Шлефлијев симбол

Додекаедар је правилни полиедар са Шлефлијевим симболом {5,3}, који има 3 петоугла око сваког темена.

У геометрији, Шлефлијев симбол је нотација облика $\{p,q,r,...\}$ која дефинише правилне политопе и теселације.

Шлефлијев симбол је назван по швајцарском математичару из 19. века Лудвигу Шлефлију, који је генерализовао еуклидску геометрију на више од три димензије и открио све њихове конвексне правилне политопе, укључујући и шест који се јављају у четири димензије.

Дефиниција

Шлефлијев симбол је рекурзивни опис, који почиње са $\{p\}$ за $p$-страни правилни многоугао који је конвексан. На пример, {3} је једнакостранични троугао, {4} је квадрат, {5} је конвексни правилни петоугао, итд.

Правилни звездасти многоуглови нису конвексни, а њихови Шлефлијеви симболи $\{p/q\}$ садрже несводљиве разломке $p/q$, где је $p$ број темена, а $q$ је њихов индекс обртања. Еквивалентно, $\{p/q\}$ се креира од темена $\{p\}$, повезујући свако $q$-то теме. На пример, $\{5/2\}$ је пентаграм; $\{5/1\}$ је петоугао.

Правилни полиедар који има $q$ правилних $p$-страних страна око сваког темена представљен је са $\{p,q\}$. На пример, коцка има 3 квадрата око сваког темена и представљена је са {4,3}.

Правилни 4-димензионални политоп, са $r\,\{p,q\}$ правилних полиедарских ћелија око сваке ивице, представљен је са $\{p,q,r\}$. На пример, тесерак, {4,3,3}, има 3 коцке, {4,3}, око једне ивице.

Уопштено, правилни политоп $\{p,q,r,\dots ,y,z\}$ има $z\,\{p,q,r,\dots ,y\}$ фасета око сваког врха, где је врх теме у полиедру, ивица у 4-политопу, страна у 5-политопу и (n−3)-страна у n-политопу.

Својства

Правилни политоп има правилну темену фигуру. Темена фигура правилног политопа {p,q,r,...,y,z} је {q,r,...,y,z}.

Правилни политопи могу имати елементе звездастих многоуглова, попут пентаграма, са симболом {⁵⁄₂}, представљеним теменима петоугла, али повезаним наизменично.

Шлефлијев симбол може представљати коначни конвексни полиедар, бесконачну теселацију еуклидског простора или бесконачну теселацију хиперболичког простора, у зависности од угаоног дефекта конструкције. Позитиван угаони дефект омогућава теменој фигури да се преклопи у вишу димензију и затвори сама у себе као политоп. Нулти угаони дефект теселира простор исте димензије као и фасете. Негативан угаони дефект не може постојати у обичном простору, али се може конструисати у хиперболичком простору.

Обично се претпоставља да су фасета или темена фигура коначни политопи, али се понекад и сами могу сматрати теселацијом.

Правилни политоп такође има дуални политоп, представљен елементима Шлефлијевог симбола у обрнутом редоследу. Себи дуални правилни политоп имаће симетричан Шлефлијев симбол.

Поред описивања еуклидских политопа, Шлефлијеви симболи се могу користити за описивање сферних политопа или сферних саћа.

Историја и варијације

Шлефлијево дело је било скоро непознато за његовог живота, а његову нотацију за описивање политопа независно је поново открило неколико других. Конкретно, Торолд Госет је поново открио Шлефлијев симбол који је записао као | p | q | r | ... | z | уместо са заградама и зарезима како је то чинио Шлефли.

Госетов облик има већу симетрију, тако да је број димензија број вертикалних црта, а симбол тачно укључује подсимболе за фасету и темену фигуру. Госет је сматрао | p оператором, који се може применити на | q | ... | z | да би се произвео политоп са p-угаоним странама чија је темена фигура | q | ... | z |.

