1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Архимедова фигура са a = 3/4

У математици, бесконачан низ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · је пример једног од првог бесконачног низа који се сумирао у историји математике; коришћен је од стране Архимеда 250-200 п. н. е.[1] Како је геометријски низ са првим изразом 1/4 и количником 1/4, његов збир је

Визуелне демонстрације[уреди]

3с = 1.

Ред 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · даје се у неким посебно једноставним визуелним демонстрацијама јер се квадрат и троугао могу поделити на четири слична дела, од којих сваки садржи 1/4 подручја оригинала.

На слици лево,[2][3] ако се узима да велики квадрат има површину 1, онда највећи црни квадрат има површину (1/2) (1/2) = 1/4. Исто тако, други по величини црни квадрат има површину 1/16, а трећи по величини црни квадрат има површину 1/64. Подручје обухваћени црним квадратима заједно је стога 1/4 + 1/16 + 1/64 + · · ·, и то је такође област коју заузимају сиви квадрати и бели квадрати. Како ове три области покривају јединични квадрат, цифра показује да је

Архимедова илустрација, приложена на врху,[4] била је мало другачија, ближе једначини

3с = 1 поново

Погледајте испод за детаље о Архимедовим тумачењима.

Иста геометријска стратегија такође ради за троуглове, као на слици на десној страни:[2][5][6] ако велики троугао има површину 1, онда највећи црни троугао има површину 1/4, и тако даље. Фигура као целина има самосличност између великог троугла и горњег под-троугла. Сродна конструкција израде фигуре сличне свим трима на његовим угловима производи троугао Сјерпињског.[7]

Архимедов доказ[уреди]

Ова крива је парабола. Тачке на секант линији АЕ су подједнако распоређени. Архимед је показао да је збир области троуглова АБЦ и ЦДЕ 1/4 из области троугла АЦЕ. Он је тада градио још један слој од четири троугла на врху оних, чији је збир области 1/4 од суме области АБЦ и ЦДЕ, а затим још један слој од осам троуглова на врху, имајући 1/4 тог подручја, и тако даље. Он је закључио да је подручје између секант линије и криве 4/3 подручја троугла АЦЕ.

Архимед наилази на низ у свом раду Квадратура параболе. Он је проналашао подручје унутар параболе методом исцрпљености, и добио низ троуглова; свака фаза изградње додаје површину 1/4 пута на подручје претходне фазе. Његов жељени резултат на тој укупној области је 4/3 подручја прве фази. Да би стигао тамо, он узима паузу од параболе да уведе алгебарски леме:

Предлог 23. Дат је низ области А, Б, C, D, ..., З, од чега је А највећи, и сваки је једнак четири пута следећем у реду, затим [8]

Архимед доказује предлог првим обрачунавањем

С друге стране,

Одузимањем ове једначине од претходне једначине даје

и додајући А обема странама даје жељени резултат.

[9]

Данас, више стандардна формулација у Архимедовог предлога је да су делимичне суме низа 1 + 1/4 + 1/16 + · · · :

Овај облик се може доказати множењем обе стране 1 - 1/4 и посматрањем да сви, али први и последњи изрази на левој страни једначине отказују у паровима. Иста стратегија ради за било који коначни геометријски низ.

Граница[уреди]

Архимедов Предлог 24 примењује коначну (али неодређену) суму у Предлогу 23 на подручју унутар параболе са дуплим свођењем на апсурд. Он баш не[10] узима границу наведених парцијалних сума, али у модерној математици овај корак је довољно лак:

Пошто се збир бескрајног низа дефинише као граница његових парцијалних сума,

Референце[уреди]

  1. ^ Shawyer & Watson pp. 3.
  2. 2,0 2,1 Nelsen & Alsina pp. 74.
  3. ^ Ajose & Nelson.
  4. ^ Heath, стр. 250
  5. ^ Stein, стр. 46
  6. ^ Mabry.
  7. ^ Nelson & Alsina pp. 56.
  8. ^ This is a quotation from Heath's English translation (p.249).
  9. ^ This presentation is a shortened version of Heath pp. 250.
  10. ^ Modern authors differ on how appropriate it is to say that Archimedes summed the infinite series.

Литература[уреди]

  • Ajose, Sunday and Roger Nelsen (1994). „Proof without Words: Geometric Series”. Mathematics Magazine. 67 (3): 230. JSTOR 2690617. doi:10.2307/2690617. 
  • Heath, T. L. (1953) [1897]. The Works of Archimedes. Cambridge UP.  Page images at Casselman, Bill. „Archimedes' quadrature of the parabola”. Приступљено 22. 3. 2007.  HTML with figures and commentary at Otero, Daniel E. (2002). „Archimedes of Syracuse”. Архивирано из оригинала на датум 7. 3. 2007. Приступљено 22. 3. 2007. 
  • Mabry, Rick (1999). „Proof without Words: 14 + (14)2 + (14)3 + · · · = 13”. Mathematics Magazine. 72 (1): 63. JSTOR 2691318. 
  • Nelsen, Roger B. and Claudi Alsina (2006). Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics. MAA. ISBN 978-0-88385-746-5. 
  • Shawyer, Bruce and Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP. ISBN 978-0-19-853585-0. 
  • Stein, Sherman K. (1999). Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?. MAA. ISBN 978-0-88385-718-2. 
  • Swain, Gordon and Thomas Dence (1998). „Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited”. Mathematics Magazine. 71 (2): 123—30. JSTOR 2691014. doi:10.2307/2691014.