142857

Из Википедије, слободне енциклопедије

142857

сто четрдесет и две хиљаде
осамсто педесет и седам
142854 · 142855 · 142856 · 142857 · 142858 · 142859 · 142860
редни број: сто четдесет две хиљаде
осамсто педесет седми
делиоци: 1,3,9,11,13,27,33,37,39,99,...
разлагање: 33 x 11 x 13 x 37
други записи
римски: CXLMMDCCCLVII
бинарно: 100010111000001001
октално: 427011
дуодецимално:
хексадецимално: 22E09
вредности функција
теорије бројева
φ(142857) = 34560 τ(142857) = 32
σ(142857) = 253917 π(142857) = 13252
μ(142857) = 0 M(142857) =
Природан број   Списак природних бројева

142.857 су шест понављајућих децималних цифара броја 1/7, 0,142857, које такође чине и најпознатији циклични број у бројевној основи 10.[1][2][3][4] Овај број, помножен бројевима 2, 3, 4, 5, или 6, даје цикличну пермутацију самог себе.

Рачун[уреди]

1 × 142.857 = 142.857
2 × 142.857 = 285.714
3 × 142.857 = 428.571
4 × 142.857 = 571.428
5 × 142.857 = 714.285
6 × 142.857 = 857.142
7 × 142.857 = 999.999

Ако је помножен целим бројем већим од 7, постоји једноставан поступак да се опет добије циклична пермутација броја 142857. Додавањем првих шест цифара преосталим цифрама и понављањем поступка док не остане само шест цифара, добија се циклична пермутација броја 142857

142857 × 8 = 1142856
1 + 142856 = 142857
142857 × 815 = 116428455
116 + 428455 = 428571

Множење умношком броја 7 ће резултовати бројем 999999 након истог процеса

142857 × 74 = 342999657
342 + 999657 = 999999

Квадрат прве три цифре одузет од квадрата последње три цифре такође даје цикличну пермутацију овог броја.

8572 = 734449
1422 = 20164
734449 - 20164 = 714285

Цифре 142857 су понављајућа ниска у децималном развоју рационалног броја 1/7 = 0 , 142857 142857 14... Стога се умношци броја 1/7 једноставно добијају поновљеним копијама одговарајућих умножака броја 142857:

1 ÷ 7 = 0 , 142857 142857 142857 14...
2 ÷ 7 = 0 , 285714 285714 285714 28...
3 ÷ 7 = 0 , 428571 428571 428571 42...
4 ÷ 7 = 0 , 571428 571428 571428 57...
5 ÷ 7 = 0 , 714285 714285 714285 71...
6 ÷ 7 = 0 , 857142 857142 857142 85...
7 ÷ 7 = 0 , 999999 999999 999999 99...
8 ÷ 7 = 1 , 142857 142857 142857 14...
9 ÷ 7 = 1 , 285714 285714 285714 28...
22 ÷ 7 = 3 , 142857 142857..., је стара апроксимација броја Пи.
\frac{1}{7} = \sum_{n=0}^\infty 3^{n} * 10^{-(n+1)}

Једноставно комбиновање цифара на различите начине и дељење бројем 7 или умношком броја 7 даје

142 + 857 = 999
999 ÷ 7 = 142,7 142857 142857 142857 14...
14 + 28 + 57 = 99
99 ÷ 7 = 14, 142857 142857 142857...
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27
27 ÷ 7 = 3.857 142857 142857 142857...
857 - 142 = 715
715 ÷ 7 = 102, 142857 142857 142857...
1 × 4 × 2 × 8 × 5 × 7 = 2240
2240 ÷ 49 = 45,7 142857 142857 142857...
1 + 42 + 857 = 900
900 ÷ 7 = 128,57 142857 142857 142857...
1 × 4 ÷ 2 × 8 ÷ 5 × 7 = 22,4
22,4 ÷ 49 = 0,457 142857 142857 142857...

У основи 10, 142.857 је Харшадов број и Капрекаров број.

\frac{22}{7} као  \pi \,\![уреди]

Ова античка апроксимација броја \pi \,\! се доводи у везу са јеврејским мистицизмом. У одређеним кабалистичким круговима, као што су медиогегнијанци је познато да двадесет и два слова хебрејског писма представљају комплетан обим који кад се подели бројем седам (свети број циклуса) даје кабалистички \pi \,\!, такође познат у овим круговима као савршени \pi \,\!.

\frac{22}{7}=3.142857 142857 142857...
\pi=3,141592 653589 793238... \,\!

Разлика између ова два броја је

\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7} -\pi

Референце[уреди]

  1. ^ Циклични број, Интернет енциклопедија науке
  2. ^ Michael W. Ecker, "The Alluring Lore of Cyclic Numbers", The Two-Year College Mathematics Journal, Vol.14, No.2 (March 1983), pp.105-109
  3. ^ Циклични број, PlanetMath
  4. ^ Kathryn Hogan, "Go figure (cyclic numbers)", Australian Doctor, August 2005
  • Leslie, John. "The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ....", Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
  • Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Revised Edition. London: Penguin Group. (1997): 171 - 175

Види још[уреди]

Спољашње везе[уреди]