Случајеви

Групе симетрије

Шлефлијеви симболи су уско повезани са (коначним) групама симетрије рефлексије, које тачно одговарају коначним Коксетеровим групама и специфициране су истим индексима, али угластим заградама уместо витичастих [p,q,r,...]. Такве групе се често називају према правилним политопима које генеришу. На пример, [3,3] је Коксетерова група за рефлексивну тетраедарску симетрију, [3,4] је рефлексивна октаедарска симетрија, а [3,5] је рефлексивна икосаедарска симетрија.

Правилни многоуглови (раван)

Правилни конвексни и звездасти многоуглови са 3 до 12 темена означени њиховим Шлефлијевим симболима

Шлефлијев симбол конвексног правилног многоугла са p ивица је {p}. На пример, правилни петоугао је представљен са {5}.

За неконвексне звездасте многоуглове, користи се конструктивна нотација {^p⁄_q}, где је p број темена, а q−1 је број темена која се прескачу приликом цртања сваке ивице звезде. На пример, {⁵⁄₂} представља пентаграм.

Правилни полиедри (3 димензије)

Шлефлијев симбол правилног полиедра је {p,q} ако су његове стране p-углови, а свако теме је окружено са q страна (темена фигура је q-угао).

На пример, {5,3} је правилни додекаедар. Он има петоугаоне (5 ивица) стране, и 3 петоугла око сваког темена.

Погледајте 5 конвексних Платонових тела, и 4 неконвексна Кеплер-Поансоова полиедра.

Тополошки, правилна 2-димензионална теселација се може сматрати сличном (3-димензионалном) полиедру, али тако да је угаони дефект нула. Тако се Шлефлијеви симболи могу дефинисати и за правилне теселације еуклидског или хиперболичког простора на сличан начин као и за полиедре. Аналогија важи и за више димензије.

На пример, хексагонално поплочавање је представљено са {6,3}.

Правилни 4-политопи (4 димензије)

Шлефлијев симбол правилног 4-политопа је облика {p,q,r}. Његове (дводимензионалне) стране су правилни p-углови ({p}), ћелије су правилни полиедри типа {p,q}, темене фигуре су правилни полиедри типа {q,r}, а ивичне фигуре су правилни r-углови (тип {r}).

Погледајте шест конвексних правилних и 10 правилних звездастих 4-политопа.

На пример, 120-ћелија је представљена са {5,3,3}. Сачињена је од додекаедарских ћелија {5,3} и има 3 ћелије око сваке ивице.

Постоји једна правилна теселација еуклидског 3-простора: кубно саће, са Шлефлијевим симболом {4,3,4}, сачињено од кубних ћелија и 4 коцке око сваке ивице.

Постоје и 4 правилна компактна хиперболичка саћа, укључујући {5,3,4}, хиперболичко мало додекаедарско саће, које испуњава простор додекаедарским ћелијама.

Ако је симбол 4-политопа палиндромски (нпр. {3,3,3} или {3,4,3}), његова битрункација ће имати само зарубљене облике темене фигуре као ћелије.

Правилни n-политопи (више димензије)

За вишедимензионалне правилне политопе, Шлефлијев симбол се дефинише рекурзивно као {p₁, p₂, ..., p_{n − 1}} ако фасете имају Шлефлијев симбол {p₁, p₂, ..., p_{n − 2}}, а темене фигуре имају Шлефлијев симбол {p₂, p₃, ..., p_{n − 1}}.

Темена фигура фасете политопа и фасета темене фигуре истог политопа су исте: {p₂, p₃, ..., p_{n − 2}}.

Постоје само 3 правилна политопа у 5 и више димензија: симплекс, {3, 3, 3, ..., 3}; крос-политоп, {3, 3, ..., 3, 4}; и хиперкоцка, {4, 3, 3, ..., 3}. Не постоје неконвексни правилни политопи изнад 4 димензије.

Дуални политопи

Ако политоп димензије n ≥ 2 има Шлефлијев симбол { p₁, p₂, ..., p_n − 1 }, тада његов дуал има Шлефлијев симбол { p_n − 1, ..., p₂, p₁ }.

Ако је низ палиндромски, тј. исти унапред и уназад, политоп је себи дуалан. Сваки правилни политоп у 2 димензије (многоугао) је себи дуалан.

