Хелмхолцова једначина

Хелмхолцова једначина је елиптична парцијална диференцијална једначина:

$(\Delta +k^{2})U=0$

где $\Delta =\nabla ^{2}$ представља Лапласов оператор, $k$ је таласни број, а $U$ амплитуда. Нехомогена Хелмхолцова једначина је облика:

$(\Delta +k^{2})U=f$

Извод

Може се приметити да у Хелмхолцовој једначини нема оператора који представљају изводе по времену. Хелмхолцова једначина може да се добије из таласне једначине:

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.$ (1)

Претпоставља се да се таласна функција даде решити сепарацијом променљивих по простору и времену:

$u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).$ (2)

Уврштавајући (2) у (1) добијамо следећу једначину:

${\nabla ^{2}A \over A}={1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}.$ (3)

Лева страна једначине (3) зависи само од просторних координата, а десна страна од времена. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине:

${\nabla ^{2}A \over A}=-k^{2}$ (4)

и

${1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}=-k^{2}$ (5)

Преуређујући једначину (4) добијамо:

$\nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.$ (6)

а преуређујући једначину (5) уз помоћ супституције $\omega {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}kc$ добија се:

${\frac {d^{2}{T}}{d{t}^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({d^{2} \over dt^{2}}+\omega ^{2}\right)T=0,$

При томе k је таласни вектор, а ω је угаона фреквенција.

Решавање Хелмхолцове једначине сепарацијом променљивих

За Хелмхолцову једначину:

$(\nabla ^{2}+k^{2})A=0$ (7)

Лапласијан се у поларним координатама пише као:

${\begin{aligned}\Delta A&={1 \over r}{\partial \over \partial A}\left(r{\partial A \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}&={1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}.\end{aligned}}$

Због тога једначина (7) постаје:

${1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}+(k^{2})A=0$ (8)

Једначину покушавамо да решимо сепарацијом варијабли:

$A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),\,$

гдее Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:

$\Theta ''+n^{2}\Theta =0,\,$ (9)

и

$r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.\,$ (10)

Решења од (9) и (10) су:

$\Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,\,$

$R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),\,$

где је $J_{n}(\rho )$ Беселова функција, која је решење Беселове једначине:

$\rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,$

Тродимензионално решење у сферним координатама

У сферним координатама опште решење Хелмхолцове једначине је:

$A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr))Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi }).$

где су $j_{\ell }(kr)$ и $y_{\ell }(kr)$ сферне Беселове функције, а :$Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi })$ представља сферне хармонике.

Нехомогена Хелмхолцова једначина

Нехомогена Хелмхолцова једначина:

$(\Delta +k^{2})U=f$

рјешава се уз помоћ Гринове функције, односно:

$\nabla ^{2}G(x)+k^{2}G(x)=\delta (x).\,$

Пошто је:

$(\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{ik|x|}=e^{ik|x|}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad} \,\,e^{ik|x|},\operatorname {grad} {\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{ik|x|}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{ik|x|}=$

$=-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).$

онда је тродимензионална Гринова функција:

$G_{1}(x)=-{\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}},\qquad G_{2}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}}.$

Горе написане једначине могу да се пишу у векторском облику као:

$\left(\Delta +k^{2}\right)G({\vec {r}},{\vec {r}}')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$

а Гринова функција као:

$G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-{\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$

Решење нехомогене Хелмхолцове једначине се онда може приказати помоћу Гринове функције као: $U({\vec {r}})=\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}')G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$

Литература

• Korn GA and Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. 1961. , McGraw-Hill.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 1965. ISBN 978-0-486-61272-0. 
• Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953. ISBN 978-0-07-043316-8. 
• Хелмхолцове једначине