Фробенијусов метод

Фробенијусов метод представља један од метода решавања диференцијалних једначина другога реда облика:

$z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0\,$

где су:

$u'\equiv {{du} \over {dz}}$ и $u''\equiv {{d^{2}u} \over {dz^{2}}}$ у близини регуларнога сингуларитета z=0. Поделимо ли са z² добијамо диференцијалну једначину:

$u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^{2}}u=0$

Метода је добила име по немачком математичару Фердинанду Фробенијусу.

Метода

Према Фробенијусовој методи тражимо решење у облику реда:

$u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r},\qquad (A_{0}\neq 0)$

Диференцирањем добијамо:

$u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}$

$u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}$

После тога горе добиујене редове супституирамо у диференцијалну једначину и добијамо:

${\begin{aligned}&{}\quad z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\\&=\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\end{aligned}}$

Иницијални полином је следећи израз:

$r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)\,$

Према општој дефиницији иницијални полиноми су коефицијенти најнижега степена по z. Општи израз за коефицијенте од z^k + r је:

$I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}$

Ти коефицијенти треба да буду једнаки нули, јер они треба да представљају решења диференцијалне једначине, па следи:

$I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}=0$

$\sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}=-I(k+r)A_{k}$

${1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}=A_{k}$

Горње решење са A_k је:

$U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}$

и задовољава:

$z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}\!\;$

Одаберемо ли један од корена иницијалнога полинома, тада добијамо решење диференцијалне једначине.

Пример

Покушамо ли да решимо следећи диференцијалну једначину:

$z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0\,$

Поделимо ли је са z² добијамо:

$f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0$

Претпостављамо решења у облику реда:

$f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}$

$f'=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}$

$f''=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}$

и та решења супституирамо у горњу једначину:

${\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{1 \over z^{2}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\end{aligned}}$

Померамо индексе последње суме, тако да се добија:

${\begin{aligned}&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\end{aligned}}$

Стартни индекс за k=0 се посебно пише, па се добија:

${\begin{aligned}&=((r)(r-1)A_{0}z^{r-2})+\sum _{k=1}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-((r)A_{0}z^{r-2})-\sum _{k=1}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}\\&{}+(A_{0}z^{r-2})+\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r(r-1)-r+1)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1)A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}$

Једно решење добијамо решавањем иницијалнога полинома r(r − 1) − r + 1 = r² − 2r + 1 = 0, односно добијамо да је 1 двоструки корен. Користећи тај корен коефицијенти од z^{k + r − 2} треба да буду нула, шта даје рекурзију:

$((k+1)(k)-(k+1)+1)A_{k}-A_{k-1}=(k^{2})A_{k}-A_{k-1}=0\,$

$A_{k}={A_{k-1} \over k^{2}}$

Пошто је омер $A_{k}/A_{k-1}$ рационална функција онда се ред може написати као општи хипергеометријски ред.

Литература

• Фробенијусова метода
• Фробенијусов метод