Binomna raspodela

С Википедије, слободне енциклопедије
Binomna raspodela
Funkcija verovatnoće
Probability mass function for the binomial distribution
Funkcija kumulativne raspodele
Cumulative distribution function for the binomial distribution
Notacija
Parametri – broj pokušaja
– verovatnoća uspeha za svaki pokušaj
Nositelj – broj uspeha
pmf
CDF
Prosek
Medijana ili
Modus ili
Varijansa
Koef. asimetrije
Kurtoza
Entropija
u šanonima.
MGF
CF
PGF
Fišerova informacija
(za fiksno )
Binomna distribucija za
sa n i k kao u Paskalovom trouglu
Verovatnoća da će kugla u Galtonovoj kutiji sa 8 slojeva (n = 8) završiti u centralnoj kutiji (k = 4) je .

U teoriji verovatnoće i statistici, binomna raspodela sa parametrima n i p je diskretna raspodela verovatnoće broja uspeha u sekvenci od n nezavisnih eksperimenata, svaki od kojih daje odgovor na da-ne pitanje, i svaki ima svoj bulov rezultat - uspeh/da/tačno/jedan (sa verovatnoćoḿ p) ili neuspeh/ne/lažno/nula (sa verovatnoćom q = 1 − p). Pojedinačni uspeh/neuspeh eksperimenta se takođe naziva Bernulijev pokušaj ili Bernulijev eksperiment, a sekvenca ishoda se naziva Bernulijev proces; za pojedinačni pokušaj, i.e., n = 1, binomna distribucija je Bernulijeva raspodela. Binomna distribucija je osnova za popularni binomni test statističkog značaja.

Binomna distribucija se često koristi za modelovanje broja uspeha u uzorku veličine n koji je izvučen sa zamenom iz populacije veličine N. Ako se uzorkovanje vrši bez zamene, izvlačenja nisu nezavisna, pa je rezultirajuća raspodela hipergeometrijska, a ne binomna. Međutim, za N mnogo veće od n, binomna distribucija ostaje dobra aproksimacija i široko se koristi.

Specifikacija[уреди | уреди извор]

Funkcija verovatnoće[уреди | уреди извор]

Generalno, ako randomna promenljiva X sledi binomnu distribuciju sa parametrima n i p ∈ [0,1], piše se X ~ B(np). Verovatnoća da se dobije tačno k uspeha u n pokušaja je data funkcijom verovatnoće:

za k = 0, 1, 2, ..., n, gde je

binomni koeficijent,[1] po kome je raspodela dobila ime. Formula se može razumeti na sledeći način. k uspeha se javlja sa verovatnoćom pk i n − k neuspeha se javlja sa verovatnoćom (1 − p)n − k. Međutim, k uspeha se može javiti bilo gde među n pokušaja, i postoji različitih načina raspodeljivanja k uspeha u nizu od n pokušaja.

Pri stvaranju referentnih tabela za verovatnoću binomne distribucije, obično se tabela popunjava do n/2 vrednosti. To je zato što se za k > n/2, verovatnoća može izračunati njenim komplementom kao

Gledajući izraz f(knp) kao funkciju od k, postoji k vrednosti koje je maksimiziraju. Stoga se k vrednost može naći izračunavajući

i upoređujući tu vrednost sa 1. Uvek postoji ceo broj M koji zadovoljava

f(knp) je monotono rastući za k < M i monotono opadajući za k > M, uz izuzetak slučaja gde je (n + 1)p ceo broj. U tom slučaju, postoje dve vrednosti za koje je f maksimalno: (n + 1)p i (n + 1)p − 1. M je najverovatniji ishod (mada još uvek može da bude sveukupno malo verovatan) Bernulijevih pokušaja i naziva se modus.[2][3][4][5]

Funkcija kumulativne verovatnoće[уреди | уреди извор]

Funkcija kumulativne verovatnoće se može izraziti kao:[6]

gde je „pod” ispod k, i.e. najveći ceo broj manji od ili jedna sa k.

On se može predstaviti u vidu regulisane nekompletne beta funkcije,[7][8] na sledeći način:[9]

Neki granični slučajevi zatvorenog oblika za funkciju kumulativne distribucije dati su u nastavku.

Primer[уреди | уреди извор]

Pretpostavka je da se pristranim bacanjem novčića dobija glava sa verovatnoćom 0,3. Pitanje je: koja je verovatnoća postizanja 0, 1, ..., 6 glava posle šest bacanja?

[10]

Očekivanje[уреди | уреди извор]

Ako je X ~ B(n, p), drugim rečima, X je binomno distribuirana randomna promenljiva, pri čemu je n ukupan broj eksperimenata, a p je verovatnoća svakog eksperimenta da proizvede uspešan rezultat, onda je očekivana vrednost X:[11]

Na primer, ako je n = 100, i p = 1/4, onda je prosečan broj uspešnih rezultata 25.

Proof: Srednja vrednost, μ, se direktno izračunava po definiciji

i binomnoj teoremi:

Srednja vrednost se može izvesti iz jednačine gde su sve randomne promenljive obuhvaćene Bernulijevom raspodelom sa ( ako i-ti eksperiment uspe, dok je inače ). Dobija se:

Varijansa[уреди | уреди извор]

Varijansa je:

Dokaz: Neka je gde su sve nezavisne randomne promenljive Bernulijeve raspodele. Kako je , dobija se:

Reference[уреди | уреди извор]

  1. ^ Lilavati Section 6, Chapter 4 (see Knuth (1997)).
  2. ^ „AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions”. Архивирано из оригинала на датум 02. 04. 2015. Приступљено 16. 3. 2015. 
  3. ^ „Relationship between the mean, median, mode, and standard deviation in a unimodal distribution”. 
  4. ^ Hippel, Paul T. von (2005). „Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule”. Journal of Statistics Education. 13 (2). doi:10.1080/10691898.2005.11910556. 
  5. ^ Bottomley, H. (2004). „Maximum distance between the mode and the mean of a unimodal distribution” (PDF). Unpublished preprint. 
  6. ^ Park, Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3. 
  7. ^ Zelen, M.; Severo, N. C. (1972), „26. Probability functions”, Ур.: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, стр. 925—995, ISBN 978-0-486-61272-0 
  8. ^ Davis, Philip J. (1972), „6. Gamma function and related functions”, Ур.: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0 
  9. ^ Wadsworth, G. P. (1960). Introduction to Probability and Random Variables. New York: McGraw-Hill. стр. 52. 
  10. ^ Hamilton Institute. "The Binomial Distribution" October 20, 2010.
  11. ^ See Proof Wiki

Literatura[уреди | уреди извор]

Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]