Хомотопске групе

У математици, хомотопске групе се користе у алгебарској топологији за класификацију тополошких простора. Прва и најједноставнија хомотопска група је фундаментална група, која се означава са $\pi _{1}(X),$ а која бележи информације о петљама у простору. Интуитивно, хомотопске групе бележе информације о основном облику, или „рупама”, тополошког простора.

Да би се дефинисала n-та хомотопска група, пресликавања која чувају базну тачку са n-димензионалне сфере (са базном тачком) у дати простор (са базном тачком) сакупљају се у класе еквиваленције, које се називају хомотопске класе. Два пресликавања су хомотопна ако се једно може непрекидно деформисати у друго. Ове хомотопске класе чине групу, која се назива n-та хомотопска група, $\pi _{n}(X),$ датог простора X са базном тачком. Тополошки простори са различитим хомотопским групама никада нису хомеоморфни, али тополошки простори који нису хомеоморфни могу имати исте хомотопске групе.

Појам хомотопије путева увео је Камиј Жордан.

Увод

У савременој математици уобичајено је да се проучава категорија придруживањем сваком објекту те категорије једноставнијег објекта који ипак задржава довољно информација о објекту од интереса. Хомотопске групе су такав начин придруживања група тополошким просторима.

Торус

Сфера

Та веза између топологије и група омогућава математичарима да примене увиде из теорије група на топологију. На пример, ако два тополошка објекта имају различите хомотопске групе, они не могу имати исту тополошку структуру — чињеница коју може бити тешко доказати коришћењем само тополошких средстава. На пример, торус се разликује од сфере: торус има „рупу”; сфера је нема. Међутим, пошто се непрекидност (основни појам топологије) бави само локалном структуром, може бити тешко формално дефинисати очигледну глобалну разлику. Хомотопске групе, међутим, носе информације о глобалној структури.

Што се тиче примера: прва хомотопска група торуса $T$ је $$\pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},$$ јер је универзални наткривач торуса Еуклидска раван $\mathbb {R} ^{2},$ која се пресликава на торус $T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.$ Овде је количник у категорији тополошких простора, а не група или прстена. С друге стране, сфера $S^{2}$ задовољава: $$\pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,$$ јер се свака петља може контраховати (скупити) у константно пресликаваје (погледати хомотопске групе сфера за овај и сложеније примере хомотопских група). Дакле, торус није хомеоморфан сфери.

Дефиниција

У n-сфери $S^{n}$ бирамо базну тачку a. За простор X са базном тачком b, дефинишемо $\pi _{n}(X)$ као скуп хомотопских класа пресликавања $$f:S^{n}\to X\mid f(a)=b$$ која пресликавају базну тачку a у базну тачку b. Конкретно, класе еквиваленције су дате хомотопијама које су константне на базној тачки сфере. Еквивалентно, дефинишемо $\pi _{n}(X)$ као групу хомотопских класа пресликавања $g:[0,1]^{n}\to X$ са n-коцке у X која преводе границу n-коцке у b.

Композиција у фундаменталној групи

За $n\geq 1,$ хомотопске класе чине групу. Да бисмо дефинисали операцију групе, подсетимо се да је у фундаменталној групи производ $f\ast g$ две петље $f,g:[0,1]\to X$ дефинисан постављањем $$f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$$

Идеја композиције у фундаменталној групи је путовање првом путањом, а затим другом узастопно, или, еквивалентно, спајање њихова два домена заједно. Концепт композиције који желимо за n-ту хомотопску групу је исти, осим што су сада домени које спајамо коцке, и морамо их залепити дуж једне стране. Стога дефинишемо збир пресликавања $f,g:[0,1]^{n}\to X$ формулом $$(f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$$

За одговарајућу дефиницију преко сфера, дефинишемо збир $f+g$ пресликавања $f,g:S^{n}\to X$ као $\Psi$ компоновано са h, где је $\Psi$ пресликавање са $S^{n}$ на букет две n-сфере које сажима екватор, а h је пресликавање са букета две n-сфере у X које је дефинисано као f на првој сфери и g на другој.

Ако је $n\geq 2,$ тада је $\pi _{n}$ абелова. Даље, слично фундаменталној групи, за путевима повезан простор било која два избора базне тачке дају изоморфне $\pi _{n}.$

Примамљиво је покушати поједноставити дефиницију хомотопских група изостављањем базних тачака, али то обично не функционише за просторе који нису просто повезани, чак ни за путевима повезане просторе. Скуп хомотопских класа пресликавања са сфере у путевима повезан простор није хомотопска група, већ је суштински скуп орбита фундаменталне групе на хомотопској групи, и уопштено нема природну структуру групе.

Излаз из ових потешкоћа пронађен је дефинисањем виших хомотопских групоида филтрираних простора и n-коцки простора. Они су повезани са релативним хомотопским групама и са n-адским хомотопским групама респективно. Теорема виша хомотопија ван Кампена тада омогућава извођење нових информација о хомотопским групама, па чак и о хомотопским типовима. За више позадине и референци, видети „Higher dimensional group theory” и референце испод.