Призматични политопи

Униформни призматични политопи се могу дефинисати и именовати као Декартов производ (са оператором „×”) ниводимензионалних правилних политопа.

• У 0Д, тачка је представљена са ( ). Њен Коксетеров дијаграм је празан. Њена Коксетерова нотација симетрије је ][.
• У 1Д, дуж је представљена са { }. Њен Коксетеров дијаграм је . Њена симетрија је [ ].
• У 2Д, правоугаоник је представљен као { } × { }. Његов Коксетеров дијаграм је . Његова симетрија је [2].
• У 3Д, p-угаона призма је представљена као { } × {p}. Њен Коксетеров дијаграм је . Њена симетрија је [2,p].
• У 4Д, униформна {p,q}-едарска призма је представљена као { } × {p,q}. Њен Коксетеров дијаграм је . Њена симетрија је [2,p,q].
• У 4Д, униформна p-q дуопризма је представљена као {p} × {q}. Њен Коксетеров дијаграм је . Њена симетрија је [p,2,q].

Призматични дуали, или бипирамиде, могу се представити као сложени симболи, али са оператором сабирања, „+”.

• У 2Д, ромб је представљен као { } + { }. Његов Коксетеров дијаграм је . Његова симетрија је [2].
• У 3Д, p-угаона бипирамида је представљена као { } + {p}. Њен Коксетеров дијаграм је . Њена симетрија је [2,p].
• У 4Д, {p,q}-едарска бипирамида је представљена као { } + {p,q}. Њен Коксетеров дијаграм је . Њена симетрија је [p,q].
• У 4Д, p-q дуопирамида је представљена као {p} + {q}. Њен Коксетеров дијаграм је . Њена симетрија је [p,2,q].

Пирамидални политопи који садрже темена ортогонално померена могу се представити коришћењем оператора спајања, „∨”. Сваки пар темена између спојених фигура повезан је ивицама.

У 2Д, једнакокраки троугао се може представити као ( ) ∨ { } = ( ) ∨ [( ) ∨ ( )].

У 3Д:

• Дигонални дисфеноид се може представити као { } ∨ { } = [( ) ∨ ( )] ∨ [( ) ∨ ( )].
• p-угаона пирамида је представљена као ( ) ∨ {p}.

У 4Д:

• p-q-едарска пирамида је представљена као ( ) ∨ {p,q}.
• 5-ћелија је представљена као ( ) ∨ [( ) ∨ {3}] или [( ) ∨ ( )] ∨ {3} = { } ∨ {3}.
• Квадратна пирамидална пирамида је представљена као ( ) ∨ [( ) ∨ {4}] или [( ) ∨ ( )] ∨ {4} = { } ∨ {4}.

При мешању оператора, редослед операција од највишег ка најнижем је ×, +, ∨.

Аксијални политопи који садрже темена на паралелно помереним хиперравнима могу се представити оператором ‖. Униформна призма је {n}‖{n}, а антипризма {n}‖r{n}.

Проширење Шлефлијевих симбола

Многоуглови и поплочавања круга

Зарубљени правилни многоугао удвостручује број страна. Правилни многоугао са парним бројем страна може се преполовити. Измењени парни правилни 2n-угао генерише сложену звездасту фигуру, 2{n}.

Облик	Шлефлијев симбол	Симетрија	Коксетеров дијаграм		Пример, {6}
Правилни	{p}	[p]				Шестоугао
Зарубљени	t{p} = {2p}	[[p]] = [2p]	=			Зарубљени шестоугао (Дванаестоугао)	=
Измењени и холопрћасти	a{2p} = β{p}	[2p]	=			Измењени шестоугао (Хексаграм)	=
Половина и прћасти	h{2p} = s{p} = {p}	[1+,2p] = [p]	= =			Половина шестоугла (Троугао)	= =

Полиедри и теселације

Коксетер је проширио своју употребу Шлефлијевог симбола на квазиправилне полиедре додавањем вертикалне димензије симболу. То је била полазна тачка ка општијем Коксетеровом дијаграму. Норман Џонсон је поједноставио нотацију за вертикалне симболе са префиксом r. t-нотација је најопштија и директно одговара прстеновима Коксетеровог дијаграма. Симболи имају одговарајућу алтернацију, замењујући прстенове са рупама у Коксетеровом дијаграму и префиксом h који означава пола, конструкцију ограничену захтевом да суседне гране морају бити парног реда и која пресеца ред симетрије на пола. Сродни оператор, a за измењено (altered), приказан је са две угнежђене рупе, представља сложене полиедре са обе алтерниране половине, задржавајући оригиналну пуну симетрију. Прћаст облик је половина зарубљивања, а холопрћаст је обе половине алтернираног зарубљивања.

