Хамилтонијан

Из Википедије, слободне енциклопедије

Хамилтонијан је функција или оператор, у зависности од тога да ли се користи у контексту класичне или квантне механике, који је од централног значаја за опис временске еволуције у физици.

Хамилтонијан у класичној физици[уреди]

У класичној физици Хамилтонијан је дефинисан као Лежандрова трансформација лагранжијана. Наиме, како се узима да је лагранжијан функција генералисаних координата, генералисаних брзина и времена у ситуацији у којој је погодније користити генералисане импулсе потребно је извршити трансформацију која ће довести до појаве тражене зависности. Дотична трансформација је лежандрова трансформација и у њој се зависност од генералисаних брзина смењује зависношћу од генералисаних импулса. Она гласи

, где , n је број степени слободе система, L лагранжијан система, а генералисане координате, генералисане брзине, генералисани импулси и време респективно. Ово је истовремено дефинициона релација за хамилтонијан. У случају када је кинетичка енергија система хомогена квадратна функција генералисаних брзина хамилтонијан је једнак укупној енергији система. Ово је најчешћи случај и хамилтонијан се често поистовећује са укупном енергијом система.

Изражене преко хамилтонијана, једначине кретања система (које се зову Хамилтонове једначине) гласе

, где представља непотенцијалне генералисане силе. Ове једначине пружају неколико погодности, међу којима су: импулси и координате фигуришу симетрично у једначинама и једначине су диференцијалне једначине првог реда.

Хамилтонов формализам у класичној механици је такође значајан зато што показује аналогије између класичне и квантне механике.

Хамилтонијан у квантној механици[уреди]

У квантној механици хамилтонијан је хермитски оператор и придружен је опсервабли енергије. Временску еволуцију квантног система диктира хамилтонијан преко Шредингерове једначине

, где је хамилтонијан, а стање система.

Како хамилтонијан представља енергију, његове својствене вредности представљају могуће енергије које систем може да поседује. Свака опсервабла чији оператор комутира са хамилтонијаном представља одржану величину.