−1

С Википедије, слободне енциклопедије
← −2 −1 0 →
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Kardinalni broj−1, minus jedan, negativno jedan
Redni broj−1. (negative first)
Arapski١
Kineski broj负一,负弌,负壹
Bengalski
Binarni (bajt)
S&M: 1000000012
2sC: 111111112
Heks (bajt)
S&M: 0x10116
2sC: 0xFF16

U matematici, −1 je aditivno inverzna vrednost od 1.[1] Drugim rečima, to je broj koji kad se doda na 1 daje element aditivne identičnosti, 0. On je negativni ceo broj veći od negativne dvojke (−2) i manji od 0.

Negativna jedinica je povezana sa Ojlerovim identitetom jer je eiπ = −1.[2]

U razvoju softvera, −1 se često koristi kao inicijalna vrednost za cele brojeve i da bi se pokazalo da promenljiva ne sadrži korisne informacije.

Negativno jedan ima neka slična, ali malo drugačija svojstva kao pozitivne jedinice.[3]

Algebarska svojstva[уреди | уреди извор]

Množenje broja sa −1 je ekvivalentno sa promenom znaka broja. To se može dokazati koristeći zakon distributivnosti i aksiom da je 1 multiplikativni identitet: za x koje je realni broj važi

gde se koristi činjenica da je svako realno x puta nula 0 jednako 0, što proizilazi iz jednačine putem poništavanja

0, 1, −1, i, i −i u kompleksnoj ili kartezijanskoj ravni

Drugim rečima,

tako da je (−1) · x, ili −x, aritmetička inverzija od x.

Kvadrat od −1[уреди | уреди извор]

Kvadrat od −1, i.e. −1 pomnoženo sa −1, jednako je 1. Konsekventno, proizvod dva negativna realna broja je pozitivan.

Za algebarski dokaz ovog rezultata, može se započeti sa jednačinom

Prva jednakost proizilazi iz gornjeg rezultata. Druga sledi iz definicije -1 kao aditivna inverzna vrednost od 1: upravo taj broj kada se doda na 1 daje 0. Sada, koristeći zakon distribucije, može se videti da

Druga jednakost sledi iz činjenicae da je 1 multiplikativni identitet. Međutim sada dodavanje 1 na obe strane ove poslednje jednačine podrazumeva

Gornji argumenti važe za bilo koji prsten, koncept apstraktne algebre kojim se generalizuju celi brojevi i realni brojevi.

Kvadratni koren od −1[уреди | уреди извор]

Iako nema realnih kvadratnih korena od -1, kompleksni broj i zadovoljava i2 = −1, i kao takav se može smatrati kvadratnim korenom od −1. Jedini drugi kompleksni broj čiji je kvadrat −1 je −i.[4] U algebri kvaterniona, koja sadrži kompleksnu ravan, jednačina x2 = −1 ima beskonačno mnogo rešenja.

Exponencijacija do negativnih celih brojeva[уреди | уреди извор]

Eksponencijacija nenultog realnog broja se može proširiti na negativne cele brojeve. Prema definiciji x−1 = 1/x, znači da podizanje broja na −1 stepen ima isti efekat kao izračunavanje njegove recipročne vrednosti. Ova definicija se zatim proširuje na negativne cele brojeve, očuvavajući eksponencijalni zakon xaxb = x(a + b) za realne brojeve a i b.

Eksponencijacija na negativne cele brojeve se može proširiti do invertabilnih elemenata prstena, putem definisanja x−1 kao multiplikativne inverzne vrednosti od x.

−1 koje se javlja pored funkcija ili matrica ne označava njihovo podizanje na stepen −1, već njihove inverzne funkcije ili inverzne matrice. Na primer, f−1(x) je inverzna funkcija od f(x), ili sin−1(x) je notacija za arcsin funkciju.

Računarska reprezentacija[уреди | уреди извор]

Većina računarskih sistema predstavlja negativne celobrojne brojeve koristeći komplement dvojke. U takvim sistemima, −1 je predstavljen pomoću obrasca bitova sa svim jedinicama. Na primer, 8-bitni ceo broj sa znakom koji koristi komplement dvojke predstavljaće -1 kao binarni niz „11111111” ili „FF” u heksadecimalnom obliku (baza 16). Ako se protumači kao ceo broj bez znaka, ista niz biteva od n jedinica predstavlja 2n − 1, najveću moguću vrednost koju n bitova može da drži. Na primer, 8-bitni niz „11111111” iznat predstavlja 28 − 1 = 255.

Programski jezici[уреди | уреди извор]

U nekim programskim jezicima, kada se koristi za indeksiranje nekih tipova podataka (kao što je niz), -1 se može koristiti za identifikaciju poslednje (ili druge zadnje) stavke, u zavisnosti da li 0 ili 1 predstavlja prvu stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 0, tada -1 označava zadnju stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 1, tada −1 identifikuje predzadnju stavku.

Vidi još[уреди | уреди извор]

Reference[уреди | уреди извор]

  1. ^ Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Elementary Algebra (5th изд.), Cengage Learning, стр. 40, ISBN 9781133710790 
  2. ^ Stepanov, S. A. (7. 2. 2011). „Euler identity”. Encyclopedia of Mathematics. Приступљено 7. 9. 2018. 
  3. ^ Mathematical analysis and applications By Jayant V. Deshpande. ISBN 978-1-84265-189-6.
  4. ^ „Ask Dr. Math”. Math Forum. Приступљено 14. 10. 2012. 

Literatura[уреди | уреди извор]

Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]