Облик	Шлефлијеви симболи			Симетрија	Коксетеров дијаграм		Пример, {4,3}
Правилни	${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	{p,q}	t0{p,q}	[p,q] или [(p,q,2)]				Коцка
Зарубљени	$t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	t{p,q}	t0,1{p,q}					Зарубљена коцка
Битрункација (Зарубљени дуал)	$t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	2t{p,q}	t1,2{p,q}					Зарубљени октаедар
Ректификовани (Квазиправилни)	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	r{p,q}	t1{p,q}					Кубоктаедар
Биректификација (Правилни дуал)	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	2r{p,q}	t2{p,q}					Октаедар
Кантелирани (Ректификовани ректификовани)	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	rr{p,q}	t0,2{p,q}					Ромбикубоктаедар
Кантитрунцирани (Зарубљени ректификовани)	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	tr{p,q}	t0,1,2{p,q}					Зарубљени кубоктаедар

Алтернације, четвртине и прћасти облици

Алтернације имају половину симетрије Коксетерових група и представљене су неиспуњеним прстеновима. Постоје два могућа избора која половина темена се узима, али симбол не имплицира коју. Четвртине су овде приказане са + унутар шупљег прстена да би се имплицирало да су то две независне алтернације.

Алтернације

Облик	Шлефлијеви симболи			Симетрија	Коксетеров дијаграм		Пример, {4,3}
Алтернирани (половина) правилни	$h{\begin{Bmatrix}2p,q\end{Bmatrix}}$	h{2p,q}	ht0{2p,q}	[1+,2p,q]	=			Демикуб (Тетраедар)
Прћасти правилни	$s{\begin{Bmatrix}p,2q\end{Bmatrix}}$	s{p,2q}	ht0,1{p,2q}	[p+,2q]
Прћасти дуални правилни	$s{\begin{Bmatrix}q,2p\end{Bmatrix}}$	s{q,2p}	ht1,2{2p,q}	[2p,q+]				Прћасти октаедар (Икосаедар)
Алтернирани ректификовани (p и q су парни)	$h{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hr{p,q}	ht1{p,q}	[p,1+,q]
Алтернирани ректификовани ректификовани (p и q су парни)	$hr{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hrr{p,q}	ht0,2{p,q}	[(p,q,2+)]
Четвртина (p и q су парни)	$q{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	q{p,q}	ht0ht2{p,q}	[1+,p,q,1+]
Прћасти ректификовани Прћасти квазиправилни	$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	sr{p,q}	ht0,1,2{p,q}	[p,q]+				Прћасти кубоктаедар (Прћаста коцка)

Измењени и холопрћасти облици

Измењени и холопрћасти облици имају пуну симетрију Коксетерове групе и представљени су двоструким неиспуњеним прстеновима, али се могу представити као сједињења.

Измењени и холопрћасти

Облик	Шлефлијеви симболи			Симетрија	Коксетеров дијаграм		Пример, {4,3}
Измењени правилни	$a{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	a{p,q}	at0{p,q}	[p,q]	= ∪			Стелатни октаедар
Холопрћасти дуални правилни	ß{q, p}	ß{q,p}	at0,1{q,p}	[p,q]				Сједињење два икосаедра

ß, који изгледа слично грчком слову бета (β), је слово немачког алфабета есцет.

