Фајнман-Кацова формула

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Фајнман-Кацова формула, названа по Ричарду Фајнману и Марку Кацу, успоставља везу између параболичних парцијалних диференцијалних једначина и стохастичких процеса. Када су Марк Кац и Ричард Фајнман били на Корнелу, Кац је присуствовао Фајнмановом предавању и приметио да њих двојица раде на истој ствари из различитих праваца. Добијена је Фајнман-Кацова формула, која строго доказује стварни случај Фајнманових интегралних путања. Сложени случај, који се јавља када је укључен и спин честице, још није доказан.

Ова формула нуди метод рјешавања одређених парцијелних диференцијалних једначина симулацијом случајних путања стохастичког процеса. Насупрот томе, важна класа очекивања случајних процеса може се израчунати помоћу детерминистичких метода.

Теорема[уреди]

Размотримо парцијалне диференцијалне једначине

дефинисане за све и , који зависе од терминалног стања

гдје су μ, σ, ψ, V, f познате функције, T је параметар, а је непознато. Тада на Фајнман-Кацова формула говори да се рјешење може записати као условно очекивање

под мјером вјероватноће Q, тако да је X Itô процес вођен једначином

где је WQ(t) Винеров процес (такође познат као Брауново кретање) под Q, а почетни услов за X(t) је X(t) = x.

Доказ[уреди]

Доказ да је ова формула рјешење диференцијалне једначине је дуг, тежак и није приказан овде. Међутим, разумно је једноставно показати да, ако постоји рјешење, оно мора имати облик наведен изнад.

Нека је u(x, t) рјешење горе наведене диференцијалне једначине. Примјеном правила производа у Itô процесу на процес

добија се

С обзиром да је

трећи члан је и може се изоставити. Такође имамо да је

Примјеном Itô's леме на , слиједи да

Први члан садржи, у заградама, горњу парцијалну диференцијалну једначину и стога је нула. Оно што остаје је

Интеграцијом овог рјешења од t до T, може се закључити да је

Након узимања очекивања, условљених са Xt = x, и посматрајући да је десна страна Itô интеграл, који има очекивање нула, слиједи да је

Жељени резултат добија се опажањем да је

и напокон

Примјена[уреди]

У финансијској математици, Фајнман-Кацова формула се користи да се ефикасно израчунају рјешења Блек-Шолове једначине за цијене акција.[1]

Референце[уреди]

  1. ^ Brandimarte, Paolo (6. 6. 2013). Numerical Methods in Finance and Economics: A MATLAB-Based Introduction (на језику: енглески). John Wiley & Sons. ISBN 9781118625576.