Eksponencijalna raspodela
Funkcija gustine verovatnoće ![]() | |
Funkcija kumulativne raspodele ![]() | |
Parametri | λ > 0 stopa, ili inverzna skala |
---|---|
Nositelj | x ∈ [0, ∞) |
λ e−λx | |
CDF | 1 − e−λx |
Kvantil | −ln(1 − F) / λ |
Prosek | λ−1 (= β) |
Medijana | λ−1ln(2) |
Modus | 0 |
Varijansa | λ−2 (= β2) |
Koef. asimetrije | 2 |
Kurtoza | 6 |
Entropija | 1 − ln(λ) |
MGF | |
CF | |
Fišerova informacija | |
Kulbek-Lajblerova divergencija |
U teoriji verovatnoće i statistici, eksponencijalna raspodela (pozanta kao negativna eksponencijalna raspodela) je raspodela verovatnoće vremena između događaja u Poasonovom procesu,[1][2] i.e., procesu u kome se događaji kontinuirano i nezavisno javljaju sa konstantnom prosečnom brzinom. To je poseban slučaj gama distribucije. Eksponencijalna distribucija je kontinuirani analog geometrijske distribucije i ima ključno svojstvo da je bez memorije. Pored toga što se koristi za analizu Poasonovih tačkastih procesa, ona se javlja u mnoštvu drugih konteksta.
Eksponencijalna distribucija nije isto što i klasa eksponencijalne familije distribucija, koja je velika klasa distribucija verovatnoće kojom je obuhvaćena eksponencijalna distribucija kao jedan od njenih članova, ali takođe uključuje normalnu distribuciju, binomnu distribuciju, gama distribuciju, Poasonovu, i mnoge druge.
Karakterizacija[уреди | уреди извор]
Funkcija gustine verovatnoće[уреди | уреди извор]
Funkcija gustine verovatnoće eksponencijalne distribucije je
Alternativno, ovo se može definisati korišćenjem desne-kontinuirane Hevisajdove odskočne funkcije, H(x) gde je H(0) = 1:[3][4]
Ovde je λ > 0 parameter distribucije, koji se obično naziva parametar brzine. Distribucija je podržana na intervalu [0, ∞). Ako slučajna promenljiva X ima ovu distribuciju, piše se X ~ Exp(λ).
Eksponencijalna distribucija ispoljava beskonačnu deljivost.
Funkcija kumulativne distribucije[уреди | уреди извор]
Funkcija kumulativne distribucije je data sa
Alternativno, ovo se može definisati koristeći Hevisajdovu odskočnu funkciju, H(x).
Alternativna parametrizacija[уреди | уреди извор]
Najčešće korišćena alternativna parametrizacija je putem definisanja funkcije gustine verovatnoće (pdf) eksponencijalne distribucije kao što je
gde je β > 0 srednja vrednost, standardna devijacija, i parametar skale distribucije, recipročna vrednost parametra brzine, λ, definisanog iznad. U ovoj specifikaciji, β je parametar preživljavanja u smislu da ako je slučajna varijabla X vremensko trajanje tokom koga određeni biološki ili mehanički sistem uspe da preživi i X ~ Exp(β), onda je E[X] = β. Naime, očekivano trajanje preživljavanja sistema je β jedinica vremena. Parametrizacija koja uključuje parametar „brzine” nastaje u kontekstu događaja koji pristižu brzinom λ, kada vreme između događaja (koje se može modelovati koristeći eksponencijalnu distribuciju) ima srednju vrednost β = λ−1.
Alternativna specifikacija je ponekad podesnija od gore navedene, a neki autori je koriste kao standardnu definiciju. Ova alternativna specifikacija se ovde ne koristi. Nažalost, to dovodi do nejasnoća u notacijama. Generalno, čitalac mora proveriti koja se od ove dve specifikacije koristi, ako autor piše „X ~ Exp(λ)”, misli se bilo na notaciju iz prethodne sekcije (koristeći λ) ili na notaciju iz ove sekcije (ovde, koristeći β da se izegne zabuna).[5]
Reference[уреди | уреди извор]
- ^ Stirzaker, David (2000). „Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary”. The Mathematical Gazette. 84 (500): 197—210. ISSN 0025-5572. JSTOR 3621649. doi:10.2307/3621649.
- ^ Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). „What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes”. International Statistical Review. 80 (2): 253—268. ISSN 0306-7734. doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x.
- ^ Calvert, James B. (2002). „Heaviside, Laplace, and the Inversion Integral”. University of Denver.
- ^ Davies, Brian (2002). „Heaviside step function”. Integral Transforms and their Applications (3rd изд.). Springer. стр. 28.
- ^ David Olive, Chapter 4. Truncated Distributions, "Lemma 4.3", Southern Illinois University, February 18, 2010, pp. 107.
Literatura[уреди | уреди извор]
- B. S. Everitt (2006). The Cambridge Dictionary of Statistics (3rd изд.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-69027-0.
- Bishop. Pattern Recognition and Machine Learning. Springer. ISBN 978-0-387-31073-2.
- den Dekker, A. J.; Sijbers, J. (2014). „Data distributions in magnetic resonance images: A review”. Physica Medica. 30 (7): 725—741. PMID 25059432. doi:10.1016/j.ejmp.2014.05.002.
- Sung Nok Chiu; Stoyan, Dietrich; Wilfrid S. Kendall; Mecke, Joseph (27. 6. 2013). Stochastic Geometry and Its Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-65825-3.
- J. F. C. Kingman (17. 12. 1992). Poisson Processes. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-159124-2.
- Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability.
- A. Kolmogoroff (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. ISBN 978-3-642-49888-6. doi:10.1007/978-3-642-49888-6.
- Billingsley, Patrick (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons.
- Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, Springer Series in Statistics.. 650 pp. 2002. ISBN 978-0-387-95313-7.
- Tijms, Henk (2004). Understanding Probability. Cambridge University Press.
- Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York. 510 pp. 2005. ISBN 978-0-387-25115-8.
- Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22833-4.
Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]
![]() |
Eksponencijalna raspodela na Vikimedijinoj ostavi. |
- Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Exponential distribution”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Online calculator of Exponential Distribution