтева присуство Tn − 1 каблова или других веза; Ово је еквивалентно горенаведеном проблему руковања.

У формату турнира који користи групну фазу роунд-робин, број утакмица које је потребно одиграти између n тимова је еквивалентан троугаоном броју Tn − 1. На пример, група од 4 тима треба да одигра 6 мечева, а група од  8 тимова треба да одигра 28 мечева. Ово је такође еквивалентно проблему руковања и потпуно повезано са  проблемом мреже.

Један од начина обрачунавања депресијације средства је медот збира цифара година, који укључује налаз Tn, где је n дужина у годинама корисног живота средства. Сваке године, средство губи (bs) × (n − y)Tn, где је b почетна вредност средства (у јединици валуте), s је његова коначна вредност за спасавање, n је коначан број година у којима је средство било употребљиво, а y текућа година у распореду депресијације . По овом методу, средство са веком коришћења n = 4 године ће изгубити 4/10 својих "губљивих" вредности у првој години, 3/10 у другој, 2/10 у трећој, и 1/10 у четвртој, срачунавајући коначну депресијацију 10/10 (потпуну) изгубљене вредности.

Троугаони корени и тестови за троугаоне бројеве[уреди]

По аналогији квадратног корена x, може се дефинисати (позитиван) троугаони корен x као број n такав да је Tn = x:[6]

који следи из квадратне формуле. Па је цео број x троугаони ако и само ако је 8x + 1 квадрат. Еквивалентно, ако је позитивни корен n од x цео број, онда је x n-ти троугаони број.[6]

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Hayes, Brian. „Gauss's Day of Reckoning”. American Scientist. Computing Science. Приступљено 16. 04. 2014. 
  2. Eves, Howard. „Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS”. Mathcentral. Приступљено 28. 03. 2015. 
  3. The Handshake Problem | National Association of Math Circles
  4. Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression
  5. Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers
  6. 6,0 6,1 Euler, Leonhard; Lagrange, Joseph Louis (1810), Elements of Algebra, 1 (2nd изд.), J. Johnson and Co., стр. 332—335 

Спољашње везе[уреди]