Фибоначијеви полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Фибоначијеви полиноми дефинишу се следећом рекурзијом:

Сматрају се генерализацијом Фибоначијевога низа.

Својства и Лукасови полиноми[уреди]

Генерирајућа функција Фибоначијевих полинома је:

Првих неколико Фибоначијевих полинома:

Лукасови полиноми користе исту рекурзију, али са нешто другачијим почетним вредностима:

Генерирајућа функција Лукасових полинома је:

Првих неколико Лукасових полинома је:

Постоје и друга својства тих полинома:

Комбинаторна интерпретација[уреди]

Уз помоћ полудијагонала Паскаловога троугла могу да се ичитају Фибоначијеви бројеви (црвено означени). Они представљају суму бројева на полудијагонали.

Ако је F(n,k) коефицијент од xk у Fn(x), тако да је:

онда F(n,k) представља број начина на који се може добити n−1 сумом само помоћу 1 и 2, а при томе се 1 користи к пута. Тако је нпр. F(6,3)=4, јер се 5 може добити на 4 начина:1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1 и 2+1+1+1.

На основу тога следи да је F(n,k) једнак биномном коефицијенту:

Уз помоћ те релације Фибоначијеви бројеви могу да се очитаваку из Паскаловога троугла.

Литература[уреди]