Дуги егзактни низ фибрације

Нека $p:E\to B$ буде Серова фибрација која чува базну тачку са влакном $F,$ то јест, пресликавање које поседује својство подизања хомотопије у односу на CW комплексе. Претпоставимо да је B путевима повезан. Тада постоји дуги егзактни низ хомотопских група $$\cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.$$

Овде пресликавања која укључују $\pi _{0}$ нису хомоморфизми група јер $\pi _{0}$ нису групе, али су егзактни у смислу да је слика једнака језгру.

Пример: Хопфова фибрација. Нека је B једнако $S^{2}$ и E једнако $S^{3}.$ Нека p буде Хопфова фибрација, која има влакно $S^{1}.$ Из дугог егзактног низа $$\cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots$$

и чињенице да је $\pi _{n}(S^{1})=0$ за $n\geq 2,$ налазимо да је $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ за $n\geq 3.$ Конкретно, $\pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .$

У случају наткривајућег простора, када је влакно дискретно, имамо да је $\pi _{n}(E)$ изоморфно са $\pi _{n}(B)$ за $n>1,$ да се $\pi _{n}(E)$ улаже инјективно у $\pi _{n}(B)$ за свако позитивно $n,$ и да подгрупа од $\pi _{1}(B)$ која одговара улагању $\pi _{1}(E)$ има косете у бијекцији са елементима влакна.

Када је фибрација влакно пресликавања, или дуално, кофибрација је конус пресликавања, тада је резултујући егзактни (или дуално, коегзактни) низ дат Пупеовим низом.

Хомогени простори и сфере

Постоји много реализација сфера као хомогених простора, који пружају добре алате за израчунавање хомотопских група Лијевих група и класификацију главних раслојења на просторима сачињеним од сфера.

Специјална ортогонална група

Постоји фибрација $$\mathrm {SO} (n-1)\to \mathrm {SO} (n)\to \mathrm {SO} (n)/\mathrm {SO} (n-1)\cong S^{n-1}$$ која даје дуги егзактни низ $$\cdots \to \pi _{i}(\mathrm {SO} (n-1))\to \pi _{i}(\mathrm {SO} (n))\to \pi _{i}\left(S^{n-1}\right)\to \pi _{i-1}(\mathrm {SO} (n-1))\to \cdots$$ који израчунава хомотопске групе нижег реда за $\pi _{i}(\mathrm {SO} (n-1))\cong \pi _{i}(\mathrm {SO} (n))$ за $i<n-1,$ будући да је $S^{n-1}$ $(n-2)$-повезано. Конкретно, постоји фибрација

$$\mathrm {SO} (3)\to \mathrm {SO} (4)\to S^{3}$$ чије се ниже хомотопске групе могу експлицитно израчунати. Пошто је $\mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {RP} ^{3},$ и постоји фибрација $$\mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$$ имамо $\pi _{i}(\mathrm {SO} (3))\cong \pi _{i}(S^{3})$ за $i>1.$ Користећи ово, и чињеницу да је $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,$ што се може израчунати помоћу Постниковљевог система, имамо дуги егзактни низ $${\begin{aligned}\cdots \to {}&\pi _{4}(\mathrm {SO} (3))\to \pi _{4}(\mathrm {SO} (4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{3}(\mathrm {SO} (3))\to \pi _{3}(\mathrm {SO} (4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{2}(\mathrm {SO} (3))\to \pi _{2}(\mathrm {SO} (4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}$$

Пошто је $\pi _{2}\left(S^{3}\right)=0$ имамо $\pi _{2}(\mathrm {SO} (4))=0.$ Такође, средњи ред даје $\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ јер је повезујуће пресликавање $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)$ тривијално. Такође, можемо знати да $\pi _{4}(\mathrm {SO} (4))$ има две торзије.

Примена на раслојења сфера

Милнор је искористио чињеницу $\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ да класификује раслојења 3-сфере над $S^{4},$ конкретно, успео је да пронађе егзотичне сфере које су глатке многострукости назване Милнорове сфере, које су само хомеоморфне са $S^{7},$ а не дифеоморфне. Треба напоменути да се свако раслојење сфере може конструисати из $4$-векторског раслојења, које има структурну групу $\mathrm {SO} (4)$ јер $S^{3}$ може имати структуру оријентисане Риманове многострукости.

Комплексни пројективни простор

Постоји фибрација $$S^{1}\to S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}$$ где је $S^{2n+1}$ јединична сфера у $\mathbb {C} ^{n+1}.$ Овај низ се може користити да се покаже проста повезаност $\mathbb {CP} ^{n}$ за све $n.$

Методе израчунавања

Израчунавање хомотопских група је генерално много теже него неких других хомотопских инваријанти које се уче у алгебарској топологији. За разлику од Сајферт-ван Кампенове теореме за фундаменталну групу и теореме о исецању за сингуларну хомологију и кохомологију, не постоји једноставан познат начин за израчунавање хомотопских група простора разлагањем на мање просторе. Међутим, методе развијене 1980-их које укључују теорему типа ван Кампена за више хомотопске групоиде омогућиле су нове прорачуне на хомотопским типовима, па тако и на хомотопским групама. За пример резултата погледати рад Елиса и Михајлова из 2010. године.

