Eksponencijalna raspodela

Eksponencijalna

Funkcija gustine verovatnoće
Funkcija kumulativne raspodele
Parametri	λ > 0 stopa, ili inverzna skala
Nositelj	x ∈ [0, ∞)
PDF	λ e−λx
CDF	1 − e−λx
Kvantil	−ln(1 − F) / λ
Prosek	λ−1 (= β)
Medijana	λ−1ln(2)
Modus	0
Varijansa	λ−2 (= β2)
Koef. asimetrije	2
Kurtoza	6
Entropija	1 − ln(λ)
MGF	${\frac {\lambda }{\lambda -t}},{\text{ for }}t<\lambda$
CF	${\frac {\lambda }{\lambda -it}}$
Fišerova informacija	$\lambda ^{-2}$
Kulbek-Lajblerova divergencija	$D_{KL}(\exp _{0}\parallel \exp _{1})=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1$

U teoriji verovatnoće i statistici, eksponencijalna raspodela (pozanta kao negativna eksponencijalna raspodela) je raspodela verovatnoće vremena između događaja u Poasonovom procesu, i.e., procesu u kome se događaji kontinuirano i nezavisno javljaju sa konstantnom prosečnom brzinom. To je poseban slučaj gama distribucije. Eksponencijalna distribucija je kontinuirani analog geometrijske distribucije i ima ključno svojstvo da je bez memorije. Pored toga što se koristi za analizu Poasonovih tačkastih procesa, ona se javlja u mnoštvu drugih konteksta.

Eksponencijalna distribucija nije isto što i klasa eksponencijalne familije distribucija, koja je velika klasa distribucija verovatnoće kojom je obuhvaćena eksponencijalna distribucija kao jedan od njenih članova, ali takođe uključuje normalnu distribuciju, binomnu distribuciju, gama distribuciju, Poasonovu, i mnoge druge.

Karakterizacija

Funkcija gustine verovatnoće

Funkcija gustine verovatnoće eksponencijalne distribucije je

$f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

Alternativno, ovo se može definisati korišćenjem desne-kontinuirane Hevisajdove odskočne funkcije, H(x) gde je H(0) = 1:

$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}H(x)$

Ovde je λ > 0 parameter distribucije, koji se obično naziva parametar brzine. Distribucija je podržana na intervalu [0, ∞). Ako slučajna promenljiva X ima ovu distribuciju, piše se X ~ Exp(λ).

Eksponencijalna distribucija ispoljava beskonačnu deljivost.

Funkcija kumulativne distribucije

Funkcija kumulativne distribucije je data sa

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

Alternativno, ovo se može definisati koristeći Hevisajdovu odskočnu funkciju, H(x).

$F(x;\lambda )=\mathrm {(} 1-e^{-\lambda x})H(x)$

Alternativna parametrizacija

Najčešće korišćena alternativna parametrizacija je putem definisanja funkcije gustine verovatnoće (pdf) eksponencijalne distribucije kao što je

$f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {x}{\beta }}}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

gde je β > 0 srednja vrednost, standardna devijacija, i parametar skale distribucije, recipročna vrednost parametra brzine, λ, definisanog iznad. U ovoj specifikaciji, β je parametar preživljavanja u smislu da ako je slučajna varijabla X vremensko trajanje tokom koga određeni biološki ili mehanički sistem uspe da preživi i X ~ Exp(β), onda je E[X] = β. Naime, očekivano trajanje preživljavanja sistema je β jedinica vremena. Parametrizacija koja uključuje parametar „brzine” nastaje u kontekstu događaja koji pristižu brzinom λ, kada vreme između događaja (koje se može modelovati koristeći eksponencijalnu distribuciju) ima srednju vrednost β = λ⁻¹.

Alternativna specifikacija je ponekad podesnija od gore navedene, a neki autori je koriste kao standardnu definiciju. Ova alternativna specifikacija se ovde ne koristi. Nažalost, to dovodi do nejasnoća u notacijama. Generalno, čitalac mora proveriti koja se od ove dve specifikacije koristi, ako autor piše „X ~ Exp(λ)”, misli se bilo na notaciju iz prethodne sekcije (koristeći λ) ili na notaciju iz ove sekcije (ovde, koristeći β da se izegne zabuna).

Literatura

• B. S. Everitt (2006). The Cambridge Dictionary of Statistics (3rd изд.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-69027-7. 
• Bishop. Pattern Recognition and Machine Learning. Springer. ISBN 0-387-31073-8. 
• den Dekker, A. J.; Sijbers, J. (2014). „Data distributions in magnetic resonance images: A review”. Physica Medica. 30 (7): 725—741. PMID 25059432. doi:10.1016/j.ejmp.2014.05.002. 
• Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27. 6. 2013). Stochastic Geometry and Its Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-65825-3. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• J. F. C. Kingman (17. 12. 1992). Poisson Processes. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-159124-2. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability. 
• A. Kolmogoroff (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. ISBN 978-3-642-49888-6. doi:10.1007/978-3-642-49888-6. 
• Patrick Billingsley (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons. 
• Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2
• Henk Tijms (2004). Understanding Probability. Cambridge Univ. Press. 
• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Exponential distribution”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Online calculator of Exponential Distribution