Eksponencijalna raspodela

С Википедије, слободне енциклопедије
Eksponencijalna
Funkcija gustine verovatnoće
Grafički prikaz funkcije gustine verovatnoće eksponencijalne distribucije plot of the probability density function of the exponential distribution
Funkcija kumulativne raspodele
Funkcija kumulativne distribucije
Parametriλ > 0 stopa, ili inverzna skala
Nositeljx ∈ [0, ∞)
PDFλ eλx
CDF1 − eλx
Kvantil−ln(1 − F) / λ
Prosekλ−1 (= β)
Medijanaλ−1ln(2)
Modus0
Varijansaλ−2 (= β2)
Koef. asimetrije2
Kurtoza6
Entropija1 − ln(λ)
MGF
CF
Fišerova informacija
Kulbek-Lajblerova divergencija

U teoriji verovatnoće i statistici, eksponencijalna raspodela (pozanta kao negativna eksponencijalna raspodela) je raspodela verovatnoće vremena između događaja u Poasonovom procesu,[1][2] i.e., procesu u kome se događaji kontinuirano i nezavisno javljaju sa konstantnom prosečnom brzinom. To je poseban slučaj gama distribucije. Eksponencijalna distribucija je kontinuirani analog geometrijske distribucije i ima ključno svojstvo da je bez memorije. Pored toga što se koristi za analizu Poasonovih tačkastih procesa, ona se javlja u mnoštvu drugih konteksta.

Eksponencijalna distribucija nije isto što i klasa eksponencijalne familije distribucija, koja je velika klasa distribucija verovatnoće kojom je obuhvaćena eksponencijalna distribucija kao jedan od njenih članova, ali takođe uključuje normalnu distribuciju, binomnu distribuciju, gama distribuciju, Poasonovu, i mnoge druge.

Karakterizacija[уреди | уреди извор]

Funkcija gustine verovatnoće[уреди | уреди извор]

Funkcija gustine verovatnoće eksponencijalne distribucije je

Alternativno, ovo se može definisati korišćenjem desne-kontinuirane Hevisajdove odskočne funkcije, H(x) gde je H(0) = 1:[3][4]

Ovde je λ > 0 parameter distribucije, koji se obično naziva parametar brzine. Distribucija je podržana na intervalu [0, ∞). Ako slučajna promenljiva X ima ovu distribuciju, piše se X ~ Exp(λ).

Eksponencijalna distribucija ispoljava beskonačnu deljivost.

Funkcija kumulativne distribucije[уреди | уреди извор]

Funkcija kumulativne distribucije je data sa

Alternativno, ovo se može definisati koristeći Hevisajdovu odskočnu funkciju, H(x).

Alternativna parametrizacija[уреди | уреди извор]

Najčešće korišćena alternativna parametrizacija je putem definisanja funkcije gustine verovatnoće (pdf) eksponencijalne distribucije kao što je

gde je β > 0 srednja vrednost, standardna devijacija, i parametar skale distribucije, recipročna vrednost parametra brzine, λ, definisanog iznad. U ovoj specifikaciji, β je parametar preživljavanja u smislu da ako je slučajna varijabla X vremensko trajanje tokom koga određeni biološki ili mehanički sistem uspe da preživi i X ~ Exp(β), onda je E[X] = β. Naime, očekivano trajanje preživljavanja sistema je β jedinica vremena. Parametrizacija koja uključuje parametar „brzine” nastaje u kontekstu događaja koji pristižu brzinom λ, kada vreme između događaja (koje se može modelovati koristeći eksponencijalnu distribuciju) ima srednju vrednost β = λ−1.

Alternativna specifikacija je ponekad podesnija od gore navedene, a neki autori je koriste kao standardnu definiciju. Ova alternativna specifikacija se ovde ne koristi. Nažalost, to dovodi do nejasnoća u notacijama. Generalno, čitalac mora proveriti koja se od ove dve specifikacije koristi, ako autor piše „X ~ Exp(λ)”, misli se bilo na notaciju iz prethodne sekcije (koristeći λ) ili na notaciju iz ove sekcije (ovde, koristeći β da se izegne zabuna).[5]

Reference[уреди | уреди извор]

  1. ^ Stirzaker, David (2000). „Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary”. The Mathematical Gazette. 84 (500): 197—210. ISSN 0025-5572. JSTOR 3621649. doi:10.2307/3621649. 
  2. ^ Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). „What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes”. International Statistical Review. 80 (2): 253—268. ISSN 0306-7734. doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. 
  3. ^ Calvert, James B. (2002). „Heaviside, Laplace, and the Inversion Integral”. University of Denver. 
  4. ^ Davies, Brian (2002). „Heaviside step function”. Integral Transforms and their Applications (3rd изд.). Springer. стр. 28. 
  5. ^ David Olive, Chapter 4. Truncated Distributions, "Lemma 4.3", Southern Illinois University, February 18, 2010, pp. 107.

Literatura[уреди | уреди извор]

Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]