Фробенијусов метод

Из Википедије, слободне енциклопедије

Фробенијусов метод представља један од метода решавања диференцијалних једначина другога реда облика:

где су:

и у близини регуларнога сингуларитета z=0. Поделимо ли са z2 добијамо диференцијалну једначину:

Метода је добила име по немачком математичару Фердинанду Фробенијусу.

Метода[уреди]

Према Фробенијусовој методи тражимо решење у облику реда:

Диференцирањем добијамо:

После тога горе добиујене редове супституирамо у диференцијалну једначину и добијамо:

Иницијални полином је следећи израз:

Према општој дефиницији иницијални полиноми су коефицијенти најнижега степена по z. Општи израз за коефицијенте од zk + r је:

Ти коефицијенти треба да буду једнаки нули, јер они треба да представљају решења диференцијалне једначине, па следи:

Горње решење са Ak је:

и задовољава:

Одаберемо ли један од корена иницијалнога полинома, тада добијамо решење диференцијалне једначине.

Пример[уреди]

Покушамо ли да решимо следећи диференцијалну једначину:

Поделимо ли је са z2 добијамо:

Претпостављамо решења у облику реда:

и та решења супституирамо у горњу једначину:

Померамо индексе последње суме, тако да се добија:

Стартни индекс за k=0 се посебно пише, па се добија:

Једно решење добијамо решавањем иницијалнога полинома r(r − 1) − r + 1 = r2 − 2r + 1 = 0, односно добијамо да је 1 двоструки корен. Користећи тај корен коефицијенти од zk + r − 2 треба да буду нула, шта даје рекурзију:

Пошто је омер рационална функција онда се ред може написати као општи хипергеометријски ред.

Литература[уреди]