−1
| |||||
---|---|---|---|---|---|
Kardinalni broj | −1, minus jedan, negativno jedan | ||||
Redni broj | −1. (negative first) | ||||
Arapski | −١ | ||||
Kineski broj | 负一,负弌,负壹 | ||||
Bengalski | −১ | ||||
Binarni (bajt) |
| ||||
Heks (bajt) |
|
U matematici, −1 je aditivno inverzna vrednost od 1.[1] Drugim rečima, to je broj koji kad se doda na 1 daje element aditivne identičnosti, 0. On je negativni ceo broj veći od negativne dvojke (−2) i manji od 0.
Negativna jedinica je povezana sa Ojlerovim identitetom jer je eiπ = −1.[2]
U razvoju softvera, −1 se često koristi kao inicijalna vrednost za cele brojeve i da bi se pokazalo da promenljiva ne sadrži korisne informacije.
Negativno jedan ima neka slična, ali malo drugačija svojstva kao pozitivne jedinice.[3]
Algebarska svojstva[уреди | уреди извор]
Množenje broja sa −1 je ekvivalentno sa promenom znaka broja. To se može dokazati koristeći zakon distributivnosti i aksiom da je 1 multiplikativni identitet: za x koje je realni broj važi
gde se koristi činjenica da je svako realno x puta nula 0 jednako 0, što proizilazi iz jednačine putem poništavanja
Drugim rečima,
tako da je (−1) · x, ili −x, aritmetička inverzija od x.
Kvadrat od −1[уреди | уреди извор]
Kvadrat od −1, i.e. −1 pomnoženo sa −1, jednako je 1. Konsekventno, proizvod dva negativna realna broja je pozitivan.
Za algebarski dokaz ovog rezultata, može se započeti sa jednačinom
Prva jednakost proizilazi iz gornjeg rezultata. Druga sledi iz definicije -1 kao aditivna inverzna vrednost od 1: upravo taj broj kada se doda na 1 daje 0. Sada, koristeći zakon distribucije, može se videti da
Druga jednakost sledi iz činjenicae da je 1 multiplikativni identitet. Međutim sada dodavanje 1 na obe strane ove poslednje jednačine podrazumeva
Gornji argumenti važe za bilo koji prsten, koncept apstraktne algebre kojim se generalizuju celi brojevi i realni brojevi.
Kvadratni koren od −1[уреди | уреди извор]
Iako nema realnih kvadratnih korena od -1, kompleksni broj i zadovoljava i2 = −1, i kao takav se može smatrati kvadratnim korenom od −1. Jedini drugi kompleksni broj čiji je kvadrat −1 je −i.[4] U algebri kvaterniona, koja sadrži kompleksnu ravan, jednačina x2 = −1 ima beskonačno mnogo rešenja.
Exponencijacija do negativnih celih brojeva[уреди | уреди извор]
Eksponencijacija nenultog realnog broja se može proširiti na negativne cele brojeve. Prema definiciji x−1 = 1/x, znači da podizanje broja na −1 stepen ima isti efekat kao izračunavanje njegove recipročne vrednosti. Ova definicija se zatim proširuje na negativne cele brojeve, očuvavajući eksponencijalni zakon xaxb = x(a + b) za realne brojeve a i b.
Eksponencijacija na negativne cele brojeve se može proširiti do invertabilnih elemenata prstena, putem definisanja x−1 kao multiplikativne inverzne vrednosti od x.
−1 koje se javlja pored funkcija ili matrica ne označava njihovo podizanje na stepen −1, već njihove inverzne funkcije ili inverzne matrice. Na primer, f−1(x) je inverzna funkcija od f(x), ili sin−1(x) je notacija za arcsin funkciju.
Računarska reprezentacija[уреди | уреди извор]
Većina računarskih sistema predstavlja negativne celobrojne brojeve koristeći komplement dvojke. U takvim sistemima, −1 je predstavljen pomoću obrasca bitova sa svim jedinicama. Na primer, 8-bitni ceo broj sa znakom koji koristi komplement dvojke predstavljaće -1 kao binarni niz „11111111” ili „FF” u heksadecimalnom obliku (baza 16). Ako se protumači kao ceo broj bez znaka, ista niz biteva od n jedinica predstavlja 2n − 1, najveću moguću vrednost koju n bitova može da drži. Na primer, 8-bitni niz „11111111” iznat predstavlja 28 − 1 = 255.
Programski jezici[уреди | уреди извор]
U nekim programskim jezicima, kada se koristi za indeksiranje nekih tipova podataka (kao što je niz), -1 se može koristiti za identifikaciju poslednje (ili druge zadnje) stavke, u zavisnosti da li 0 ili 1 predstavlja prvu stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 0, tada -1 označava zadnju stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 1, tada −1 identifikuje predzadnju stavku.
Vidi još[уреди | уреди извор]
Reference[уреди | уреди извор]
- ^ Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Elementary Algebra (5th изд.), Cengage Learning, стр. 40, ISBN 9781133710790
- ^ Stepanov, S. A. (7. 2. 2011). „Euler identity”. Encyclopedia of Mathematics. Приступљено 7. 9. 2018.
- ^ Jayant V. Deshpande. Mathematical analysis and applications. ISBN 978-1-84265-189-6.
- ^ „Ask Dr. Math”. Math Forum. Приступљено 14. 10. 2012.
Literatura[уреди | уреди извор]
- Ivan Flores, The Logic of Computer Arithmetic, Prentice-Hall (1963)
- Computer Arithmetic Algorithms. A.K. Peters. 2002. ISBN 978-1-56881-160-4. Текст „ Israel Koren ” игнорисан (помоћ)
- GE-625 / 635 Programming Reference Manual. General Electric. januar 1966. Приступљено 15. 8. 2013.
- Intel 64 and IA-32 Architectures Software Developer’s Manual (PDF). Intel. Section 4.2.1. Приступљено 6. 8. 2013.
- Power ISA Version 2.07. Power.org. Section 1.4. Архивирано из оригинала на датум 09. 01. 2014. Приступљено 6. 8. 2013.
- Finch, Steven (2003). Mathematical constants
. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81805-6.
- May, Robert (1976). Theoretical Ecology: Principles and Applications. Blackwell Scientific Publishers. ISBN 978-0-632-00768-4.
- Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. Springer. ISBN 978-0-387-97993-9.
- Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World [registration required]
- Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-328-3.
- Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
- Kasner, E., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
- Maor, Eli (1998). e: The Story of a number. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05854-2.
- Nahin, Paul J. (2006). Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2.
- Paulos, John Allen (1992). Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics. Penguin Books. ISBN 978-0-14-014574-8.
- Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
- Sandifer, C. Edward (2007). Euler's Greatest Hits. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-563-8.
- Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books
- Wells, David (1990). „Are these the most beautiful?”. The Mathematical Intelligencer. 12 (3): 37—41. doi:10.1007/BF03024015.
- Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press
- Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), „The experience of mathematical beauty and its neural correlates”, Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, PMC 3923150
, PMID 24592230, doi:10.3389/fnhum.2014.00068
Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]
- Protocol Buffers: Signed Integers
- Margherita Barile. „Additive Inverse”. MathWorld.