Хамилтонијан

С Википедије, слободне енциклопедије
Пређи на навигацију Пређи на претрагу
Први систем описан Хамилтоновим формализмом било је математичко клатно.

Хамилтонијан у физици је функција или оператор, у зависности од тога да ли се користи у контексту класичне или квантне механике, који је од централног значаја за опис временске еволуције у физици.

Хамилтонијан је у физику уведен када је увиђено да је Њутнове законе кретања лакше представити преко неке одржане величине у том кретању. Једна од често одржаних величина при кретању је енергија.[1] Хамилтонијан је функција која има значење енергије. Хамилтонијан изражава се преко генералисаних координата (), генералисаних импулса () и времена ().

Хамилтонов формализам преко Хамилтонијана користи се у великом броју области у физици у проблемима при којима је дисипација занемарљива, као што су квантна механика, електромагнетизам, статистичка механика, квантна теорија поља, итд.[2]

Хамилтонов формализам[уреди | уреди извор]

Механичко кретање честица се може објаснити коришћењем Њутнових закона и решавањем диференцијалних једначина које укључују све силе које се налазе у систему, добијају се закони кретања тела. Некад је проблеме кретања немогуће решити аналитички, али Њутнов приступ решавању увек даје барем нумеричко решење за проблеме кретања тела. Њутнов приступ се и данас се користи у многим применама, као у инжењерству, машинству, итд.

Током 18-ог и 19-ог века, Ојлер, Лагранж, Хамилтон, Јакоби и многи други су Њутнове законе представили на други начин, без разматрања сила, а посматрањем физичких величина које се одржавају у кретању (тзв. константе кретања). Хамилтонијан је у физику уведен 1833. године као функција генералисаних координата (), генералисаних импулса () и времена () која има значење енергије. Слично је Лагранжијан уведен 1788. године као функција генералисаних координата (), генералисаних брзина () и времена ().

Предност Лагранжевог формализма у односу на Њутнов формализам је што разматрајући симетрије које већ постоје у систему (разматрањем константи кретања), једначине кретања у њима имају једноставнији облик. Облик једначина кретања у новим формализмима је посебно једноставнији у системима у којима постоје ограничења на положаје и брзине. Данашња класична теоријска механика је формулисана у Лагранжевом и Хамилтоновом формализму. Хамилтонов и Лагранжев формализам су еквивалентни у смислу да постоји трансформација (Лежандрова трансформација) помоћу које се прелази из једног у други.

Посебни значај Хамилтоновог формализма и разлог зашто се и додатно и он користи у класичној механици (иако је еквивалентан са Лагранжевим формализмом у којем и саме једначине кретања имају једноставнији облик од облика у Хамилтоновом формализму), лежи у томе што се овим приступом може формулисати квантна механика. Тиме се при формулацији и разумевању квантне механике може направити аналогија са класичном механиком.[3]

Хамилтонијан у класичној физици[уреди | уреди извор]

У класичној физици Хамилтонијан је дефинисан као Лежандрова трансформација Лагранжијана. Како је Лагранжијан функција генералисаних координата (), генералисаних брзина () и времена (), у ситуацији у којој је погодније користити генералисане импулсе () уместо брзина, потребно је задатак преформулисати преко нових променљивих. Трансформација којом се зависност од генералисаних брзина смењује зависношћу од генералисаних импулса је Лежандрова трансформација. Хамилтонијан се дефинише као:

, где , n је број степени слободе система, Лагранжијан система, а генералисане координате, генералисане брзине, генералисани импулси и време, респективно. Веза између генералисаних координата и генералисаних импулса се добија из система једначина:

, где је

У случају када је кинетичка енергија система хомогена квадратна функција генералисаних брзина, Хамилтонијан је једнак укупној енергији система. Ово је чест случај и Хамилтонијан се често поистовећује са укупном енергијом система.

Хамилтонове једначине[уреди | уреди извор]

Хамилтонове или канонске једначине кретања су једначине кретања изражене у Хамилтовом формализму:

, где представља непотенцијалне генералисане силе. Ове једначине пружају неколико погодности, међу којима су да импулси и координате фигуришу симетрично у једначинама и да су једначине диференцијалне једначине првог реда, за разлику од диференцијалних једначина другог реда у Њутновом формализму. Од једначина другог реда у Њутновом и Лагранжевом формализму, добијају се једначина првог реда у Хамилтоновом формализму. Да би се Хамилтонове једначине решиле, потребно је знати почетних услова.

Хамилтонијан у квантној механици[уреди | уреди извор]

У квантној механици хамилтонијан је хермитски оператор и придружен је опсервабли енергије. Временску еволуцију квантног система диктира хамилтонијан преко Шредингерове једначине

, где је хамилтонијан, а стање система.

Како хамилтонијан представља енергију, његове својствене вредности представљају могуће енергије које систем може да поседује. Свака опсервабла чији оператор комутира са хамилтонијаном представља одржану величину.

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ „16.3 The Hamiltonian”. math.mit.edu. Приступљено 2019-10-14. 
  2. ^ „Hamiltonian - an overview | ScienceDirect Topics”. www.sciencedirect.com. Приступљено 2019-10-14. 
  3. ^ Voja Radanović. „Lagranževa i Hamiltonova mehanika” (PDF).