Полихори и саћа

Линеарне породице

Облик	Шлефлијев симбол			Коксетеров дијаграм		Пример, {4,3,3}
Правилни	${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	{p,q,r}	t0{p,q,r}				Тесерак
Зарубљени	$t{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	t{p,q,r}	t0,1{p,q,r}				Зарубљени тесерак
Ректификовани	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	r{p,q,r}	t1{p,q,r}				Ректификовани тесерак	=
Битрунцирани		2t{p,q,r}	t1,2{p,q,r}				Битрунцирани тесерак
Биректификовани (Ректификовани дуал)	$\left\{{\begin{array}{l}q,p\\r\end{array}}\right\}$	2r{p,q,r} = r{r,q,p}	t2{p,q,r}				Ректификована 16-ћелија	=
Тритрунцирани (Зарубљени дуал)	$t{\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3t{p,q,r} = t{r,q,p}	t2,3{p,q,r}				Битрунцирани тесерак
Триректификовани (Дуал)	${\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3r{p,q,r} = {r,q,p}	t3{p,q,r} = {r,q,p}				16-ћелија
Кантелирани	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	rr{p,q,r}	t0,2{p,q,r}				Кантелирани тесерак	=
Кантитрунцирани	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	tr{p,q,r}	t0,1,2{p,q,r}				Кантитрунцирани тесерак	=
Рунцинирани (Проширени)	$e_{3}{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	e3{p,q,r}	t0,3{p,q,r}				Рунцинирани тесерак
Рунцитрунцирани			t0,1,3{p,q,r}				Рунцитрунцирани тесерак
Омнизарубљени			t0,1,2,3{p,q,r}				Омнизарубљени тесерак

Алтернације, четвртине и прћасти облици

Алтернације

Облик	Шлефлијев симбол			Коксетеров дијаграм		Пример, {4,3,3}
Алтернације
Половина p парно	$h{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	h{p,q,r}	ht0{p,q,r}				16-ћелија
Четвртина p и r парно	$q{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	q{p,q,r}	ht0ht3{p,q,r}
Прћасти q парно	$s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	s{p,q,r}	ht0,1{p,q,r}				Прћаста 24-ћелија
Прћасти ректификовани r парно	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	sr{p,q,r}	ht0,1,2{p,q,r}				Прћаста 24-ћелија	=
Алтернирана дуопризма		s{p}s{q}	ht0,1,2,3{p,2,q}				Велике дуоантипризме

Породице рачвања

Породице рачвања

Облик	Проширени Шлефлијев симбол			Коксетеров дијаграм		Примери
Квазиправилни	$\left\{p,{q \atop q}\right\}$	{p,q1,1}	t0{p,q1,1}				Демитесерак (16-ћелија)
Зарубљени	$t\left\{p,{q \atop q}\right\}$	t{p,q1,1}	t0,1{p,q1,1}				Зарубљени демитесерак (Зарубљена 16-ћелија)
Ректификовани	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	r{p,q1,1}	t1{p,q1,1}				Ректификовани демитесерак (24-ћелија)
Кантелирани	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	rr{p,q1,1}	t0,2,3{p,q1,1}				Кантелирани демитесерак (Кантелирана 16-ћелија)
Кантитрунцирани	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	tr{p,q1,1}	t0,1,2,3{p,q1,1}				Кантитрунцирани демитесерак (Кантитрунцирана 16-ћелија)
Прћасти ректификовани	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	sr{p,q1,1}	ht0,1,2,3{p,q1,1}				Прћасти демитесерак (Прћаста 24-ћелија)
Квазиправилни	$\left\{r,{p \atop q}\right\}$	{r,/q\,p}	t0{r,/q\,p}				Тетраедарско-октаедарско саће
Зарубљени	$t\left\{r,{p \atop q}\right\}$	t{r,/q\,p}	t0,1{r,/q\,p}				Зарубљено тетраедарско-октаедарско саће
Ректификовани	$\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	r{r,/q\,p}	t1{r,/q\,p}				Ректификовано тетраедарско-октаедарско саће (Ректификовано кубно саће)
Кантелирани	$r\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	rr{r,/q\,p}	t0,2,3{r,/q\,p}				Кантелирано кубно саће
Кантитрунцирани	$t\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	tr{r,/q\,p}	t0,1,2,3{r,/q\,p}				Кантитрунцирано кубно саће
Прћасти ректификовани	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\r\end{array}}\right\}$	sr{p,/q,\r}	ht0,1,2,3{p,/q\,r}				Прћасто ректификовано кубно саће (неуниформно)

