Хелмхолцова једначина

Из Википедије, слободне енциклопедије

Хелмхолцова једначина је елиптична парцијална диференцијална једначина:

где представља Лапласов оператор, је таласни број, а амплитуда. Нехомогена Хелмхолцова једначина је облика:

Извод[уреди]

Може се приметити да у Хелмхолцовој једначини нема оператора који представљају изводе по времену. Хелмхолцова једначина може да се добије из таласне једначине:

(1)

Претпоставља се да се таласна функција даде решити сепарацијом променљивих по простору и времену:

(2)

Уврштавајући (2) у (1) добијамо следећу једначину:

(3)

Лева страна једначине (3) зависи само од просторних координата, а десна страна од времена. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине:

(4)

и

(5)

Преуређујући једначину (4) добијамо:

(6)

а преуређујући једначину (5) уз помоћ супституције добија се:

При томе k је таласни вектор, а ω је угаона фреквенција.

Решавање Хелмхолцове једначине сепарацијом променљивих[уреди]

За Хелмхолцову једначину:

(7)

Лапласијан се у поларним координатама пише као:

Због тога једначина (7) постаје:

(8)

Једначину покушавамо да решимо сепарацијом варијабли:

гдее Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:

(9)

и

(10)

Решења од (9) и (10) су:

где је Беселова функција, која је решење Беселове једначине:

Тродимензионално решење у сферним координатама[уреди]

У сферним координатама опште решење Хелмхолцове једначине је:

где су и сферне Беселове функције, а : представља сферне хармонике.

Нехомогена Хелмхолцова једначина[уреди]

Нехомогена Хелмхолцова једначина:

рјешава се уз помоћ Гринове функције, односно:

Пошто је:

онда је тродимензионална Гринова функција:

Горе написане једначине могу да се пишу у векторском облику као:

а Гринова функција као:

Решење нехомогене Хелмхолцове једначине се онда може приказати помоћу Гринове функције као:

Литература[уреди]

  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
  • Хелмхолцове једначине