Хелмхолцова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије

Хелмхолцова теорема или Хелмхолцова декомпозиција представља једну од теорема векторскога рачуна. Према тој теореми ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље одређени у свакој тачки коначне области, тада унутар ње векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну. Хелмолцова теорема је добила име по Херману фон Хелмхолцу.

Теорем[уреди]

Ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље одређени у свакој тачки коначне области, тада се унутар те области то векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну, тј:

где је:

и

То заправо значи да се такво векторско поље може генерирати са два потенцијала, једним скаларним и другим векторским .

Потенцијали[уреди]

Пошто је:

Онда се те две функције даду изразити преко скаларнога потенцијала и векторскога потенцијала тј:

односно:

При томе је:

Ако опада довољно брзо у бесконачности, тада друга компонента тежи нули, па вреди:

Лонгитудинална и трансверзална поља[уреди]

Често се у физици те две компоненте векторскога поља помињу као лонгитудинална и трансверзална компонента. Таква терминологија настала је када се Фуријеовом трансформацијом од поља добије поље , које се онда у свакој тачки k декомпонира у две компоненте, од којих је лонгитудиналан у смеру k, а трансверзална вертикална на k. Тада имамо:

Инверзном Фуријеровом трансформацијом добијамо:

што представља Хелмхолцову декомпозицију.

Литература[уреди]