Теселације

Сферне

• {2,n}
• s{2,2n}
• { } ⊕ {n}

• t{2, n}
• { } + {n}

Правилне

• {2,∞}
• {3,6}

• {4,4}
• {6,3}

Полуправилне

• s{4,4}
• e{3,6}
• sr{2,∞}
• sr{6,3}
• rr{6,3}

• r{6,3}
• t{6,3}
• t{2,∞}
• tr{6,3}
• tr{4,4}

Хиперболичке

• sr{5,4}
• sr{6,4}
• sr{7,4}
• sr{8,4}
• sr{∞,4}
• s{5,4}
• sr{6,5}
• s{6,4}
• sr{8,6}
• sr{7,7}
• s{8,4}
• s{4,6}
• sr{∞,∞}
• sr{7,3}
• sr{8,3}
• sr{∞,3}

• s{3,8}
• {3,7}
• {3,8}
• {3,∞}
• h{8,3}
• h{6,4}
• q{4,6}
• rr{7,3}
• rr{8,3}
• rr{∞,3}
• h₂{8,3}
• r{7,3}
• r{8,3}
• t{7,3}
• t{8,3}
• r{∞,3}

• t{∞,3}
• rr{5,4}
• rr{6,4}
• rr{7,4}
• rr{8,4}
• rr{∞,4}
• {4,5}
• {4,6}
• {4,7}
• {4,8}
• {4,∞}
• r{5,4}
• r{6,4}
• tr{6,3}
• tr{7,3}
• ???

• tr{8,3}
• ???
• tr{∞,3}
• r{7,4}
• r{8,4}
• tr{5,4}
• ???
• tr{6,4}
• tr{7,4}
• tr{8,4}
• tr{∞,4}
• t{5,4}
• tr{6,5}
• t{6,4}
• tr{8,6}
• t{7,4}

• t{8,4}
• t{∞,4}
• r{∞,4}
• {5,4}
• {5,5}
• {5,6}
• {5,∞}
• rr{6,5}
• r{6,5}
• t{4,5}
• t{5,5}
• t{6,5}
• r{∞,5}
• {6,4}
• {6,5}
• {6,6}

• {6,8}
• rr{8,6}
• r{8,6}
• t{4,6}
• t{5,6}
• t{6,6}
• t{8,6}
• {7,3}
• {7,4}
• {7,7}
• t{3,7}
• t{4,7}
• t{7,7}
• {8,3}
• {8,4}
• {8,6}
• {8,8}

• t{6,8}
• t{3,8}
• t{8,8}
• {∞,3}
• {∞,4}
• {∞,5}
• {∞,∞}
• t{3,∞}
• t{4,∞}

Види још

• Конфигурација темена

Литература

• Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (3rd изд.). New York: Dover. 
• Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivic, ур. (1995). Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter. Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6. 
  • (Рад 22) pp. 251–278 Coxeter, H.S.M. (1940). „Regular and Semi Regular Polytopes I”. Math. Zeit. 46: 380—407. S2CID 186237114. Zbl 0022.38305. doi:10.1007/BF01181449.  MR 2,10
  • (Рад 23) pp. 279–312 — (1985). „Regular and Semi-Regular Polytopes II”. Math. Zeit. 188 (4): 559—591. S2CID 120429557. Zbl 0547.52005. doi:10.1007/BF01161657. 
  • (Рад 24) pp. 313–358 — (1988). „Regular and Semi-Regular Polytopes III”. Math. Zeit. 200 (1): 3—45. S2CID 186237142. Zbl 0633.52006. doi:10.1007/BF01161745. 

Спољашње везе

• Weisstein, Eric W. „Schläfli Symbol”. MathWorld. Приступљено 28. 12. 2019. 
• Starck, Maurice (13. 4. 2012). „Polyhedral Names and Notations”. A Ride Through the Polyhedra World. Архивирано из оригинала 6. 11. 2013. г. Приступљено 28. 12. 2019.