Унакрсно множење

Из Википедије, слободне енциклопедије

Унакрсно множење је математичка операција, посебно примјењива у основној аритметици и елементарној алгебри, за једначине између два разломка или рационланих израза, кориштена у циљу да би се поједноставила једначина или одредила вредност променљиве.

Примери[уреди]

Дата је једначина:

(где b и d нису нула), унакрсно множење даје:

У Еуклидовој геометрији исти резултат се може постићи коришћењем односа слично као код троугла.

Поступак[уреди]

У пракси, метод унакрсног множења значи да помножимо бројилац сваке (или једне) стране са страном имениоца друге стране, укрштањем:

Математичко оправдање за методу је из следећег математичког поступка. Ако почннемо са основном једначином:

можемо помножити услове на свакој страни са истим бројем, и услови ће остати исти. Дакле, ако помножимо разломак на вакој страни са - bd - добијамо:

Можемо скратити разломак, јер се две појаве на лвој страни могу скратити, као и два понављања d на десној страни, остаје:

и можемо да поделимо обе стране једначине са било којим елементом - у овом случају ћемо узети d - добијамо:

Друго оправдање унакрсног множења је следеће. Узмимо дату једначину:

помножимо са d/d = 1 на левој и са b/b = 1 на десној, добијамо:

и тако:

Уклањањем заједничких именилаца bd = db, остаје нам:

Сваки корак у овим поступцима заснован је на јединственом, основном својству једначина. Унакрсно множење је пречица, лако разумљива процедура коју уче ученици.

Употреба[уреди]

То је уобичајена процедура у математици, коришћена да скрати разломке или израчуна вредност променљиве у разломку. Ако имамо једначину, где је x променљива

можемо да користимо унакрсно множење за одређивање:

На пример, рецимо да желимо да знамо колико ће аутомобил прећи за 7 сати, ако знамо да је његова брзина константна и да је већ путовао 90 километар у последња 3 сата. Претварањем проблема у пропорцију добијамо:

Унакрсним множењем добијамо:

и тако:

И једноставније једначине, као што су:

се решавају коришћењем унакрсног множења, недостаје b члан који је имплицитно једнак 1:

Било која једначина која садржи разломке или рационалне изразе може се поједноставити множењем обе стране са најмањим заједничким садржаоцем. Овај корак се зове чишћење разломака.

Правило Тројке[уреди]

Правило Тројке [1] је скраћена верзија за одређени облик унакрсног множења, који ученици уче напамет. У Француском наставном плану у програму за средње образовање. [2]

За једначине облика:

где је променљива која се израчунава десни именилац, стање Правила Тројке је:

У том контексту, a се назива крајња пропорција, а b и c се назвају средства.

Ово правило је већ познато Јеврејима од 15. века п. н. е. као и посебан случај Kal va-chomer (קל וחומר). Такође је познато по Индијском (Vedic) математичару у 6. веку п. н. е и Кинески математичар пре у 7. веку н.е., [3] иако се у Европи користи много касније. Правило Тројке је стекло популарност зато што га је тешко објаснити: погледати Cocker's Arithmetick.

На пример, Cocker's Arithmetick уводи своју дискусију о Правилу Тројке [4] са проблемом "Ако је 4 јарди тканине коштало 12 шилика, колико ће коштати 6 јарди у тој стопи?" Правило Тројке даје одговоре на ово питање директно; док у модерној математици, ми бисмо га решили увођењем променљиве x за 6 метара платна, записује се једначина:

а затим помоћу унакрсног множења израчунавамо x:

Референце[уреди]

  1. This was sometimes also referred to as the Golden Rule, though that usage is rare compared to other uses of Golden Rule. See E. Cobham Brewer (1898). "Golden Rule". Brewer's Dictionary of Phrase and Fable. Philadelphia: Henry Altemus.
  2. „Socle de connaissances, pilier 3”. French ministry of education. 30. 12. 2012. Приступљено 24. 9. 2015. 
  3. Kangshen, Shen; Crossley, John N.; Anthony W.-C. Lun (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford: Oxford University Press. 
  4. Cocker (1702). стр. 103.

Литература[уреди]

  • Cocker, Edward (1702). Cocker's Arithmetick. London: John Hawkins. стр. 103. 
  • Kangshen, Shen; Crossley, John N.; Anthony W.-C. Lun (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford: Oxford University Press.