Чебишевљеви полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Чебишевљеви полиноми су ортогонални полиноми и . Чебишевљеви полиноми првога реда представљају решења диференцијалне једначине:

Чебишевљеви полиноми другога реда представљају решења диференцијалне једначине:

Те диференцијалне једначине су Штурм-Лијувиловога облика. Полиноми су добили назив у част рускога математичара Пафнутија Чебишева.

Чебишевљеви полиноми првога реда, T_1 је означен црвеном, T_2 плавом, T_3 зеленом и T_4 окер бојом

Дефиниција полинома првога реда[уреди]

Полиноми првога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:

Најчешћа генерирајућа функција Чебишевљевих полинома је:

Постоје још две друге генерирајуће функције:

и

Дефиниција полинома другога реда[уреди]

Полиноми другога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:

Генерирајућа функција је дана са:

Ортогоналност[уреди]

Чебишевљеви полиноми првога и другога реда представљају ортогоналне полиноме. Полиноми првога реда ортогонални су са тежинском функцијом на интервалу (−1,1), па је релација ортогоналности:

Полиноми другога реда су ортогонални са тежинским фактором па је релација ортогоналности:

Везе између полинома првога и другога реда[уреди]

, за непарни n.
, за парни n.

Тригонометријска дефиниција[уреди]

Чебишевљеви полиноми првога реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:

где је:

Чебишевљеви полиноми другога реда реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:

Разне једначине и релације[уреди]

Чебишевљеви полиноми могу да се дефинишу и као решења Пелове једначине:

Релација рекурзије за изводе Чебишевљивих полинома је:

Туранове неједначине за Чебишевљеве полиноме су облика:

и
Чебишевљеви полиноми другога реда

Примери[уреди]

Неколико првих Чебишевљевих полинома првога реда:

Неколико првих Чебишевљевих полинома другога реда:

Литература[уреди]