За неке просторе, као што су торуси, све више хомотопске групе (то јест, друга и више хомотопске групе) су тривијалне. То су асферични простори. Међутим, упркос интензивном истраживању у израчунавању хомотопских група сфера, чак ни у две димензије није позната комплетна листа. За израчунавање чак и четврте хомотопске групе $S^{2}$ потребне су много напредније технике него што дефиниције сугеришу. Конкретно, Серова спектрална секвенца је конструисана управо за ову сврху.

Одређене хомотопске групе n-повезаних простора могу се израчунати поређењем са групама хомологије путем Хуревичеве теореме.

Списак метода за израчунавање хомотопских група

• Дуги егзактни низ хомотопских група фибрације.
• Хуревичева теорема, која има неколико верзија.
• Блејкерс–Масијева теорема, такође позната као исецање за хомотопске групе.
• Фројденталова теорема о суспензији, последица исецања за хомотопске групе.

Релативне хомотопске групе

Такође постоји корисна генерализација хомотопских група, $\pi _{n}(X),$ која се назива релативне хомотопске групе $\pi _{n}(X,A)$ за пар $(X,A),$ где је A потпростор од $X.$

Конструкција је мотивисана запажањем да за инклузију $i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ постоји индуковано пресликавање на свакој хомотопској групи $i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)$ које генерално није инјекција. Заиста, елементи језгра су познати разматрањем представника $f:I^{n}\to X$ и узимањем базне хомотопије $F:I^{n}\times I\to X$ у константно пресликавање $x_{0},$ или другим речима $H_{I^{n}\times 1}=f,$ док је рестрикција на било коју другу граничну компоненту $I^{n+1}$ тривијална. Стога, имамо следећу конструкцију:

Елементи такве групе су хомотопске класе базних пресликавања $D^{n}\to X$ која носе границу $S^{n-1}$ у A. Два пресликавања $f,g$ се називају хомотопним релативно у односу на A ако су хомотопна хомотопијом која чува базну тачку $F:D_{n}\times [0,1]\to X$ тако да је за свако p у $S^{n-1}$ и t у $[0,1]$, елемент $F(p,t)$ у A. Приметити да се обичне хомотопске групе добијају као посебан случај у којем је $A=\{x_{0}\}$ синглтон (једночлани скуп) који садржи базну тачку.

Ове групе су абелове за $n\geq 3$ али за $n=2$ чине горњу групу укрштеног модула са доњом групом $\pi _{1}(A).$

Постоји и дуги егзактни низ релативних хомотопских група који се може добити преко Пупеовог низа:

$\cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots$

Сродни појмови

Хомотопске групе су фундаменталне за теорију хомотопије, која је заузврат подстакла развој моделних категорија. Могуће је дефинисати апстрактне хомотопске групе за симплицијалне скупове.

Групе хомологије су сличне хомотопским групама по томе што могу представљати „рупе” у тополошком простору. Међутим, хомотопске групе су често веома сложене и тешке за израчунавање. Насупрот томе, групе хомологије су комутативне (као и више хомотопске групе). За дати тополошки простор $X,$ његова n-та хомотопска група се означава са $\pi _{n}(X),$ а његова n-та група хомологије се означава са $H_{n}(X)$ или $H_{n}(X;\mathbb {Z} ).$

Види још

• Фибрација
• Хопфова фибрација
• Хопфова инваријанта
• Теорија чворова
• Хомотопска класа
• Хомотопске групе сфера
• Тополошка инваријанта
• Хомотопска група са коефицијентима
• Тачкасти скуп

Литература

• Ronald Brown, `Groupoids and crossed objects in algebraic topology', Homology, Homotopy and Applications, 1  1–78.
• Ronald Brown, Philip J. Higgins, Rafael Sivera (2011). Nonabelian Algebraic Topology. EMS Tracts in Mathematics. 15. Zürich: European Math. Society. ISBN 978-3-03719-083-8. MR 2841564. doi:10.4171/083. CS1 одржавање: Вишеструка имена: списак аутора (веза)
• Čech, Eduard (1932), „Höherdimensionale Homotopiegruppen”, Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich .
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1 
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Homotopy group”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Hopf, Heinz (1931), „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”, Mathematische Annalen, 104 (1): 637—665, doi:10.1007/BF01457962 .
• Kamps, Klaus H.; Porter, Timothy (1997). Abstract homotopy and simple homotopy theory. River Edge, NJ: World Scientific Publishing. ISBN 981-02-1602-5. MR 1464944. doi:10.1142/9789812831989. 
• Toda, Hiroshi (1962). Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8. MR 0143217. 
• Whitehead, George William (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics. 61 (3rd изд.). New York-Berlin: Springer-Verlag. стр. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508.